Prinzip von D'Alembert: Notwendigkeit virtueller Verschiebungen

Question

Prinzip von D'Alembert: Notwendigkeit virtueller Verschiebungen

Sandesh Kalantre

Warum ist das d'Alembert-Prinzip
$\sum_{ich} (F_{ich} - m_{ich} a_{ich}) \cdot δ r_{ich} = 0$ $\sum_{i} ( {F}_{i} - m_i \bf{a}_i )\cdot \delta \bf r_i = 0$ in Bezug auf "virtuelle" Verschiebungen anstelle von tatsächlichen Verschiebungen angegeben?
Warum ist es so notwendig, die Zeit in Verschiebungen "einzufrieren"?
Auch was würde $\sum_{i} ( {F}_{i} - m_i \bf{a}_i )\cdot d \bf r_i$ entsprechen, wenn überhaupt? Mit anderen Worten, welchen Wert hat der Ausdruck mit realen statt virtuellen Verschiebungen?

JoshPhysik

Ich möchte eine Vorhersage über die Zukunft machen. In Kürze erhalten Sie eine Antwort von einem Benutzer, dessen Name mit einem "Q" beginnt und mit einem "c" endet.

Trimok

Das Framework ist die Lagrangesche Mechanik . Um die reale Bewegung (Pfad) zu finden, müssen Sie eine Aktion extremisieren, und die für den realen Pfad und einen virtuell unendlich nahen Pfad berechnete Variation der Aktion muss Null sein. Zu fester Zeit

t

$t$ , ist die infinitesimale Variation der Koordinaten zwischen diesen 2 unendlich nahen Pfaden eine virtuelle Verschiebung

δ \vec{r} (t)

$\delta \vec r(t)$ .

Trimok

.......Das D'Alembert-Prinzip ist eine verwandte Philosophie mit Einschränkungen und den Begriffen virtuelle Arbeit, verallgemeinerte Koordinaten, verallgemeinerte Kräfte und verallgemeinerte Bewegungsgleichungen . Letzteres mit konservativer Kraft

F_{i} = - \frac{\partial U (\vec{r})}{\partial x^{i}}

$F_i = - \frac{\partial U(\vec r)}{\partial x^i}$ , sind äquivalent zu Euler-Lagrange-Gleichungen .

Sandesh Kalantre

Euler-Langrange-Gleichungen können in ihrer vollständigen Form abgeleitet werden, indem einfach das D'Almebert-Prinzip und die Tatsache verwendet werden, dass die Einschränkungen holonom sind. Wir können uns also nicht auf das Aktionsprinzip oder die Euler-Langrange-Gleichungen berufen, da dies nur zu einem Zirkelschluss führt.

Selene Rouley

@joshphysics Siehst du! Die Physik ist schließlich superdeterministisch!

QMechaniker

Oder mindestens eine Person ist supervorhersehbar :)

Antworten (4)

Prinzip von D'Alembert: Notwendigkeit virtueller Verschiebungen

Ich möchte eine Vorhersage über die Zukunft machen. In Kürze erhalten Sie eine Antwort von einem Benutzer, dessen Name mit einem "Q" beginnt und mit einem "c" endet.
Das Framework ist die Lagrangesche Mechanik . Um die reale Bewegung (Pfad) zu finden, müssen Sie eine Aktion extremisieren, und die für den realen Pfad und einen virtuell unendlich nahen Pfad berechnete Variation der Aktion muss Null sein. Zu fester Zeit $t$ , ist die infinitesimale Variation der Koordinaten zwischen diesen 2 unendlich nahen Pfaden eine virtuelle Verschiebung $\delta \vec r(t)$ .
.......Das D'Alembert-Prinzip ist eine verwandte Philosophie mit Einschränkungen und den Begriffen virtuelle Arbeit, verallgemeinerte Koordinaten, verallgemeinerte Kräfte und verallgemeinerte Bewegungsgleichungen . Letzteres mit konservativer Kraft $F_i = - \frac{\partial U(\vec r)}{\partial x^i}$ , sind äquivalent zu Euler-Lagrange-Gleichungen .
Euler-Langrange-Gleichungen können in ihrer vollständigen Form abgeleitet werden, indem einfach das D'Almebert-Prinzip und die Tatsache verwendet werden, dass die Einschränkungen holonom sind. Wir können uns also nicht auf das Aktionsprinzip oder die Euler-Langrange-Gleichungen berufen, da dies nur zu einem Zirkelschluss führt.
@joshphysics Siehst du! Die Physik ist schließlich superdeterministisch!

QMechaniker · Answer 1

Betrachten wir ein nicht-relativistisches Newtonsches Problem von $N$ Punktpartikel mit Positionen

\begin{matrix} (1) & r_{ich} (q, t), ich \in {1, \dots, N}, \end{matrix}

${\bf r}_i(q,t), \qquad i\in\{1, \ldots, N\},\tag{1}$

mit verallgemeinerten Koordinaten $q^1, \ldots, q^n$ , und $m=3N-n$ holonome Beschränkungen .

Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die angelegte Kraft des Systems ein verallgemeinertes (möglicherweise geschwindigkeitsabhängiges) Potential hat $U$ . (Dies schließt zB geschwindigkeitsproportionale Reibungskräfte aus.)

Es ist dann möglich, die folgende Schlüsselidentität abzuleiten

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} \sum_{ich = 1}^{N} (F_{ich} - {\dot{p}}_{ich}) \cdot (δ r_{ich} - \frac{\partial r_{ich}}{\partial t} δ t) = & \sum_{ich = 1}^{N} (F_{ich} - {\dot{p}}_{ich}) \cdot \sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial r_{ich}}{\partial q^{j}} δ q^{j} \\ = & \sum_{j = 1}^{n} (\frac{\partial L}{\partial q^{j}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^{j}}) δ q^{j}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}\sum_{i=1}^N \left({\bf F}_i-\dot{\bf p}_i\right)\cdot \left(\delta {\bf r}_i - \frac{\partial {\bf r}_i}{\partial t}\delta t\right) ~=~& \sum_{i=1}^N \left({\bf F}_i-\dot{\bf p}_i\right)\cdot \sum_{j=1}^n\frac{\partial {\bf r}_i}{\partial q^j}\delta q^j\cr ~=~& \sum_{j=1}^n \left(\frac{\partial L}{\partial q^j}-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j} \right) \delta q^j,\end{align} \tag{2}$

wo

\begin{matrix} (3) & p_{ich} = m v_{ich}, v_{ich} = {\dot{r}}_{ich}, L = T - U, T = \frac{1}{2} \sum_{ich = 1}^{N} m_{ich} v_{ich}^{2} . \end{matrix}

${\bf p}_i~=~m{\bf v}_i, \qquad {\bf v}_i~=~\dot{\bf r}_i, \qquad L~=~T-U,\qquad T~=~\frac{1}{2}\sum_{i=1}^Nm_i {\bf v}_i^2. \tag{3}$

Hier $\delta$ bezeichnet ein beliebiges Infinitesimal $^1$ Verschiebung ein $q$ s und $t$ , was mit den Einschränkungen vereinbar ist. Es gibt unendlich viele solcher Verschiebungen $\delta$ .

Die tatsächliche Verschiebung (dh diejenige, die tatsächlich realisiert wird) ist nur eine davon mit $\delta t >0$ .

Im Gegensatz dazu eine virtuelle Verschiebung $\delta$ hat per Definition

\begin{matrix} (4) & δ t = 0. \end{matrix}

$\delta t~=~0. \tag{4}$

Es ist üblich, die Zeitachse als horizontal zu bezeichnen, und die $q^j$ Richtungen als vertikal. Dann können wir sagen, dass eine virtuelle Verschiebung vertikal ist (4), während eine tatsächliche Verschiebung dies niemals ist.

Beachten Sie, dass sowohl die lhs. und die rechte. von Gl. (2) hängen effektiv nicht davon ab $\delta t$ .

Wir können zwischen den folgenden ersten Prinzipien wählen:

\begin{matrix} (5) & Das Prinzip von D'Alembert \Leftrightarrow Lagrange-Gleichungen \Leftrightarrow Stationäres Wirkprinzip . \end{matrix}

$\text{D'Alembert's principle } \Leftrightarrow \text{ Lagrange equations }\Leftrightarrow\text{ Stationary action principle}. \tag{5}$

I) Das sagt einerseits das Prinzip von d'Alembert

\begin{matrix} (6) & \sum_{ich = 1}^{N} (F_{ich} - {\dot{p}}_{ich}) \cdot δ r_{ich} = 0 \end{matrix}

$\sum_{i=1}^N \left({\bf F}_i-\dot{\bf p}_i\right)\cdot \delta {\bf r}_i~=~0 \tag{6}$

für alle virtuellen Verschiebungen $\delta$ befriedigende Gl. (4). Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass die lhs. von Gl. (2) verschwindet für beliebige (nicht notwendigerweise vertikale) Verschiebungen. Dann Lagrange-Gleichungen

\begin{matrix} (7) & \frac{\partial L}{\partial q^{j}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^{j}} = 0 \end{matrix}

$\frac{\partial L}{\partial q^j}-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j}~=~0\tag{7}$

folgt über Gl. (2) aus der Tatsache, dass die virtuellen Verschiebungen $\delta q^j$ in den verallgemeinerten Koordinaten sind uneingeschränkt und willkürlich.

Umgekehrt, wenn die Lagrange-Gleichungen. (7) erfüllt sind, dann die lhs. von Gl. (2) verschwindet. Dies führt auf das d'Alembertsche Prinzip (6) für vertikale Verschiebungen. Es führt nicht zum d'Alembertschen Prinzip (6) für nicht-vertikale Verschiebungen.

