Das Prinzip von D'Alembert

Eigentlich habe ich einige Probleme zu verstehen, worum es bei diesem Prinzip geht, also möchte ich das einfache Pendel verwenden, um die Idee zu verstehen. Da ich einige Passagen gelesen habe, die sich mit diesem Konzept beschäftigt haben, möchte ich jeden, der mir helfen möchte, bitten, dass er versucht, meine Fragen zu beantworten, anstatt eher über dieses Prinzip im Allgemeinen zu sprechen.

Stellen Sie sich also ein einfaches Pendel vor, dann haben wir es$F = - mg e_z +F_{\text{tension}}$. Eigentlich,$-mge_z$ist unsere angewandte Kraft und$F_{\text{tension}}$unsere Zwangskraft, richtig?

Nun definieren wir unsere virtuellen Verschiebungen so, dass sie: infinitesimal klein sind, wir die Dynamik des Systems einfrieren (damit keine Zeit vergeht) und die Verschiebung mit den Zwangskräften in Ordnung ist.

Ich stelle mir das so vor: Wir wollen ein Werkzeug zur Hand haben, das uns sagt, wie sich unser Teilchen in der aktuellen Kräftekonstellation bewegen kann, weshalb wir keine Zeit verstreichen lassen wollen, das würde ändern die Kräfte Geschwindigkeiten und so weiter. Außerdem werden nur winzig kleine Verschiebungen mehr oder weniger genau durch die aktuelle Konfiguration der Zwangskraft und der aufgebrachten Kraft verursacht, weshalb wir uns die Bewegung ansehen wollen, die in einer kleinen Nachbarschaft stattfindet.

Dass das mit der Zwangskraft vereinbar sein sollte, ist wohl einleuchtend, wenn wir davon ausgehen, die Physik mit diesem Begriff zu beschreiben.

Jetzt kommt mein Problem:

Wir betrachten ein System im Gleichgewicht

$$W = \sum_i F_i \cdot \delta x_i =0,$$ also ein System, das keine Energie bekommt oder verliert. Dann haben wir: $$W = \sum_i F_{\text{applied},i} +F_{\text{constraint},i} \cdot \delta x_i =0,$$ Vorausgesetzt $$W = \sum_i F_{\text{constraint},i} \cdot \delta x_i =0,$$ dann bekommen wir $$W = \sum_i F_{\text{applied},i} \cdot \delta x_i =0.$$ Habe ich nun recht, dass dies für das einfache Pendel falsch ist (weil dort das Skalarprodukt aus Gravitationskraft und Bewegung nicht Null ist), sondern nur für Systeme, die sich nicht wie ein Buch auf einem Schreibtisch bewegen? (Das würde mir erklären, warum es für statische Systeme gelten soll.)

Dann ist mir D'Alemberts Prinzip völlig fremd: Es sagt

$$\sum_{i} (F_{\text{applied}} - F_{\text{total}} )\cdot \delta x_i = 0$$ Ich meine, wenn wir einfügen $$F_{\text{total}} = F_{\text{applied}} + F_{\text{constraint}}$$ wir kommen gerade an $$\sum_{i} F_{\text{constraint}} \delta x_i = 0$$ was wir schon wussten und da scheinbar beide Ausdrücke äquivalent sind, sagt das D'Alembertsche Prinzip also nur: Zwangskräfte leisten keine körperliche Arbeit? Da dies unser Input war, klingt das so: Ich beweise meine Prämisse und deshalb muss ich mich irgendwo irren.