Satz von Bertrand

Ich nehme das an

$$\mathbb{R}_{\geq 0}~\ni~ r \quad\stackrel{V_{\rm eff}}{\mapsto} \quad V_{\rm eff}(r)~\in~ \mathbb{R}$$

ist eine stetige Funktion. Dann lautet die Energieeinsparung

$$E~=~ \frac{m}{2} \dot{r}^2+ V_{\rm eff}(r).$$

Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz einer radial begrenzten Umlaufbahn (die nicht notwendigerweise periodisch/geschlossen oder stabil ist) ist, dass ein Energieniveau existiert$E$so dass mindestens eine der verbundenen Komponenten (die notwendigerweise Intervalle oder Punkte sind) des Urbilds

$$V_{\rm eff}^{-1}(]-\infty,E]) ~\subseteq~ \mathbb{R}_{\geq 0}$$

ist eine radial beschränkte Menge .

II) Es scheint die einzige Stelle zu sein, an der Goldstein (in seinem Buch Klassische Mechanik ) die Konkavitätsbedingung berücksichtigt

$$V_{\rm eff}^{\prime\prime}(r)~>~0$$

steht am Anfang von Abschnitt 3.6, wo er stabile Kreisbahnen diskutiert. Er verwendet die Konkavität, um auf die relativ milde Ungleichheit zu schließen$p>-3$für eine Power-Law-Kraft$f(r) \propto r^p$.

Auf einer Fußgängerebene als Qmechanic ...

Wie von Goldstein verwendet, die positive Konkavitätsbedingung:

$$\frac{d^2 V_{\rm eff}}{dr^2} > 0$$

ist für die Stabilität einer Kreisbahn erforderlich. (Die zweite Ableitung wird am Bahnradius berechnet.)

Erstens kann eine solche Umlaufbahn nur an einem Extremum von existieren$V_{\rm eff}$, wobei die Radialkraft (das Negative der ersten Ableitung von$V_{\rm eff}$) ist 0:

$$-\frac{dV_{\rm eff}}{dr} = 0$$

(Sonst wäre es keine Gleichgewichtsbahn.)

Um die Stabilität zu untersuchen, stellen Sie sich vor, dass die Umlaufbahn leicht abweicht$\Delta r$, aus der Gleichgewichtslage. Dann die Radialkraft$f_r$nicht mehr genau null ist: durch eine Taylor-Entwicklung des Potentials um das Gleichgewicht herum (wobei man sich daran erinnert, dass der lineare Term nach Annahme 0 ist) findet man eine Version des Hookeschen Gesetzes:

$$f_r = - \frac{d^2 V_{\rm eff}}{dr^2} \Delta r$$

Diese Kraft wirkt wiederherstellend (stabilisierend), wenn die Konkavität positiv ist, aber destabilisierend, wenn die Konkavität negativ ist.

Diese Situation ist analog zu einem vertikalen Pendel. Es gibt zwei Gleichgewichte: 1) das Pendel ruht unten und 2) ruht oben. Der untere Gleichgewichtspunkt ist stabil, aber das obere Gleichgewicht ist instabil.

Wie von anderen angemerkt, ist diese Bedingung nicht der Satz von Bertrand, der sich mit geschlossenen Umlaufbahnen im Allgemeinen befasst (nicht nur mit kreisförmigen Umlaufbahnen).