Quantenimpuls (De Broglie)

In der De-Broglie-Relation$p=\hbar k$, die linke Seite stellt den Impuls eines Teilchens dar , während die$k$rechts ist die Wellenzahl einer Welle . Der Schlüssel hier ist, dass, wenn die Beziehung gültig sein soll, die Welle die richtige Amplitude haben muss, um genau ein Teilchen darzustellen.

Nehmen wir zum Beispiel an, wir haben eine Lichtwelle, die genau den Lichtwert eines Photons darstellt. Es hat eine bestimmte Energie und Frequenz, bezogen auf$E=\hbar \omega$, und ein bestimmter Impuls und eine bestimmte Wellenzahl, bezogen auf$p=\hbar k$.

Nehmen wir nun an, wir nehmen diese Lichtwelle und vergrößern ihre Amplitude (dh die Stärke ihrer elektrischen und magnetischen Felder) um den Faktor 2. Da die Energie einer Welle proportional zum Quadrat ihrer Amplitude ist, vervierfacht sich die Energie. Es vervierfacht auch den Schwung. (Sie können dies entweder anhand der relativistischen Beziehung sehen$E=pc$für m = 0 oder durch Verwendung des Poynting-Vektors.) Aber wir haben uns nicht geändert$\omega$oder$k$, also verletzt diese Welle die De-Broglie-Beziehungen. Der Schlüssel hier ist, dass diese Welle nicht mehr die richtige Stärke hat, um ein Photon darzustellen. Es repräsentiert vier Photonen.

Lassen Sie uns im Fall der Gitarrensaite mit einigen Zahlen spielen. Sagen$\omega$ist 1000 Hz, und$E$ist 1 J. Wenn Sie rechnen$\hbar\omega$, erhalten Sie etwas, das um viele Größenordnungen kleiner ist$E$. Das liegt daran, dass es nicht nur ein Partikel in der Gitarrensaite gibt, sondern viele. Die gleiche Idee gilt für das Momentum.

Die Annahme, die Plank aus seinem Planckschen Gesetz der Schwarzkörperstrahlung machte, war, dass die elektromagnetische Strahlung quantisiert ist, sie nimmt nur ganzzahlige Vielfache der Menge an$hf$, Wo$h$ist die Plank-Konstante (mit Energieeinheiten$\times$Zeit und$f$ist die Strahlungsfrequenz (mit Einheiten 1/Zeit). Das ist die Energie der Quanten der elektromagnetischen Strahlung - eines Photons.

Also zuerst die Plank-Konstante$h$wurde von Plank als Proportionalitätskonstante zwischen der Energie definiert$E$eines Photons und der Frequenz seiner zugehörigen elektromagnetischen Welle.

$E=hf$

Dies kann in Bezug auf die Wellenlänge anstelle der Frequenz umgeschrieben werden, indem die Beziehung verwendet wird$f=c/\lambda$. Wir bekommen:

$E=\frac{hc}{\lambda}$(1)

Auch aus der speziellen Relativitätstheorie Energie-Impuls-Beziehung$E^2=m^2 c^4 + p^2 c^2$Wir wissen, dass für ein Photon mit Null Ruhemasse$m=0$, seine Energie hängt mit seinem Impuls zusammen durch die Beziehung:

$E=pc$(2)

Durch Kombinieren der Gleichungen (1) und (2) erhalten wir:

$p=\frac{h}{\lambda}=\hbar k$, Wo$\hbar=\frac{h}{2\pi}$Und$k=\frac{2\pi}{\lambda}$.

De Broglie ging davon aus, dass die Teilchen auch Welleneigenschaften haben, also eine Frequenz und Wellenlänge, und dies wurde experimentell bewiesen. Sie sind Teilchen und Wellen zugleich. Die Welleneigenschaften von Teilchen sind durch die de Broglie-Gleichungen gegeben:

$f=\frac{E}{h}$Und$\lambda=\frac{h}{p}$

Also für die Energie eines gegebenen Teilchens$E$und Schwung$p$wir können seine Frequenz und Wellenlänge finden.