Der Impuls eines Photons ist gleich der Planckschen Konstante über der Wellenlänge

Es scheint, als wären Sie mit Antworten, die Axiome betreffen, nicht zufrieden. Ich denke, dass Sie stattdessen die Motivation hinter dem Axiom wissen möchten, anstatt nur zu sagen, dass es funktioniert. Ich bin mir nicht sicher, ob meine Antwort die ursprüngliche Motivation ist, aber ich denke, sie kann als gute Motivation für die Gültigkeit von angesehen werden$p= \frac{h}{\lambda}$. Während andere Antworten einen großartigen Job machen, um in die Theorie einzusteigen, werde ich die Frage eher mit einer experimentellen Motivation angehen.

Wir beginnen zunächst mit dem Doppelspaltexperiment . Dieses Experiment wird normalerweise zuerst als Beweis für die wellenartige Natur des Lichts eingeführt, bei dem Licht, das von einem Schlitz ausgeht, mit Licht interferiert, das vom anderen ausgeht (natürlich findet man eine andere Interpretation, wenn wir einzelne Photonen durch die Schlitze schicken und die gleiche Interferenz haben Muster entsteht, aber ich schweife ab). Dieses Experiment funktioniert aber auch mit Elektronen. Sie erhalten ein Interferenzmuster, das mit der Behandlung der Elektronen als Wellen mit Wellenlänge übereinstimmt

$$\lambda=\frac hp$$

Sie erhalten so Intensitätsmaxima

$$\sin\theta_n=\frac{n\lambda}{d}$$

Wo$\theta$ist der Winkel, der durch das zentrale Maximum, den Schlitz und das betreffende Maximum gebildet wird,$d$ist die Schlitztrennung, und$n$ist eine ganze Zahl.

Dies wäre dann eine Möglichkeit, diese Beziehung zwischen Impuls und Wellenlänge für Materie experimentell zu motivieren / zu verifizieren, aber was ist mit Photonen? Das Doppelspaltexperiment gibt uns keine Möglichkeit zur Validierung$p=\frac h\lambda$(das ist mir bekannt. Vielleicht könnten Sie den Strahlungsdruck auf dem Detektor bestimmen?). Schauen wir uns ein anderes Experiment an.

Wir wissen, dass die Energie eines Photons aus der speziellen Relativitätstheorie stammt

$$E=pc$$

Also, wenn unsere Impulsbeziehung wahr ist, muss es so sein

$$E=\frac{hc}{\lambda}=hf$$ was experimentell verifiziert werden kann , um wahr zu sein. Der photoelektrische Effekt ist ein solches Experiment, bei dem Licht auf ein Material scheint, wodurch Elektronen oder andere Ladungsträger von diesem Material emittiert werden. Je höher die Frequenz des Lichts ist, desto energiereicher sind die aus dem Material kommenden Elektronen, und es kann gezeigt werden, dass die maximale kinetische Energie eines Elektrons folgt$K_{max}=h(f-f_0)$Wo$f$ist die Frequenz des Lichts und$f_0$ist die materialabhängige Schwellenfrequenz (d.h. wir brauchen$f>f_0$).

Ich weiß, dass meine Antwort nicht zu einer grundlegenden Erklärung dieser fraglichen Beziehung führt, aber ich hoffe, sie zeigt, warum man möchte, dass es eine grundlegende Idee ist, die bei der Formulierung von QM gilt. Wenn Sie eine grundlegendere Erklärung wünschen, werde ich diese Antwort bearbeiten oder entfernen, da hier bereits einige ziemlich gute grundlegende Antworten vorliegen.

Viele Feinheiten beschönigen:

Ein grundlegendes Axiom der Quantenmechanik ist die kanonische Kommutierungsrelation$[\hat{X}, \hat{P}] = i \hbar$. In dieser Position Basis wird dies$\hat{X} \to x$Und$\hat{P} \to -i \hbar \frac{\partial}{\partial x}$(Modulo viele technische Details mit dem Stone-von-Neumann-Theorem usw.).

Ein weiteres grundlegendes Axiom der Quantenmechanik ist, dass Zustände mit bestimmten Werten einer physikalischen Observablen Eigenzustände des entsprechenden hermiteschen Operators sein müssen. Also ein Teilchen mit Impuls$p$wird durch eine Wellenfunktion beschrieben$|p\rangle$befriedigend$\hat{P} |p\rangle = p |p\rangle$. (Ob wir berechtigterweise über die Wellenfunktion eines masselosen relativistischen Teilchens sprechen können, ist eine weitere Feinheit, die ich beschönigen werde.)

