Wie hängen klassisches und Quantenimpuls auf intuitive Weise zusammen?

Kann mir bitte jemand grundsätzlich erklären, warum der Impuls einer Wahrscheinlichkeitswelle (gegeben durch p = h/λ) derselbe ist wie der Impuls des Teilchens, das die Wahrscheinlichkeitswelle beschreibt (gegeben durch p = mv)?

Es ist schwer, dies mit einer kurzen Antwort zu erklären, da, um überhaupt zu einer "Antwort" auf diese Frage zu kommen, die Erklärung vieler Grundlagen der Quantenmechanik erforderlich ist. Und diese Grundlagen sind irgendwie unaufhaltsam in einem mathematischen Formalismus gefangen, der zumindest erfordert, dass Sie die Analysis verstehen ... aber versuchen wir es trotzdem ...

In der Einteilchen-Quantenmechanik findet man heraus, dass man leider einfach keine vollständig deterministischen Vorhersagen über die Position eines „Teilchens“ machen kann (für diese Diskussion bedeutet „Teilchen“ so etwas wie ein Elektron). Stattdessen muss man ein Teilchen so charakterisieren, dass es durch eine Wahrscheinlichkeits-Amplituden-Wellenfunktion (oft als$\Psi(x,t)$, Wo$x$ist ein räumliches Positionsargument).

Das absolute Quadrat der Wahrscheinlichkeitsamplitude ergibt die Wahrscheinlichkeitsdichte, dass das Teilchen „bei x“ ist.

Zum Beispiel,$\int_{x_1}^{x_2}|\Psi(x,t)|^2dx$ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen dazwischen befindet$x_1$Und$x_2$zur Zeit t.

Zum Beispiel,$\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi(x,t)|^2dx=1$(da das Integral einer Wahrscheinlichkeitsdichte über alle möglichen Werte 1 ist).

Die Quantenmechanik gibt uns auch einen Weg, herauszufinden, wie die Wellen funktionieren$\Psi(x,t)$ändert sich mit der Zeit. Die Gleichung, die bestimmt, wie$\Psi(x,t)$sich mit der Zeit ändert, wird als Schrödinger-Gleichung bezeichnet.

Zum Beispiel die "freie" Schrödinger-Gleichung, die bestimmt, wie eine "freie" Teilchenwelle funktioniert$\Psi_f$ändert sich mit der Zeit:

$$\frac{i\hbar\partial \Psi_f(x,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi_f(x,t)}{\partial x^2}\;,$$ Wo$\hbar = h/(2\pi)$Und$m$ist die Teilchenmasse.

Angesichts dessen$|\Psi(x,t)|^2$die Wahrscheinlichkeitsdichte ist, können wir (wie üblich mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie) den erwarteten Wert von "X", der Position, berechnen. Dieser Erwartungswert ist:

$$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty}x|\Psi(x,t)|^2dx$$

Wir können auch den erwarteten Wert von "P", dem Momentum, berechnen. Dieser Erwartungswert ist:

$$E[P] = \int_{-\infty}^{\infty}\Psi^*(x,t)\frac{-i\partial\Psi(x)}{\partial x}dx\;,$$ bei dem die "$*$" bedeutet "komplex konjugiert" (das absolute Quadrat einer komplexen Funktion ist$|\Psi(x,t)|^2=\Psi^*(x)\Psi(x)$).

Dies führt dazu, den "Impulsoperator" zu definieren als

$$\hat P = -i\frac{\partial{\;\;}}{\partial x}$$

In der Quantenmechanik der „Impuls“ eines Teilchens in einem Zustand$\Psi$wird bestimmt, indem der "Impulsoperator" dazwischen eingefügt wird$\Psi^*$Und$\Psi$und Integration über den ganzen Raum. Beachten Sie, dass, obwohl ich sagte, das „Momentum“ von dem, was ich hätte sagen sollen, „der erwartete Wert des Momentums“ war. Der tatsächlich gemessene Wert des Impulses kann tatsächlich jeder Wert von negativ unendlich bis unendlich sein und die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Impuls (wie sich herausstellt) ist tatsächlich die Fourier-Transformation (in Bezug auf x) von$\Psi(x,t)$. Ebenso kann der tatsächlich gemessene Wert der Position alles von negativ unendlich bis unendlich sein, aber der "erwartete Wert" ist die Gewichtung all dieser mit der Wahrscheinlichkeit$|\Psi(x)|^2$.

