Definition von Kinetische Energie

Die kinetische Rotationsenergie eines starren Objekts ist gegeben durch$T = \frac{1}{2} \sum_{i \space j} T_{i \space j} \omega_i \omega_j$, wo in diesem Fall$T_{i \space j} = I_{i \space j}$ist der Trägheitstensor und die$\omega_i$sind die Komponenten des Winkelgeschwindigkeitsvektors des starren Objekts. Und wie von Qmechanic in ihrem Kommentar darauf hingewiesen, seitdem$I_{i \space j}$symmetrisch ist, kann sie immer durch einen orthogonalen Koordinatenwechsel zur Hauptachse diagonalisiert werden. Aber wenn man solche Koordinaten nicht verwendet, wird es im Allgemeinen Kreuzbegriffe geben ("EIN Begriff auf verschiedenen$v_i , v_j$").

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Nehmen wir als weitere Möglichkeit an, dass Sie aus irgendeinem Grund mit Koordinaten arbeiten möchten$q_1$Und$q_2$definiert von

$$\begin{cases} q_1 = x + y \\ q_2 = y \end{cases}$$

so dass

$$\begin{cases} x = q_1 - q_2 \\ y = q_2 \end{cases}$$

Und

$$\begin{cases} v_x = v_1 - v_2 \\ v_y = v_2 \end{cases}$$

was gibt

$$T = \frac{1}{2}(v_x^2 + v_y^2) = \frac{1}{2}((v_1 - v_2)^2 + v_2^2) = \frac{1}{2}(v_1^2 - 2v_1 v_2 + 2v_2^2) = \frac{1}{2} \sum_{i \space j} T_{i \space j} v_i v_j$$

mit$T_{1 \space 1} = 1$,$T_{1 \space 2} = T_{2 \space 1} = -1$, Und$T_{2 \space 2}=2$.