Wenn wir das zusammenfassen, haben wir das in der Positionsbasis

$$-i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial x} = p \psi(x) \implies \psi(x) \propto e^{i p x / \hbar}.$$ Die Wellenfunktion ist also räumlich periodisch mit Periode$\lambda = 2 \pi \hbar / p = h / p$, So$p = h / \lambda$. Diese "Ableitung" funktioniert gleich gut, egal ob das Teilchen massiv oder masselos ist oder nicht.

Ich werde auf der Antwort von tparker so aufbauen, dass die große Allgemeingültigkeit der Beziehung zwischen Impuls und Wellenlänge betont wird.

In der klassischen Physik kann ein sehr allgemeines Ergebnis namens Noether-Theorem als Grundlage für eine Definition des Impulses verwendet werden. Die Eingaben für den Satz von Noether sind:

• das Wirkprinzip – frei übersetzt besagt dies, wenn eine physikalische Entität eine andere beeinflusst, dann müssen sich beide gegenseitig beeinflussen;
• jede kontinuierliche Symmetrie - wie Rotationssymmetrie oder Zeittranslationssymmetrie.

Der Satz von Noether besagt, dass diese Eingaben die Existenz eines Erhaltungsgesetzes implizieren, das mit der gegebenen Symmetrie verbunden ist. Beispielsweise führt die Rotationssymmetrie zur Erhaltung des Drehimpulses und die Zeit-Translations-Symmetrie zur Erhaltung der Energie. Diese Zusammenhänge können als Definitionen des Drehimpulses bzw. der Energie angesehen werden.

Wenn die Symmetrie Symmetrie unter Verschiebungen im Raum ist , was ungefähr bedeutet, dass die Gesetze der Physik überall gleich sind, dann ist das resultierende Erhaltungsgesetz die Erhaltung des Impulses – das heißt des Gesamtimpulses des Systems. Dieser Zusammenhang kann als Definition des Impulses angesehen werden.

In einem Modell, das das elektromagnetische Feld beinhaltet, beinhaltet diese Definition des Impulses einen Beitrag des elektromagnetischen Feldes – und von allem anderen, das am Wirkprinzip teilnimmt, indem es andere Entitäten beeinflusst (und von ihnen beeinflusst wird).

In der Quantenphysik kommen diese gleichen allgemeinen Verbindungen mit einer anderen Wendung: Für jede dieser Symmetrien haben wir einen Operator, der diese Symmetrien erzeugt (mehr Details weiter unten), und dieser Operator ist die Darstellung der entsprechenden Erhaltungsgröße in der Quantentheorie. Insbesondere der Impulsoperator erzeugt Verschiebungen im Raum. Genauer gesagt ist dies der Gesamtimpulsoperator , der Übersetzungen des gesamten physikalischen Systems im Raum erzeugt. Dieser Operator ist ein grundlegender Bestandteil in jedemQuantensystem, dessen Gesetze überall gleich sind. Dies gilt sowohl für die nichtrelativistische Quantenmechanik als auch für die relativistische Quantenfeldtheorie. Obwohl das Konzept eines masselosen Teilchens die Relativitätstheorie beinhaltet, beruht die Verbindung zwischen Impuls und Raumtranslationssymmetrie nicht auf der Relativitätstheorie.

Nun, wie versprochen, hier mehr Details darüber, was es bedeutet zu sagen, dass der Impulsoperator „Übersetzungen im Raum erzeugt“. Wie in tparkers Antwort let$\hat P$bezeichnen jede einzelne Komponente des Impulsoperators, die Translationen in dieser einen Richtung im Raum erzeugt. Die Antwort von tparker hat dies bereits im Fall der Einteilchen-Quantenmechanik schön veranschaulicht. Als weiteres Beispiel werde ich betrachten, wie ein masseloses Photon im Quantenmodell des elektromagnetischen Feldes beschrieben wird. In diesem Modell, anstatt einen Bediener zu haben$\hat X$für die Position eines einzelnen Teilchens haben wir Feldoperatoren wie$\hat E(x)$Und$\hat B(x)$repräsentiert die elektrischen und magnetischen Felder. Diese Operatoren werden durch den Standort parametrisiert$x$im Weltraum. Ich lasse ihre Vektorindizes weg, um die Gleichungen nicht zu überladen.

