Gibt es Beispiele in der klassischen Mechanik, wo das Prinzip von D'Alembert versagt?

Angesichts eines Systems von$N$Punktteilchen mit Positionen${\bf r}_1, \ldots , {\bf r}_N$; mit entsprechenden virtuellen Verschiebungen $\delta{\bf r}_1$,$\ldots$,$\delta{\bf r}_N$; mit Momenten${\bf p}_1, \ldots , {\bf p}_N$; und mit aufgebrachten Kräften${\bf F}_1^{(a)}, \ldots , {\bf F}_N^{(a)}$. Dann besagt das Prinzip von D'Alembert das

$$\tag{1} \sum_{j=1}^N ( {\bf F}_j^{(a)} - \dot{\bf p}_j ) \cdot \delta {\bf r}_j~=~0.$$

Die Gesamtkraft

$${\bf F}_j ~=~ {\bf F}_j^{(a)} +{\bf F}^{(ec)}_j+{\bf F}^{(ic)}_j + {\bf F}^{(i)}_j + {\bf F}_j^{(o)}$$

auf der$j$Das Teilchen kann in fünf Typen unterteilt werden:

1. aufgebrachte Kräfte${\bf F}_j^{(a)}$(die wir im Auge behalten und die keine Zwangskräfte sind).

2. eine äußere Zwangskraft${\bf F}^{(ec)}_j$aus der Umgebung.

3. eine innere Zwangskraft${\bf F}^{(ic)}_j$von dem$N-1$andere Teilchen.

4. eine innere Kraft${\bf F}^{(i)}_j$(das ist keine aufgebrachte oder Zwangskraft vom Typ 1 bzw. 3) aus der$N-1$andere Teilchen.

5. Andere Kräfte${\bf F}_j^{(o)}$nicht bereits in Typ 1, 2, 3 und 4 enthalten.

Wegen Newtons 2. Gesetz${\bf F}_j= \dot{\bf p}_j$, D'Alemberts Prinzip (1) ist äquivalent zu$^1$

$$\tag{2} \sum_{j=1}^N ( {\bf F}^{(ec)}_j+{\bf F}^{(ic)}_j+{\bf F}^{(i)}_j+{\bf F}_j^{(o)}) \cdot \delta {\bf r}_j~=~0.$$

Die Frage von OP kann also im Wesentlichen umformuliert werden als

Gibt es Beispiele in der klassischen Mechanik, wo Gl. (2) schlägt fehl?

Gl. (2) könnte trivial scheitern, wenn wir Kräfte haben${\bf F}_j^{(o)}$vom Typ 5, zB Gleitreibung, die wir (aus irgendeinem Grund) nicht zu den aufgebrachten Kräften vom Typ 1 zählen.

OP fragt jedoch speziell nach inneren Kräften.

Für einen starren Körper benötigt man zum Ausschluss paarweiser Beiträge vom Typ 3 das starke Newtonsche 3. Gesetz, vgl. diese Phys.SE-Antwort. Wenn diese Kräfte also nicht kollinear sind, könnte dies zu einer Verletzung von Gl. (2).

Für Schnittgrößen vom Typ 4 gibt es im Allgemeinen keinen Grund, Gl. (2).

Beispiel: Betrachten Sie ein System aus zwei Punktmassen, die durch eine ideale Feder verbunden sind. Dieses System hat keine Beschränkungen, also gibt es keine Beschränkungen für die Klasse der virtuellen Verschiebungen. Es ist leicht, Gl. (2) wenn wir die Federkraft als Kraft vom Typ 4 zählen.

Bezug:

H. Goldstein, Klassische Mechanik, Kapitel 1.

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$^1$Es ist verlockend, Gl. (2) das Prinzip der virtuellen Arbeit , aber streng genommen ist das Prinzip der virtuellen Arbeit nur D'Alemberts Prinzip (1) für ein statisches System.

Es kann Fälle geben, in denen es kein lokales Extremum der Wirkung gibt – nehmen Sie zum Beispiel den Lagrangian$L=m\left(\dot x ^{2}+\dot y^{2}\right)$über dem Raum, der durch einen eingebetteten Halbmond definiert wird$\mathbb{R}^2$--dann gibt es, obwohl die Spitzen des Halbmonds sowohl perfekte Start- als auch Endpunkte in Ihrem Bereich sind, keinen extremalen Pfad, der sie verbindet - es müsste die gerade Linie sein, die den Bereich Ihres Konfigurationsraums verlässt.

Aber das ist zugegebenermaßen ein erfundenes Beispiel.

Ich habe ein interessantes Beispiel:

Stellen Sie sich zwei Blöcke vor, die sich in einer Linie bewegen, und ein elektrischer intelligenter Stab verbindet sie. Alles ist reibungslos. Die Stange kann Messungen der Koordinaten der beiden Blöcke vornehmen und die Länge ändern, um dies immer sicherzustellen$x_2 = 2x_1$. Dann nehmen wir an, dass die Masse des Stabs vernachlässigbar ist, sodass die Kräfte, die er auf die beiden Blöcke ausübt, genau entgegengesetzt sind. Jetzt haben wir eine Zwangsgleichung, und immer wenn die Stange ihre Länge ändert und eine Kraft ungleich Null anwendet, versagt das D'Alembert-Prinzip.

Der Weg, die Lagrange-Gleichung für diese Art von Einschränkung zu korrigieren, besteht darin, die verallgemeinerte Kraft hinzuzufügen$Q_i^{(c)}$erstellt durch die Einschränkung ($0$wenn das Prinzip von D'Alembert gilt) nach rechts:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = Q_i + Q_i^{(c)}$$