Zunächst fällt es mir schwer, eine gute Definition dessen zu finden, was ein konjugiertes Paar in Bezug auf physikalische Variablen tatsächlich ist, und dennoch habe ich eine Reihe verschiedener Dinge gelesen, die die Tatsache verwenden, dass zwei Variablen ein konjugiertes Paar sind, um dies zu rechtfertigen Dinge.
Zum Beispiel sehe ich hin und wieder etwas, das etwas in der Art sagt: "Wir wissen, dass der Kommutator dieser Variablen nicht Null ist, weil sie ein konjugiertes Paar sind."
Außerdem habe ich festgestellt, dass Position und Impuls ein konjugiertes Paar sind, ebenso wie Energie und Zeit. Ich habe einmal gesehen, dass die imaginären und realen Komponenten eines elektrischen Feldes ein konjugiertes Paar sind.
Es scheint also, dass, wenn ich zwei Variablen nehme und ihre quantenmechanischen Operatoren nicht kommutieren, sie ein konjugiertes Paar sind. Das fühlt sich für mich jedoch nicht ganz richtig an ... Oder zumindest ist das eine lahme Definition, weil es nichts mit Klassik zu tun hat.
Das bringt mich also zu zwei Fragen:
1. Wie definiert man ein konjugiertes Variablenpaar?
2. Welche wichtige Rolle spielen konjugierte Paare sowohl in der klassischen als auch in der Quantenmechanik?
Gegeben sei eine symplektische Mannigfaltigkeit und zwei Funktionen .
Definition. Die beiden Funktionen Und bilden ein kanonisches Paar, wenn es einen Atlas lokaler kanonischer / Darboux- Koordinatenfunktionen gibt
Aus der Wikipedia-Definition sind zwei Variablen konjugiert, wenn eine die Fourier-Transformation der anderen ist. Was bedeutet das? Nun, Sie werden wahrscheinlich wissen, dass die Fourier-Transformation einer Gaußschen Funktion mit ist ein weiterer Gaußscher mit Standardabweichung .
Das bedeutet, dass, wenn wir versuchen, eine der Variablen in einem System zu messen, die uns in einer von ihnen eine hohe Genauigkeit liefern, die andere eine große Unsicherheit aufweisen wird. Ein großartiges Beispiel für Wikipedia ist Zeit und Frequenz einer Schallwelle. Angenommen, Sie möchten das Timing-Zentrum der Schallwelle des Schalls und die Frequenz messen. Sie können die Frequenz einer sehr langen Welle leicht erhalten, aber der Fehler bei der Bestimmung der Zeit wird enorm sein. Das Gegenteil geht für einen sehr kurzen und scharfen Ton. Dies passiert häufig in vielen anderen klassischen Systemen. Die Übung besteht darin, dass in QM zwei beliebige Variablen, die konjugiert sind, eine ähnliche Eigenschaft aufweisen. Wenn Sie zwei nicht kommutative Operatoren haben, wie z Und , die nicht pendeln, könnte man das Unsicherheitsprinzip ableiten: , und wieder, wenn Sie in der Lage sind, einen von ihnen mit sehr hoher Präzision zu messen, wird der andere einen großen Fehler haben. Es dreht sich alles um Gaußsche
In Bezug auf physikalische Variablen stammen konjugierte Paare aus der Lagrange-Mechanik. Wenn Sie eine Koordinate x haben, können Sie den zugehörigen Impuls p aus der Lagrange-Funktion L erhalten, die die Differenz der kinetischen Energie T minus der potentiellen Energie V ist. zB L = TV. Dann ist der Impuls gegeben durch die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion in Bezug auf die Geschwindigkeit, dx/dt. Wenn man eine "kanonische" Transformation von den Koordinaten x und p zu anderen Koordinaten Q und P durchführt, dann sind Q und P in ähnlicher Weise mit der neuen Lagrange-Funktion verwandt.
Auf solche kanonischen Paare wird häufig verwiesen, wenn Quantenhamiltonianer nach dem Korrespondenzprinzip konstruiert werden, um zu argumentieren, dass dieselben Paare aus der Lagrange-Mechanik auch in der Quantenmechanik kanonisch konjugiert sein müssen und daher dieselben Kommutierungsbeziehungen wie x und p haben sollten.
Eine gute Diskussion ist hier: https://en.wikipedia.org/wiki/Canonical_transformation
Ich glaube, eine übliche Verwendung des Begriffs "konjugiertes Paar" bedeutet nur, dass zwei dynamische Variablen eine Poisson-Klammer von haben .
Parker
QMechaniker