Nun, ein Photon ist ein Teilchen, das mathematisch durch Anwendung einer geeigneten linearen Kombination von erzeugt wird$\hat E(x)$Und$\hat B(x)$in den Vakuumzustand. Ein solcher Einzelphotonenzustand kann in die Form geschrieben werden

$$|1\rangle = \int dx\ \big(f(x)\hat E(x) + g(x) \hat B(x)\big)|0\rangle$$ Wo$|0\rangle$ist der Vakuumzustand und wo$f$Und$g$geeignete komplexwertige Funktionen der räumlichen Koordinate sind$x$. Bei einem solchen Einzelphotonenzustand können wir das Photon im Raum um einen Betrag verschieben$a$durch Anwendung des Operators$\exp(i\hat P a/\hbar)$, so was: $$\begin{align*} \exp\big(i\hat P a/\hbar\big)|1\rangle &= \int dx\ \big(f(x)\hat E(x+a) + g(x) \hat B(x+a)\big)|0\rangle \\ &= \int dx\ \big(f(x-a)\hat E(x) + g(x-a) \hat B(x)\big)|0\rangle. \end{align*}$$ Der zweite Schritt folgt einfach durch Änderung der Integrationsvariablen. Der erste Schritt folgt aus $$\begin{align*} \exp\big(i\hat P a/\hbar\big)\hat E(x) &= \hat E(x+a)\exp\big(i\hat P a/\hbar\big) \\ \exp\big(i\hat P a/\hbar\big)\hat B(x) &= \hat B(x+a)\exp\big(i\hat P a/\hbar\big) \end{align*}$$ was es bedeutet, das zu sagen$\hat P$generiert Übersetzungen, zusammen mit $$\hat P\,|0\rangle = 0 \hskip1cm \Rightarrow \hskip1cm \exp\big(i\hat P a/\hbar\big)\,|0\rangle = |0\rangle,$$ was besagt, dass der Vakuumzustand unter Translationen invariant ist. Seit$\hat P$ist per Definition auch der Impulsoperator (wie in der oben beschriebenen Noether-Theorem-Perspektive), der besagt, dass ein Photon einen einzigen Impuls hat$p$ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass der Staat$|1\rangle$erfüllt $$\hat P\,|1\rangle = p\,|1\rangle.$$ (Übrigens, die andere Gleichung$\hat P\,|0\rangle=0$oben gezeigt sagt, dass der Vakuumzustand Null Impuls hat.) Dies impliziert $$\exp\big(i\hat P a/\hbar\big)\,|1\rangle = \exp\big(i p a/\hbar\big)\,|1\rangle.$$ Dies ist an sich nicht schlüssig, da es in einem Einzelphotonenzustand nichts anderes gibt, mit dem das Photon interagieren könnte, das seine Wellenlänge preisgeben könnte. Die gleichen Prinzipien gelten jedoch immer noch, wenn wir ein Photon im Zusammenhang mit einer Art Interferometer betrachten, und dann die Tatsache, dass die Phase des Photons wie oszilliert$\exp(i p a/\hbar)$hat beobachtbare Folgen. Insbesondere das Übersetzen des Photons über eine Distanz$a$so dass$pa/\hbar = 2\pi$ist dasselbe wie das Multiplizieren seines Zustands mit$\exp(2\pi i)=1$. Mit anderen Worten, seine Wellenlänge ist $$\lambda=2\pi\frac{\hbar}{p} = \frac{h}{p}.$$ Obwohl die Idee eines masselosen Photons auf der Relativitätstheorie beruht, ist dies bei der Idee, dass der Impuls und die Wellenlänge eines Teilchens auf diese Weise zusammenhängen, nicht der Fall. Diese Beziehung ergibt sich aus der sehr allgemeinen Tatsache, dass der Impulsoperator Verschiebungen im Raum erzeugt – hier veranschaulicht anhand eines Modells des elektromagnetischen Felds und veranschaulicht von tparker anhand der Einzelteilchen-Quantenmechanik.

Lassen Sie der Einfachheit halber$k=2\pi/\lambda$Und$\omega=2\pi f$. Hier$k$heißt Wellenvektor und$\omega$ist eine Version der Frequenz, die in Einheiten von Radianten pro Sekunde und nicht in Schwingungen pro Sekunde angegeben ist.

Dann haben wir die folgenden zwei völlig analogen Beziehungen:

$$p=\hbar k$$

$$E=\hbar \omega .$$

Die Analogie gilt, weil in der Relativitätstheorie der Impuls für den Raum so ist wie die Energie für die Zeit.