Die Leute nennen den "erwarteten Wert des Momentums" oft einfach das "Momentum" und könnten schreiben:

$$"p" = E[P] = \int_{-\infty}^{\infty}\Psi^*(x,t)\frac{-i\partial\Psi(x)}{\partial x}dx\;,$$ Es ist gut, dies im Hinterkopf zu behalten, da das Teilchen keinen bestimmten Impuls "hat", dh wenn wir den Impuls messen, ist jeder Wert möglich, aber abhängig von der Wellenfunktion können einige Möglichkeiten wahrscheinlicher sein als andere und auch angesichts der Wellenfunktion kann der Erwartungswert bestimmt werden.

OK. So. Zurück zu unserer freien Teilchen-Schrödinger-Gleichung: Wir können sie auf die übliche Weise lösen, indem wir einfach die richtige Antwort erraten (sorry). Eine Lösung ist zufällig:

$$\Psi_f(x,t) = e^{ip_0x/\hbar-ip_0^2t/(2m\hbar)}\;,$$ Wo$p_0$ist ein Parameter mit Impulseinheiten.

Unglücklicherweise ist diese Lösung nicht wirklich akzeptabel, da sie nicht normalisiert werden kann (ihr quadriertes Integral kann nicht gleich eins gemacht werden, wie es für reale Wahrscheinlichkeitsamplituden getan werden muss). Machen wir trotzdem weiter.

Nach unserer Maschinerie, um den erwarteten Wert des Impulses zu berechnen. Wir sollten tun:

$$"p" = E[P] = \int_{-\infty}^{\infty}\Psi_f^*(x,t)\frac{-i\partial\Psi_f(x,t)}{\partial x}dx = p_0\int|\Psi(x,t)|^2\;,$$ was genau gleich wäre "$p_0$" bis auf die unglückliche Tatsache, dass unsere arme Wellenfunktion nicht normierbar ist. Scheint aber dennoch die Aussage einigermaßen zu rechtfertigen$\frac{-i\partial}{\partial x}$ist ein vernünftiger "Impulsoperator".

Der räumlich abhängige Teil unserer$\Psi_f(x,t)$ist nur

$$e^{ip_0x/\hbar}\;,$$ das ist eine (komplexe) Welle im Raum.

Die Wellenlänge dieser Welle ist dadurch gegeben, wie weit in x die Welle gehen muss, bis das Argument von Null nach geht$2\pi$(da sich eine Welle jedes Mal wiederholt, wenn die Phase (der Teil, der die$i$) geht durch eine andere$2\pi$mehrere). Das ist wenn$ip_0 x$Ist$i2\pi$:

$$2\pi = p_0 (wavelength)/\hbar\;,$$ was bedeutet, dass: $$(wavelength) = \frac{2\pi\hbar}{p_0}\;.$$

In unserem inakzeptablen (nicht normalisierbaren) Fall sieht es also so aus, als ob der "Impuls" des "freien Teilchens" ist:

$$"p_f" = \frac{2\pi\hbar}{(wavelength)}\;.$$

Oder zurückschalten von$\hbar$Zu$h$, das ist:

$$"p_f" = \frac{h}{(wavelength)}$$

Es ist eine Hypothese, die experimentellen Daten entsprach. Es ist lesenswert , wie sich die Quantentheorie langsam aus experimentellen Beobachtungen entwickelt hat.

Einstein schlug das vor$E=hν$im Schwarzkörperstrahlungsrätsel, und der Impuls für diese Hypothese ist$p=E/c=h/λ$für die masselosen Photonen.

De Broglie erweiterte es auf massive Teilchen.

($h$die Planck-Konstante,$c$die Lichtgeschwindigkeit$ν$die Lichtfrequenz u$λ$die Wellenlänge).

Es war eine Hypothese, die bestätigt wurde:

Die Formel von De Broglie wurde drei Jahre später für Elektronen durch die Beobachtung der Elektronenbeugung in zwei unabhängigen Experimenten bestätigt.

In dem Einzelelektronen-zu-Zeit-Doppelspalt- Experiment und dem Einzelphotonen-zu-Zeit-Experiment ist zu sehen, dass massive und masselose Teilchen die vorhergesagten Interferenzmuster in den Wahrscheinlichkeitsverteilungen erzeugen .

Kann mir bitte jemand grundsätzlich erklären, warum der Impuls einer Wahrscheinlichkeitswelle (gegeben durch p = h/λ) derselbe ist wie der Impuls des Teilchens, das die Wahrscheinlichkeitswelle beschreibt (gegeben durch p = mv)?

Es war eine Hypothese, die durch Analogie zu Photonen, den Lichtquanten, angetrieben wurde, die durch Experimente bestätigt wurde und schließlich innerhalb der quantenmechanischen Theorie existiert, wie sie sich mit strenger Mathematik entwickelt hat.

