Wann ist die Aktion auf der Schale identisch Null, und was bedeutet das?

Ich glaube nicht, dass es eine tiefe Bedeutung hat. Für jede Freifeldtheorie (einschließlich der Dirac-Gleichung) ist die Lagrange-Dichte in den Feldern quadratisch (bis zu einer Konstante, für die es keinen Grund gibt, sie nicht auf Null zu setzen) und kann geschrieben werden als$\mathcal{L} = \varphi_i\, D_{ij}\, \varphi_j$für einen linearen Differentialoperator$D_{ij}$, also nimmt die Bewegungsgleichung die schematische Form an$D_{ij} \varphi_j = 0$, und die Lagrange-Dichte verschwindet auf der Schale. Sobald Sie Wechselwirkungen hinzufügen, funktioniert dies nicht mehr, da sich die relativen Gewichte der verschiedenen Terme beim Differenzieren ändern und die Lagrange-Dichte nicht mehr proportional zum Euler-Lagrange-Ausdruck ist.

In Bezug auf den einfachen harmonischen Oszillator gibt es keinen besonders guten physikalischen Grund, die Bewegung nur über eine ganzzahlige (eigentlich halbzahlige) Anzahl von Schwingungen zu betrachten. Der SHO hat viele sinusförmige dynamische Größen, daher ist es ziemlich klar, dass die Aktion ebenso sein muss, und es ist nicht verwunderlich, dass er alle halbzahligen Schwingungen durch 0 geht. (Übrigens, der kinetische Begriff des Lagrange für das SHO ist es nicht$p^2/(2m)$, es ist$(1/2) m \dot{q}^2$. Die beiden Größen sind physikalisch gleich, aber konzeptionell sehr unterschiedlich. Lagrange-Operatoren haben verallgemeinerte Geschwindigkeiten und Hamilton-Operatoren haben verallgemeinerte Impulse.)