Wenn Sie davon ausgehen$p=\hbar k$, dann gibt es einfache Argumente, die zu führen$E=\hbar \omega$. Wenn Sie davon ausgehen$E=\hbar \omega$, gibt es ähnliche Agumente, die Sie dazu bringen$p=\hbar k$. Sie sind nicht unabhängig voneinander. Wenn Sie an das eine glauben, und Sie glauben an die Relativität, dann müssen Sie an das andere glauben.

Dies sind grundlegende Beziehungen, die in der gesamten Quantenmechanik gelten. Sie gelten nicht nur für Photonen, sie gelten auch für Elektronen und Baseballs.

Bei „Warum“-Fragen wie dieser muss man sich entscheiden, was man als Grundannahme nehmen will. Es gibt Behandlungen der Quantenmechanik, die verschiedene Sätze von Axiomen verwenden. Je nachdem, welchen Satz von Axiomen Sie wählen, können diese Beziehungen abgeleitet werden oder sie können Axiome sein. Wenn Ihnen jemand sagt, dass er einen Beweis für eine dieser Beziehungen hat, sollten Sie ihn fragen, von welchen Annahmen er ausgegangen ist, und sich dann fragen, ob Sie die Annahmen solider finden als diese Beziehungen. Sind die Annahmen eher intuitiv vernünftig? Besser durch Experiment verifiziert? Ästhetisch vorzuziehen?

Ok, dies ist keine wirklich direkte Antwort auf die Frage, sondern nur eine Reaktion auf einen der Kommentare von OP. Meine Bemerkung war zu lang, um in einen Kommentar zu passen, also habe ich sie in eine Antwort eingefügt, sorry dafür. S. rotos sagte, er habe ein Problem mit einer der Antworten, weil: „Ja, es gibt bestimmte Dinge, die Axiome sind und sozusagen nicht wirklich abgeleitet sind, aber es muss immer noch eine Art Intuition oder Rechtfertigung geben aus dem Nichts auftauchen“

Aber ich glaube, sie tun es manchmal (oft ?)!

Eigentlich, wenn wir dem historischen Gedankengang zu diesem Thema folgen, sollten wir uns an Planck erinnern, der daran arbeitete, die UV-Katastrophe zu lösen. Er versuchte verzweifelt, die Schwarzkörperstrahlung durch statistische Mechanik zu beschreiben. Aus einer Idee heraus probierte er die Hypothese aus, dass Strahlungen in diskreten Energiebündeln E=hf emittiert würden. Eine Idee, die (fast) aus dem Nichts kam, wie er selbst zugab (zumindest ohne jegliche physische Begründung). Er schrieb ihm keine physikalische Bedeutung zu und betrachtete es als bloßen mathematischen Trick.

Einstein erkannte an, wie gut Plancks Ergebnis die experimentellen Ergebnisse beschreibe, und erklärte später, dass all dies tatsächlich eine physikalische Bedeutung habe. Er interpretierte es als die Aussage, dass sich Licht auch wie ein diskretes Teilchen mit einer bestimmten Energie verhalten könnte. Viele halten diese Idee für den Beginn der Quantenmechanik. De Broglie nahm diese Idee später zurück und spiegelte sie wider: Er sagte, wenn eine "Welle" wie Licht als "Teilchen" beschrieben werden könne, könne ein "Teilchen" wie ein Elektron als "Welle" beschrieben werden. Diese Äquivalenz erfolgt durch die berühmte Beziehung, über die wir sprechen, und kann als natürliche Folge der E = hf-Beziehung angesehen werden, wie in einer anderen Antwort erklärt wurde

Wie Sie sehen, können wir ziemlich gut sagen, dass die Hypothese „E=hf“ aus dem Nichts kam ! Definitiv keine intuitive Aussage : Es widersprach allen damaligen Intuitionen. Nur eine Hypothese, die so verdammt gut funktionierte, dass wir versuchten, ihr einen Sinn zu geben ... Und kamen auf die Quantenmechanik. Ich glaube, es ist etwas, das man zunächst als mathematischen Trick betrachten muss, der später durch experimentelle Tatsachen bestätigt wird.

Der Versuch, ein intuitives Prinzip für etwas zu finden, das in seinem Kern so kontraintuitiv wie QM ist, ist imo ein verzweifelter Versuch. All diese "Paradoxien" und wahnsinnigen Verhaltensweisen auf der Quantenskala müssen von etwas kommen, das zumindest ein bisschen beschissen ist, würden Sie nicht zustimmen?

Der Idee, dass Physik intuitiv sein sollte, widerspreche ich im Allgemeinen. Wenn dem so wäre, würden wir auf einer flachen Erde leben, mit einer rundum kreisenden Sonne. Das ist Intuition genau dort :D