Warum bevorzugen wir die „Lagrange- und Hamilton-Mechanik“ gegenüber der Newton-Mechanik? [Duplikat]

Einer der wichtigsten praktischen Vorteile besteht darin, dass es Ihnen eine Menge mehr Freiheit bei der Wahl des Koordinatensystems gibt – so dass Sie genau das richtige auswählen können, um die Bewegungsgleichungen für die jeweilige Aufgabe am besten vereinfachen zu können. Das bedeutet, dass wir nicht nur auf Dinge wie Descartes-Fermat ("kartesisch"), zylindrische oder polare/sphärische Polare beschränkt sind, sondern praktisch beliebige krummlinige Koordinaten verwenden können.

Unterschätzen Sie niemals die Kraft einer guten Koordinatenwahl. Zum Beispiel wird die Orbitalbewegung besser in Polarkoordinaten behandelt als in kartesischen - vergleichen Sie einfach die Gleichungen für sogar einfache kreisförmige Orbitalbewegungen:

$$x(t) = R \cos(\omega t),\ \ y(t) = R \sin(\omega t)$$

gegen

$$r(t) = R,\ \ \theta(t) = \omega t$$

Mit welcher ist es Ihrer Meinung nach einfacher, algebraisch zu arbeiten? Welche gibt Ihnen einen besseren Hinweis auf die Form der Bewegung?

Oder bei einem System wie dem Pendel – idealerweise will man seine Bewegung nicht in kartesischen Koordinaten lösen, sondern in Winkeln$\theta$, da es natürlich gezwungen ist, sich entlang einer Winkelbahn zu bewegen. Tatsächlich hat es eine Dimension, nicht zwei.

Der sehr allgemeine Ansatz, mit dem Sie mit solchen Dingen umgehen können - z. B. eine Perle, die sich entlang einer Spirale bewegt, wie in einigen alten Kinderspielzeugen (benutzen sie diese Dinge noch?), ist Lagrange- und Hamilton-Mechanik. Der Grund, warum Sie das brauchen, ist, dass Sie, sagen wir im obigen Beispiel, die Polare relativ einfach aus dem kartesischen Beispiel und umgekehrt erhalten können, dazu müssen Sie effektiv eine allgemeine Koordinatenänderung auf den gesamten Raum anwenden - und wie würden Sie machen das nötige Kleingeld für etwas so Seltsames wie die "schraubenförmigen Koordinaten", die Sie für das Kinderspielzeug brauchen würden?

Ein weiterer theoretischer Vorteil besteht jedoch darin, dass man argumentieren könnte, dass die Lagrange-/Hamilton-Mechanik eine grundlegendere Art ist , mit physikalischen Problemen umzugehen. In der regulären Newtonschen Mechanik haben wir es mit Kraft zu tun. Aber Kraft ist kein so grundlegendes Konzept wie das, mit dem sich die anderen beiden befassen, nämlich Energie . Energie, Impuls, Drehimpuls – das sind die drei grundlegendsten (neben Raum und Zeit) Größen der Mechanik. Kraft ist eigentlich eine abgeleitete Größe - beachten Sie, dass Newtons zweites Gesetz am besten als gegeben ist$\mathbf{F}_\mathrm{net} = \frac{d\mathbf{p}}{dt}$und nicht mehr "elementar" (eigentlich pädagogisch )$\mathbf{F}_\mathrm{net} = m\mathbf{a}$. Die L/H-Mechanik demonstriert ihre tiefgreifende Bedeutung, wenn Sie von der klassischen Physik zur modernen Physik übergehen ... insbesondere die Quantenmechanik, bei der die Hauptregelgleichung einen Hamilton-Operator verwendetdarin ist das praktisch die Quantenverallgemeinerung des gleichen Hamilton-Operators, von dem Sie wissen, wo Sie ihn gehört haben ... Und noch BESSER, wenn Sie zur voll ausgereiften großen Theorie der Quantenfeldtheorie gelangen, wo Sie endlich beginnen können, das Standardmodell zu begreifen , unsere bisher beste Theorie der Physik, in ihrer vollen Pracht und werfen Sie damit nach Ihrer langen Anleitung Ihren Blick auf den Ort an den Grenzen der Physik, wo die ganze Arbeit von den coolen Leuten mit dem coolen Zeug gemacht wird, von dem Sie in der hören Casual Magazine die ganze Zeit über Raum und Zeit und Quantengravitation und all das gute Zeug, nur jetzt, um es mit den Augen eines Experten zu sehen, feiert auch der Lagrangian sein Comeback.

(Warum ist das so? Warum nicht immer noch Kraft in QM verwenden? Nun, wenn Sie darüber nachdenken, "besteht" Kraft wirklich nur in CM, weil es Zeiten gibt, in denen Energie zu verschwinden scheint, z. B. Reibung, und damit die Beschreibung in Form von Kräften ist häufiger nützlich als in Bezug auf Energie, wenn es um reale Probleme geht.Aber wie wir wissen, sind Kräfte wie Reibung, die scheinbar keine Energie sparen, in Wirklichkeit nur makroskopische Manifestationen von konservativen Kräften, die auf mikroskopischer Ebene wirken (z. B. Reibung, die kinetische Energie umwandelt in Wärme und Schall umwandeln).QM ist die Theorie der mikroskopischen Skala , und daher sollten Sie in der Lage sein, alle Energien in der Beschreibung zu berücksichtigen, und das können Sie tatsächlich.)