Was ist die "zugehörige Skalargleichung" von Bewegungsgleichungen?

Die "zugehörige Skalargleichung" ist nur die Formel für die zeitliche Entwicklung der skalaren Größe der Verschiebung,$r$, und nicht alle seine Vektorkomponenten. Es macht wirklich nur Sinn, eine solche Gleichung zu schreiben, wenn die rechte Seite durch ausgedrückt werden kann$r$nur und nicht$\mathbf{r}$. Dann können Sie es verwenden, um die Entwicklung von zu analysieren$r$in einfachen skalaren Begriffen, ohne sich Gedanken über Vektorgrößen zu machen.

Um zu sehen, woher es kommt, notieren Sie zuerst den Skalar$r$kann geschrieben werden$r = \sqrt{\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}}$. Dann

$$r' = \frac{1}{2} (\mathbf{r} \cdot \mathbf{r})^{-1/2} (\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}' + \mathbf{r}' \cdot \mathbf{r}) = \frac{\mathbf{r}'\cdot\mathbf{r}}{r}.$$ Wir fahren mit der nächsten Ableitung fort, finden wir $$\begin{align} r'' & = \frac{1}{r^2} \left((\mathbf{r}'' \cdot \mathbf{r} + \mathbf{r}' \cdot \mathbf{r}') r - (\mathbf{r}' \cdot \mathbf{r}) r'\right) \\ & = \frac{1}{r^2} \left(\left(-\frac{\mu}{r^3} \mathbf{r} \cdot \mathbf{r} + \mathbf{r}' \cdot \mathbf{r}'\right) r - \frac{(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{r})^2}{r}\right), \end{align}$$ wobei wir die Formel verwenden, die wir für gefunden haben $r'$ebenso gut wie $\mathbf{r}'' = -\mu \mathbf{r} / r^3$. Erinnern $\mathbf{r} \cdot \mathbf{r} = r^2$, wir können schreiben $$r'' = -\frac{\mu}{r^2} + \frac{1}{r^3} \left((\mathbf{r}' \cdot \mathbf{r}') (\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}) - (\mathbf{r}' \cdot \mathbf{r})^2\right),$$ was die gleiche Form wie die gegebene zugeordnete Skalargleichung ist.

Es bleibt zu zeigen, dass der eingeklammerte Ausdruck konstant ist. Das Erkennen und dann Manipulieren einiger dreifacher Produktausbeuten

$$\begin{align} r'' & = -\frac{\mu}{r^2} - \frac{1}{r^3} \mathbf{r} \cdot (\mathbf{r}' \times (\mathbf{r}' \times \mathbf{r})) \\ & = -\frac{\mu}{r^2} - \frac{1}{r^3} (\mathbf{r} \times \mathbf{r}') \cdot (\mathbf{r}' \times \mathbf{r}). \end{align}$$ Aber $\mathbf{r}' \times \mathbf{r}$ist nur der spezifische relative Drehimpuls $\mathbf{h}$, die im Zweikörperproblem erhalten bleibt. Damit erhalten wir die gegebene Formel mit der Konstante $c^2 = \mathbf{h} \cdot \mathbf{h}$.

Meine Antwort ist dieselbe wie die von Chris, aber anders formuliert (sie ist im Wesentlichen dieselbe wie dieser Wiki-Artikel ):

In Polarkoordinaten ist der Positionsvektor

$$\mathbf{r} = r\,(\cos\varphi,\sin\varphi) = r\,\mathbf{\hat{r}},$$ mit $\mathbf{\hat{r}}$der radiale Einheitsvektor. Die Geschwindigkeit ist dann $$\mathbf{v} = \dot{r}\,(\cos\varphi,\sin\varphi) + r\dot{\varphi}\,(-\sin\varphi,\cos\varphi) = \dot{r}\,\mathbf{\hat{r}} + r\dot{\varphi}\,\boldsymbol{\hat{\varphi}},$$ mit $\boldsymbol{\hat{\varphi}}$der azimutale Einheitsvektor. Die Beschleunigung ist $$\mathbf{a} = (\ddot{r} - r\dot{\varphi}^2)\,\mathbf{\hat{r}} + (2\dot{r}\dot{\varphi} + r\ddot{\varphi})\,\boldsymbol{\hat{\varphi}}.$$ Da die Schwerkraft aber eine radiale Kraft ist, muss die azimutale Beschleunigung Null sein, damit $$2\dot{r}\dot{\varphi} + r\ddot{\varphi} = \frac{1}{r}\frac{\text{d}}{\text{d}t}(r^2\dot{\varphi}) = 0.$$ Also der spezifische relative Drehimpuls $h=r^2\dot{\varphi}$ist eine Konstante. Daher wird die (radiale) Beschleunigung $$a_r = \ddot{r} - r\dot{\varphi}^2 = \ddot{r} - \frac{h^2}{r^3} = -\frac{\mu}{r^2},$$ was das gewünschte Ergebnis liefert.