Kann ich den quantenmechanischen Grundzustand gegen eine klassische Trajektorienverteilung austauschen und ihn nach dem Austausch stillstehen lassen?

Wenn Sie die Liouville-Gleichung nehmen und festlegen$\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$, damit die Wahrscheinlichkeitsdichte nicht von der Zeit abhängt, erhält man (in einer Dimension):

$$\frac{\partial \rho}{\partial r}\dot{r} +\frac{\partial \rho}{\partial p} \dot{p} = 0$$

Nun, wenn Sie Hamilton-Gleichungen verwenden, um es zu wissen$\dot{r}$und$\dot{p}$in Bezug auf die Ableitungen des Hamiltonoperators

$$\frac{\partial \rho}{\partial r}\frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial \rho}{\partial p}\frac{\partial H}{dr} = 0$$

Welches ist die Poisson-Klammer von$\rho$und$H$. Wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte nur eine Funktion des Hamilton-Operators ist, verschwindet die Poisson-Klammer.

Die Pilotwellentheorie von Bohm-De-Broglie bietet eine Konstruktion eines Quants$\mathcal{O}(\hbar^2)$Korrektur des ursprünglichen Hamilton-Operators zusammen mit einem klassischen Partikel-Ensemble, das fast genau das tut, wonach Sie fragen. Der korrigierte Hamiltonoperator$H_B$liest

$$H_B = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} + V(\mathbf{x}) - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\Delta \sqrt{\rho}}{\sqrt{\rho}}\,,$$ wo $\rho = \int f dp$. Die Phasenraumverteilung in $n$Abmessungen wird dann als konstruiert $$f(\mathbf{x},\mathbf{p}) = |\psi|^2 \delta^{(n)}(\mathbf{p} - \hbar \Im(\frac{\nabla \psi}{\psi}))\,,$$ wo $\psi$ist die ursprüngliche Wellenfunktion, die wir nachahmen wollen. Es ist offensichtlich, dass wir zumindest für die Anfangsbedingung haben werden $\rho=|\psi|^2$und $$\langle \mathbf{v} \rangle \equiv \int \frac{\mathbf{p}}{m} f dp = \frac{\hbar}{m} \Im(\frac{\nabla \psi}{\psi})\,.$$ Weniger offensichtlich ist, dass dieses Ensemble mit dem Hamiltonian $H_B$entspricht voll und ganz der Evolution von $\psi$. Mit anderen Worten, die Formel für $f$Liouville-entwickelt von $H_B$entspricht dem obigen in Bezug auf $\psi$entwickelt durch die Schrödinger-Gleichung. Dies gilt nicht nur für Grundzustände, sondern auch für allgemeine instationäre Zustände .

Man kann die Äquivalenz ableiten, indem man die Schrödinger-Gleichung betrachtet, Putt$\psi = \sqrt{\rho} \exp(iS/\hbar)$, und Dolmetschen$S$wie die klassische Hamilton-Jacobi-Aktion. (Weitere Einzelheiten finden Sie auf der Wiki-Seite von Bohm-De-Broglie .)

Übrigens scheint etwas Ähnliches wie das, was Sie zu tun versuchen, bei numerischen Berechnungen in der Quantenchemie durchgeführt worden zu sein, siehe das Buch Applied Bohmian Mechanics: From Nanoscale Systems to Cosmology .

Es scheint, dass die angestrebte halbklassische Umsetzung von OP mit Hilfe des Groenewold-Moyal-Star-Produkts möglich ist $\star$, dh Liouvilles Gl. wird

$$0~=~\frac{d\rho }{dt}~=~ \frac{1}{i\hbar} [\rho \stackrel{\star}{,}H]+\frac{\partial \rho }{\partial t} .\tag{1}$$

Insbesondere ein Eigenzustand$|\psi\rangle$eines gegebenen Quanten-Hamilton-Operators$\hat{H}$(so dass der Dichteoperator ist$\hat{\rho}= |\psi\rangle \langle \psi|$) ein stationärer Zustand der Liouville-Gleichung (1) für das entsprechende semiklassische System, dh die Wigner-Quasiwahrscheinlichkeitsverteilung $\rho$und die Hamilton-Funktion$H$wird pendeln.

Wir haben die folgende Notation verwendet. Das$\star$-Kommutator ist definiert als

$$[f\stackrel{\star}{,} g]~:=~f\star g-g\star f.\tag{2}$$ Die Zuordnung von Operator zu Funktion/Symbol $\hat{f}\mapsto f$ist durch die Wigner-Transformation gegeben . Die inverse Karte $f\mapsto \hat{f}$ist durch die Weyl-Transformation gegeben , vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. Beachten Sie, dass der Dichteoperator $\hat{\rho}$und die Wigner-Quasiwahrscheinlichkeitsverteilung $\rho$ist ein Beispiel für ein Operator-Symbol/Funktions-Paar. Wir betonen, dass die Funktion/Symbol $f$wird im Allgemeinen von der Planckschen Konstante abhängen $\hbar$. Siehe auch zB meine Phys.SE-Antworten hier und hier . B. der Heisenberg-Operator Gl. der Bewegung

$$\frac{d\hat{f}}{dt}~=~ \frac{1}{i\hbar} [\hat{f},\hat{H}]+\frac{\partial \hat{f}}{\partial t} \tag{3}$$

entspricht

$$\frac{df}{dt}~=~ \frac{1}{i\hbar} [f\stackrel{\star}{,}H]+\frac{\partial f}{\partial t} \tag{4}$$

für Funktionen/Symbole$f$. Liouvilles Gl. (1) ist ein Spezialfall von Gl. (4) mit$f=\rho$.

