Was ist der Unterschied zwischen Newtonscher und Lagrangescher Mechanik auf den Punkt gebracht?

In der Newtonschen Mechanik müssen Sie hauptsächlich rechteckige Koordinatensysteme verwenden und alle Zwangskräfte berücksichtigen. Das Lagrange-Schema vermeidet geschickt die Betrachtung der Zwangskräfte und Sie können jeden Satz von "allgemeinen Koordinaten" wie Winkel, Radialabstand usw. verwenden, die mit den Zwangsverhältnissen übereinstimmen. Die Anzahl dieser verallgemeinerten Koordinaten ist gleich der Anzahl der Freiheitsgrade des Systems.

In allen dynamischen Systemen wählen wir willkürlich einige verallgemeinerte Koordinaten, die mit den Beschränkungen des Systems übereinstimmen. In der Newtonschen Mechanik ergibt die Differenz zwischen der kinetischen und potentiellen Energie des Systems die sogenannte Lagrangedichte. Dann haben wir n Differentialgleichungen.$n$ist die Anzahl der Freiheitsgrade des Systems.

Der Hauptvorteil der Lagrange-Mechanik besteht darin, dass wir die Zwangskräfte nicht berücksichtigen müssen und angesichts der gesamten kinetischen und potenziellen Energien des Systems einige verallgemeinerte Koordinaten auswählen und die Bewegungsgleichung völlig analytisch berechnen können, im Gegensatz zum Newtonschen Fall muss die Beschränkungen und die geometrische Natur des Systems berücksichtigen.

Um den zweiten Teil Ihrer Frage zu beantworten, werde ich ein klassisches Beispiel für harmonische Bewegung geben. Die potentielle Energie einer Feder ist$U=\frac{1}{2}kx^2$, wo$k$ist die Federkonstante und$x$ist die Verschiebung.

Newtonsche Mechanik:

$F=m\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{-dU}{dx}=-kx$

So$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx$, was eine einfache Differentialgleichung ist.

Lagrangesche Mechanik:

Zunächst kennen wir die Euler-Lagrange-Gleichungen$\frac{\partial L}{\partial q} = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$, identifizieren wir Koordinaten$q=x$, und wir definieren unsere Lagrange-Funktion$L=T-V$($T$ist kinetische Energie und$V$ist potentielle Energie).

$T=\frac{1}{2}m\dot{x}^2$

$V=\frac{1}{2}kx^2$

Also setzen wir das alles in unsere kleine Euler-Lagrange-Gleichung ein, und wenn wir sie lösen, erhalten Sie (Trommelwirbel):$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx$!

Fazit

Nach all dem erhalten wir also die gleiche Gleichung wie bei der Newtonschen Mechanik und mit viel mehr Arbeit, richtig? In diesem Beispiel wahrscheinlich und den meisten anderen einfachen Systemen. Die Lagrangesche Mechanik hat jedoch einige sehr mächtige Anwendungen.

Betrachten Sie das folgende System: Sie haben mehrere Pendel, die durch Federn verbunden sind, und jedes Pendel beginnt mit einer bestimmten Anfangsposition und -geschwindigkeit. Wie löst man dieses System? In der Newtonschen Mechanik wird es extrem komplex, alle beteiligten Kräfte herauszuarbeiten. Aus Lagrange-Perspektive wird jedoch ein Großteil der harten Arbeit erledigt, wie Sie leicht definieren können$q_i=\theta_i$,$\theta$die Winkelverschiebung jedes Pendels ist. Und anstatt sich mit den verschiedenen Kräften auseinanderzusetzen, haben Sie es nur mit der potentiellen und kinetischen Energie zu tun.

Eine noch wichtigere, exponentiell wichtigere Anwendung ist die klassische Feldtheorie (ich weiß, dass sie einige wichtige Verbindungen zur QFT hat, aber ich bin nicht in der Lage, dies sachkundig zu kommentieren). Elektromagnetismus und Allgemeine Relativitätstheorie sind zwei hervorragende Beispiele. Sie können die Maxwell-Gleichungen vollständig aus der elektromagnetischen Lagrange-Funktion ($L=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+A_{\mu}J^\mu$) und Sie können äußerst wichtige Ergebnisse in der allgemeinen Relativitätstheorie aus der Hilbert-Aktion ableiten ($S_H=\int \sqrt{-g}Rd^nx$) und ähnliche Variationsprinzipien.