Der Quantenimpuls ist eine "unscharfe" Version des klassischen Impulses: Insbesondere kann er als eine informationsbegrenzte Version davon betrachtet werden.

Betrachten Sie dieses anschauliche Beispiel , um zu verstehen, was „begrenzte Informationen“ bedeutet . In der klassischen Mechanik wird Ihr klassischer Impuls durch eine reelle Zahl dargestellt, z

$$p := 0.57701249053\cdots$$

oder etwas ähnliches. Eine beliebige reelle Zahl erfordert eine unendliche Menge an Informationen, um sie anzugeben: Um fast jede reelle Zahl ohne Einschränkung anzugeben, gibt es (nachweislich) keinen anderen, kompakteren Weg, als einfach alle ihre Ziffern aufzulisten , die unendlich sind Nummer.

Wenn wir jedoch nur eine endliche Anzahl von Ziffern beibehalten , z

$$0.577$$

, hätten wir jetzt eine endliche Menge an Informationen. Natürlich könnte man sich beim Anblick dieser Ziffernfolge zunächst fragen, wie das besser sein soll – ist „0,577“ nicht doch nur eine spezielle reelle Zahl, die sich leicht darstellen lässt? Nun, es wäre . wenn wir diese Zeichenfolge als Darstellung der reellen Zahl nehmen würden

$$0.57700000000000000\cdots$$

ins Unendliche gehen. Aber das tun wir nicht. Wir nehmen "0,577" als Angabe einer Zahl, die nicht genauer als das nächste Tausendstel ist. Es ist nicht auf eine feinere Auflösung spezifiziert und spezifiziert daher keinen bestimmten Punkt im Raum oder hier eine bestimmte Impulsstärke. Dieses Momentum ist eher eine nicht spezifizierte Größe zwischen 0,577 und 0,578 - und für unser reales Universum scheint es, dass die weiter spezifizierte Größe in ihrer Art einfach nicht existiert. Das Universum ist sparsam bei der Zuteilung von Informationen zur Beschreibung der Objekte, die es enthält, und ist nicht verschwenderisch.

Allerdings ist die richtige Vorstellung von „begrenzter“ Information für das reale Universum nicht ganz so einfach wie dieses „Zerhacken“ der Ziffern auf diese Weise. Stattdessen brauchen wir eine etwas komplexere Art, über Informationsbegrenzung zu sprechen, die es ermöglicht, sie auf unterschiedliche Weise einzuschränken . Um ein Beispiel zu sehen - nur um Sie für die Möglichkeit zu öffnen, dass es andere Möglichkeiten gibt, Informationen zu fehlen, als nur Ziffern am Ende abzuschneiden - beachten Sie, dass wir auch anders schreiben könnten "$p$“ mit „weniger Informationen“ wäre

$$0.5770\mathrm{OEEOE}$$

wo wir jetzt ein paar mehr Ziffern behalten haben, aber jetzt nur ihre Parität angeben : hier$\mathrm{O}$bedeutet eine unbekannte ungerade Ziffer (dh 1, 3, 5, 7, 9) und$\mathrm{E}$bedeutet, dass es sich um eine unbekannte gerade Ziffer handelt (dh 0, 2, 4, 6, 8). Wir haben also einige Informationen über diese neuen Ziffern, aber keine vollständigen Informationen. Es gibt mehr Informationen als unsere Zeichenfolge "0,577", aber immer noch weniger Informationen als die ganze reelle Zahl.

Nun, um über das tatsächliche Universum zu sprechen, hat es viele, viele Möglichkeiten, wie die Informationen begrenzt werden können, und die beste Sprache, die wir geschaffen haben, um zu diskutieren, wie es funktioniert, ist die Sprache der Wahrscheinlichkeiten , und dies ist die Sprache, in der wir Quanten schreiben Theorie in. Um zu verstehen, wie/warum diese Wahrscheinlichkeiten eine Form von Informationen sind, oder genauer gesagt, eine Form, über fehlende Informationen zu sprechen, überlegen Sie sich, wie Sie sie in einer gewöhnlichen Umgebung verwenden können. Wenn Sie in einem beiläufigen Gespräch sagen, dass „ich mir nur zu 75 % sicher bin“, ob etwas der Fall ist oder nicht, sagen Sie, dass Sie nicht wirklich so gut darüber informiert sind, ob es der Fall sein wird oder nicht, als ob Sie es tatsächlich wären wusste es genau. Das ist wirklich eine (zugegebenermaßen ad hoc) Wahrscheinlichkeit, die verwendet wird, um einen Zustand begrenzter Informationen in Ihrem Kopf darzustellen.

