Das Quantenanalog des Satzes von Liouville

Es ist subtil. Das Theorem ist nicht da: Quantenflüsse sind komprimierbar (Moyal, 1949).

Ich folge Ch. 0.12 unseres Buches Concise Treatise of Quantum Mechanics in Phase Space, 2014 .

Das Analogon der Liouville-Dichte der klassischen Mechanik ist die Wigner-Funktion in der Phasenraum-Quantenmechanik. Seine Evolutionsgleichung (Verallgemeinerung von Liouville) ist

$${\partial f \over \partial t} =\{\!\!\{H ,f\}\!\!\}~,$$ wobei die doppelten (Moyal) Klammern eine berühmte Quantenmodifikation der Poisson-Klammern durch Terme von anzeigen $O(\hbar^2)$, und dienen dem Beweis des Satzes von Ehrenfest für die Entwicklung von Erwartungswerten.

Für jede Phasenraumfunktion$k(x,p)$ohne explizite Zeitabhängigkeit,

$$\begin{eqnarray} \frac{d\langle k \rangle }{dt} &=& \int\! dx dp~ {\partial f \over \partial t} k \nonumber \\ &=& {1\over i\hbar} \int\! dx dp~ ( H\star f- f\star H)\star k \nonumber\\ &=& \int\! dx dp~ f \{\!\!\{k,H\}\!\!\} = \left \langle \{\!\!\{ k,H\}\!\!\} \right \rangle , \end{eqnarray}$$ wo das Star-Produkt und seine Manipulationen in diesem Text detailliert beschrieben werden.

Moyal betonte (entdeckt?), dass seine gleichnamige Quantenentwicklungsgleichung oben im Gegensatz zu Liouvilles Theorem (kollisionslose Boltzmann-Gleichung) für klassische Phasenraumdichten steht,

$${d f_{cl}\over dt}= {\partial f_{cl} \over \partial t} + \dot{x} ~\partial_x f_{cl} + \dot{p}~ \partial_p f_{cl} =0~.$$

Insbesondere im Gegensatz zu seinem klassischen Gegenstück im Allgemeinen$f$ fließt nicht wie ein inkompressibles Fluid im Phasenraum und entzieht damit physikalischen Phasenraumtrajektorien in diesem Zusammenhang ihre Bedeutung. (Nur die Entwicklung des harmonischen Oszillators ist ausnahmsweise trajektoriell.)

Für eine beliebige Region$\Omega$um einen repräsentativen Punkt im Phasenraum verschwindet der Ausfluss nicht,

$$\begin{eqnarray} {d \over dt}\! \int_{\Omega}\! \! dx dp ~f&=& \int_{\Omega}\!\! dx dp \left ({\partial f \over \partial t}+ \partial_x (\dot{x} f) + \partial_p (\dot{p} f ) \right)\\ &= & \int_{\Omega}\! \!\! dx dp~ (\{\!\!\{ H,f\}\!\!\}-\{H,f\})\neq 0 ~.\nonumber \end{eqnarray}$$

Das heißt, der Phasenraumbereich bewahrt die Anzahl der Punkte, die um den repräsentativen Punkt schwärmen, nicht über die Zeit: Punkte diffundieren im Allgemeinen mit einer Rate von O ($\hbar^2$), ohne die Dichte der Quanten-Quasi-Wahrscheinlichkeitsflüssigkeit beizubehalten; und umgekehrt werden sie nicht daran gehindert, zusammenzukommen, im Gegensatz zu deterministischem (inkompressiblem Fluss) Verhalten.

Immerhin für unendlich$\Omega$den gesamten Phasenraum umfassend , verschwinden beide Oberflächenterme oben, um eine zeitinvariante Normalisierung für die WF zu ergeben.

Das$O(\hbar^2)$Ableitungen mit höherem Impuls des WF, die im MB vorhanden sind (aber im PB nicht vorhanden sind – Ableitungen mit höherem Raum, die die Nichtlinearität im Potential untersuchen), modifizieren den Liouville-Fluss in charakteristische Quantenkonfigurationen. Negative Wahrscheinlichkeitsregionen, die sich nach links bewegen, führen also zu Wahrscheinlichkeitsflüssen nach rechts usw. Wigner-Flüsse sind ein verborgenes Feld, vgl. Steuernagel et al., 2013 .

Für einen Hamiltonian$H=p^2/(2m)+V(x)$, läuft die obige Evolutionsgleichung auf eine Eulersche Wahrscheinlichkeitstransport-Kontinuitätsgleichung hinaus,

$$\frac{\partial f}{\partial t} +\partial_x J_x + \partial_p J_p=0~,$$ wo, für $\mathrm{sinc}(z)\equiv \sin z/~ z$, der Phasenraumfluss ist $$J_x=pf/m~ ,\\ J_p= -f \mathrm{sinc} \left( {\hbar \over 2} \overleftarrow {\partial _p} \overrightarrow {\partial _x} \right)~~ \partial_x V(x).$$
Hinweis hinzugefügt . Für eine neuere Diskussion/Beweis der Nullstellen, Singularitäten und Merkmale der negativen Wahrscheinlichkeitsdichte, also der unvermeidlichen Verletzungen des Satzes von Liouville in anharmonischen Quantensystemen, siehe Kakofengitis et al., 2017 .

Das quantenmechanische Analogon des Liouville-Theorems ist in Form einer Dichtematrix gegeben $\rho$(siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix ) und Staaten

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}=\frac{i}{\hbar}\left[\rho,H\right]$$

Dies gibt uns sofort den Satz von Ehrenfest , der besagt, dass für jede Observable$A$, der Erwartungswert$\langle A\rangle=\text{tr}(A\rho)$gehorcht der Gleichung

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle A\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle\left[A,H\right]\rangle$$

Was kurz gesagt besagt, dass Erwartungswerte den klassischen Bewegungsgleichungen gehorchen.