• Die Lagrange-Mechanik kann aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung oder aus der Newtonschen Mechanik abgeleitet werden. Dies ist kein grundlegender Unterschied.
• Ja schon. In der Newtonschen Mechanik beginnen Sie mit dem Zeichnen einer Reihe von Vektoren und listen dann Ihre Gleichungen auf. In der Lagrange-Mechanik identifizieren Sie zuerst alle Einschränkungen, wählen verallgemeinerte Koordinaten, schreiben dann die Lagrange-Funktion auf und setzen sie in die Lagrange-Gleichung ein$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-\frac{dL}{dq_i}=0$
• • Die Lagrange-Mechanik ist besser, wenn es viele Einschränkungen gibt. Je mehr Einschränkungen, desto einfacher die Lagrange-Gleichungen, aber desto komplexer werden die Newtonschen. Die Lagrange-Mechanik ist nicht sehr geeignet für nicht ideale oder nicht holonome Systeme, wie z. B. Systeme mit Reibung.
    
  • Die Lagrange-Mechanik ist auch viel erweiterbarer. Es kann in Hydrodynamik, Elektrodynamik, elektrischen Schaltungen, spezieller und allgemeiner Relativitätstheorie usw. fast dieselbe Form bleiben.
  • Das Prinzip der geringsten Zeit ist eng mit dem Prinzip der geringsten Wirkung verwandt, aber sie sind tatsächlich sehr unterschiedlich. Ich verstehe nicht, wie man ersteres von letzterem ableiten kann.

Die Lagrange-Formulierung geht davon aus, dass in einem System die Zwangskräfte keine Arbeit leisten, sie reduzieren nur die Anzahl der Freiheitsgrade des Systems. Anders als in der Newtonschen Mechanik muss man also nicht wissen, welche Kraftform die Zwangskräfte haben!!!

Als Hauptvorteil der Lagrange- und Hamilton-Mechanik gegenüber der Newton-Mechanik können wir uns mit skalaren Größen, der Energie, befassen, während wir uns in letzterer mit Vektorgrößen befassen müssen. Außerdem können wir uns mit der Lagrange- und Hamilton-Mechanik leicht jedem System (zB mechanisch, elektrisch, optisch etc.) annähern. Aber dieser einfache Zugang kann mit der NEWTONschen MECHANIK nicht erreicht werden.

Es geht um Bezugsrahmen. In der Newtonschen Physik stehen Sie an einem Punkt und beobachten, wie sich etwas in Bezug auf den stationären Beobachtungspunkt bewegt, basierend auf den aufgebrachten Kräften. In der lagrangeschen Physik bist du das etwas Bewegte, das die Kräfte erfährt. Der Transportsatz von Reynolds bezieht sich auf die beiden Bezugsrahmen.

Laut Newton:

$r(t+dt)=r(t)+v(t)dt$

und

$\dot{r}(t+dt)=\dot{r}(t)+\frac{F(t)}{m}dt$.

Wie Sie sehen können, gibt es keine Freiheit, die Trajektorie zu wählen – sie wird mit den momentanen Werten von Kraft und Geschwindigkeit bestimmt. „Zukunft“ wird mit „Gegenwart“ bestimmt.

Ein Teilchen "wählt" niemals die optimale Flugbahn, um von einer bekannten Position in der Vergangenheit zu gehen$r(t_1)$zu einer bekannten Position in der Zukunft$r(t_2)$. Die Zukunftsdaten sind an der Dynamik nicht beteiligt. Aber das "Prinzip der geringsten Aktion", abgesehen von guten Gleichungen, basiert auf den zukünftigen Daten$r(t_2)$was mathematisch möglich, aber physikalisch bedeutungslos ist.

Es gibt kein "Least-Action-Prinzip", das nur von den Anfangsdaten ausgeht. Stattdessen reichen die Newton-Gleichungen mit den Anfangsdaten aus, um physikalische Probleme zu lösen ;-)