Und genau das machen wir in der Quantenmechanik: Wir ordnen jetzt jedem möglichen Impuls einen Wahrscheinlichkeitswert zu $p$des Teilchens - etwas, das wir eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder pdf nennen :

$$P(p)$$

woraus wir durch die Verwendung von Kalkül die tatsächliche Wahrscheinlichkeit erhalten können, dass der Impuls$p$in einem beliebigen angegebenen Bereich liegt. Wenn es eine sehr hohe Wahrscheinlichkeit dafür gibt, dass es sich in einer engen Spanne befindet und nur sehr wenig anderswo, können wir sagen, dass wir aus der gleichen Argumentation viele Informationen darüber haben, was das Momentum ist, und wenn die Spanne breit ist, wir können sagen, dass wir wenig Informationen haben.

Nun zur Relation

$$p = \frac{h}{\lambda}$$

, erfordert dies, dass wir etwas näher darauf eingehen, warum wir diese probabilistischen Beschreibungen verwenden müssen. Insbesondere scheint das Universum eine Grenze für den Informationsgehalt zu haben , genauso wie es auch eine Grenze für die Informationsbewegung hat ( die berühmte Lichtgeschwindigkeit). Und eine Folge davon erscheint so, dass bestimmte Paare von physikalischen Parametern eines Objekts, wie sein Impuls und seine Position , insofern begrenzt sind, als die gleichzeitige Information, die für beide zu einem bestimmten Zeitpunkt existieren kann.

Und es ist nicht einfach so, dass das Universum Informationen vor uns „versteckt“ oder dass wir einfach nicht schlau genug sind – wenn wir versuchen, das anzunehmen und mit dieser Theorie weit genug gehen, geraten wir tatsächlich in einen kleinen Widerspruch gegen die gerade erwähnte Beschränkung der Informationsbewegung. Es scheint wirklich, zumindest für die einfachste Hypothese, dass die Informationen begrenzt sind. Es ist auch nicht so, dass er keine Informationen enthält, also ja, der Mond „ist immer noch da, wenn Sie nicht hinsehen“ [oder zumindest haben wir keinen Grund anzunehmen, dass dies nicht der Fall ist, jedenfalls nicht auf dieser Grundlage], im Gegensatz zu dem, was Sie tun vielleicht in einigen Pop-Kult-Ideen zu diesem Thema gehört haben.

In jedem Fall führt diese Begrenzung der gleichzeitigen Informationen jedoch zu einem Kompromisseffekt , da, sobald Sie Informationen für eine Hälfte des Parameterpaars über einen bestimmten Punkt hinaus anfordern, Informationen in der anderen Hälfte des Paars ausgeschlossen werden. Wenn Sie versuchen, mehr Informationen zu sammeln , als für diese eine Hälfte bereits vorhanden sind, werden Sie einige der Informationen in der anderen Hälfte zerstören .

Und die Formel, die Sie erwähnen, bezieht sich tatsächlich genau darauf. Um tatsächlich zu beschreiben, wie man es nach diesen Zeilen hinbekommt, wäre ein bisschen mehr Mathematik erforderlich, um es vollständig gerecht zu werden, aber eine Beschreibung in einfacher Sprache ist so. Da wir festgestellt haben, dass es einen Kompromiss zwischen Momentum- und Positionsinformationen gibt, stellt sich heraus, dass die Art und Weisedes Kompromisses - denken Sie daran, dass Informationen auf verschiedene Weise fehlen können - ist "einfach so", dass hohe Informationsmomente (dh eine scharfe, enge Wahrscheinlichkeitsverteilung) weit über der Kompromissschwelle liegen, um einen umfangreichen Informationsverlust zu erzwingen in der Position, einen solchen Verlust in der Positionswahrscheinlichkeitsverteilung manifestieren, da sie (vereinfacht gesagt) einen wellenförmigen Charakter annimmt. Und die Wellenlänge dieser Wellen hängt mit dem hochpräzisen Impulswert durch die obige Formel zusammen.

Insofern , warum das Universum Informationen auf diese Weise handelt und nicht auf andere Weise, nun, das ist eine dieser metaphysischen Fragen, keine physischen. "Es ist so gebaut / geformt / was auch immer Sie glauben", zumindest angesichts des Umfangs unseres Wissens. Wir können jedoch sagen, dass Leben, wie wir es verstehen, sonst nicht existieren könnte, weil diese Informationsgrenzen und Kompromisse der Materie eine großartige Struktur verleihen und die gesamte Komplexität der Chemie und damit auch der Biologie ermöglichen.