II) Andererseits, wenn wir die rhs integrieren. von Gl. (2) im Laufe der Zeit $t$ , erhalten wir (nach Verwerfen von Randtermen) die infinitesimale virtuelle/vertikale Variation

\begin{matrix} (8) & δ S = \int d t \sum_{j = 1}^{n} (\frac{\partial L}{\partial q^{j}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^{j}}) δ q^{j} \end{matrix}

$\delta S ~=~ \int \! \mathrm dt \sum_{j=1}^n \left(\frac{\partial L}{\partial q^j}-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j} \right) \delta q^j\tag{8}$

der Aktion $S= \int \!\mathrm dt~L$ . Das Prinzip der stationären Wirkung liefert dann die Euler-Lagrange-Gleichungen (7).

III) Lassen Sie uns abschließend die folgenden Punkte betonen:

Beachten Sie in beiden Fällen (I) und (II), dass die Freiheit, willkürliche virtuelle Verschiebungen oder virtuelle Variationen durchzuführen, es uns ermöglicht, die Lagrange-Gleichungen abzuleiten. (7).
Beachten Sie in beiden Fällen (I) und (II), dass die Verschiebungen vertikal (4) sind, dh keine horizontale Variation $\delta t$ .

Verweise:

H. Goldstein, Klassische Mechanik, Kapitel 1 und 2.

--

$^1$ Alle Verschiebungen und Variationen in dieser Antwort werden implizit als infinitesimal angenommen.

„Das schließt zB geschwindigkeitsproportionale Reibungskräfte aus“ - warum? Wenn wir geschwindigkeitsabhängiges Potential betrachten, wollen wir diese Kräfte wirklich einbeziehen, oder?
@Kazz8: Ja, wir erlauben geschwindigkeitsabhängige Potentiale $U$ . Und nein, die Reibungskraft ${\bf F}_f= -k{\bf v}$ hat kein geschwindigkeitsabhängiges Potential $U$ . Siehe zB diese Phys.SE-Antwort und den Text um Gl. (1.67) in Goldstein.

Freude · Answer 2

Um sicherzustellen, dass bei diesen Verschiebungen alle wirkenden Kräfte gleich bleiben, werden die Begriffe virtuelle Verschiebungen sowie entsprechende virtuelle Arbeiten verwendet. Reale Verschiebungen werden in der Regel durch Kraftänderungen ergänzt.

Die virtuelle Verschiebung ist kollinear mit der resultierenden Kraft und Beschleunigung eines Teilchens. Stellen Sie sich nun vor, was wäre, wenn die WIRKLICHE Verschiebung senkrecht zur Kraft ist (es ist möglich, wenn sich die Kräfte ändern). In diesem Fall kann die Richtung der Beschleunigung nicht definiert werden. Die virtuelle Verschiebung ist ein Vektorwert und nicht willkürlich.

Warum „brauchen“ wir also, dass die Kräfte gleich sind?
Die kurze Antwort ist, die realen Beschleunigungen zum momentanen Zeitpunkt zu finden. Die virtuelle Verschiebung ist kollinear mit der resultierenden Kraft und Beschleunigung des Teilchens. Stellen Sie sich nun vor, was wäre, wenn die WIRKLICHE Verschiebung senkrecht zur Kraft ist (es ist möglich). In diesem Fall kann die Richtung der Beschleunigung nicht definiert werden.

Larry Harson · Answer 3

Beantwortung Ihrer Punkte:

Virtuelle Verschiebungen werden verwendet, weil ohne sie das Theorem beim Ableiten nützlicher Bewegungsgleichungen nutzlos wäre. Mit ihnen können wir ableiten $N-m$ unabhängige Differentialgleichungen der Bewegung wo $N$ sind die Anzahl der unbeschränkten Freiheitsgrade, $m$ die Anzahl der Einschränkungen.
Eine virtuelle Verschiebung ist eine Verschiebung, die nicht notwendigerweise im Problem stattfindet, aber imaginiert wird, während sie mit den Beschränkungen kompatibel bleibt. Selbst bei einem Statikproblem mit einer Murmel am Boden eines kugelförmigen Brunnens ist jede imaginäre Verschiebung virtuell, da die Zeit eingefroren ist, da sie in Wirklichkeit am Boden fixiert ist.
Der Wert des Ausdrucks mit tatsächlich auftretenden Verschiebungen ist Null, da virtuelle Verschiebungen in jeder Richtung stattfinden können, die mit den Einschränkungen des Problems kompatibel ist

Peter · Answer 4

zu 3.) Wenn Ihre Zwangsbedingungen nicht zeitabhängig sind, entspricht dies der Arbeit, die die Zwangskräfte für die tatsächliche Zeitentwicklung Ihres Systems leisten. Will man, dass dieser Ausdruck für alle möglichen Verschiebungen verschwindet, so fordert man, dass die Zwangskräfte für keine möglichen Verschiebungen Arbeit verrichten können.

Prinzip von D'Alembert: Notwendigkeit virtueller Verschiebungen

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