Es ist möglich, die Konstruktion auf andere Quasiwahrscheinlichkeitsverteilungen und Operatorordnungen mit ihren entsprechenden assoziativen Sternprodukten zu verallgemeinern. Wir glauben, dass die Verwendung von Star-Produkten in der generischen Konstruktion erforderlich ist.

Ich meine, hier ist, wie ich es in einer Dimension angehen würde ...

Betrachten Sie die kohärenten Zustände$\alpha~|\alpha\rangle = \hat a |\alpha\rangle$generiert durch$\hat x = \lambda (\hat a^\dagger + \hat a)/2,$und$\hat p = i~\mu(\hat a^\dagger - \hat a)/2.$Sie haben daher relativ gut definierte Positionen$\langle x \rangle = \lambda \Re(\alpha),$und Momente$\langle p \rangle = \mu \Im(\alpha);$Tatsächlich sind sie meiner Meinung nach Gaußsche$(x, p)$Raum nur mit ihrer Nullpunktschwankungsgröße. Noch wichtiger ist, dass sie die Identität mit einem Kernel auflösen,$\hat 1 = \int_\mathbb C d^2\alpha~\kappa(\alpha)~ |\alpha\rangle\langle\alpha|.$Beachten Sie, dass diese zwar für den harmonischen Oszillator Hamiltonian abgeleitet sind$\epsilon \hat a^\dagger \hat a,$was dazu führt, dass sie schöne Kreise im Phasenraum beschreiben, genau wie ein tatsächlicher harmonischer Oszillator, es ist nicht erforderlich, dass Sie sie tatsächlich nur mit diesem Hamiltonian verwenden .

Es ist also eine Kandidatenverteilung darzustellen$|\psi_0\rangle$als eine Funktion$\mathbb C \to \mathbb C$wie$\psi_0(\alpha) = \langle\alpha|\psi_0\rangle,$woraus wir etwas Dichte gewinnen könnten$\rho(\alpha) = \kappa(\alpha)~\psi_0^*(\alpha) ~ \psi_0(\alpha),$Verlust der Quantenphase, aber notwendigerweise Erhaltung der$\int~d^2\alpha ~\rho(\alpha) = 1.$Dann gibt es eine schöne Interpretation von$\rho(x, p) = \rho(x/\lambda + i p/\mu)/(\lambda \mu),$Im Wesentlichen laufen die obigen Erwartungswerte "umgekehrt".

Die Integration$\int dp~\rho(x, p) = \iint dx' ~dp~ \delta(x-x')~\rho(x',p)$wird dann:

$$\int_{\mathbb C} d^2\alpha~\kappa(\alpha)\langle \psi_0|\delta(x - \Re\alpha)|\alpha\rangle\langle\alpha|\psi_0\rangle.$$ Ob wir das ersetzen können, muss ich mir noch überlegen $\delta(x - \Re \alpha)$mit dem Beobachtbaren $|x\rangle\langle x|,$aber unter der Annahme, dass dies wahr ist, erledigt die Auflösung der Identität den Rest der Arbeit für uns, und wir würden es einfach bekommen $\langle\psi_0|x\rangle\langle x|\psi_0\rangle$wie gewünscht, und es gibt keinen offensichtlichen Grund dafür, dass dies für eine bestimmte Quadratur spezifisch ist, als für alle Quadraturen zu gelten. Es ist also ein sehr "offensichtlicher" Weg, etwas zu konstruieren, das "größtenteils" richtig ist.

Das Letzte, was zu beweisen ist, ist, dass das Ergebnis$\rho(\alpha)$ist auch unter der Liouville-Gleichung stationär, aber da sie von a stammt$|\psi_0\rangle$was unter dem Hamilton-Operator stationär ist, scheint es wahrscheinlich, als Spezialfall von Ehrenfests Theorem ... also ist es eine einfältige Konstruktion, aber ich würde es nicht ausschließen.

Ich bin spät in der Diskussion, und ich habe Feinheiten verpasst; aber ich könnte das Problem mit einfachen Paradigmen angehen: Nun, der Oszillator ist so klassisch wie Quantensysteme. Bei richtiger Normalisierung ist die Trajektorie jedes Systems dafür eine starre Rotation im Phasenraum, sowohl für jede Wigner-Funktion (Groenewold, 1946) als auch für ihre klassische Grenz-Liouville-Dichte:$f(x,p;t)=f(x\cos t-p\sin t,p\cos t+x\sin t;0)$,

Ein stationäres Quantensystem ist eine axialsymmetrische Wigner-Funktion, und dasselbe gilt für seine klassische Liouville-Dichte: Was passiert, ist, dass eine stationäre Konfiguration nur das Integral über alle Phasen (nennen Sie sie Startzeiten!) Jeder Konfiguration ist. Da sich alles im Gleichschritt dreht, erscheint (ist) die Konfiguration stationär, sowohl quanten- als auch klassisch-mechanisch.

Dies ist zum Beispiel der 2. angeregte Zustand des Oszillators bei Skalen$O(\hbar)$,

aber es ist nichts falsch daran, ein riesiges (makroskopisches) kollektives System im Phasenraum zu betrachten ... von der Größe eines Erstsemesterlabors, das axialsymmetrisch ist, ein dicker Schwarm nicht wechselwirkender geladener Teilchen, die in einem Feld im Gleichschritt schwingen, nachdem sie ihre Schwingungen überhaupt gleichmäßig begonnen haben Momente des Schwingungszyklus. (Du hast jetzt nicht "realistisch" gesagt...)

Die Anfangsverteilung kann positiv semidefinit und axialsymmetrisch gewählt werden: Sie muss kein reiner Stern-Eigenzustand sein: Sie dreht sich trotzdem starr und simuliert eine Liouville-Dichte.

Aber auf jeden Fall ist dies der einfachste Weg, das Konzept zu veranschaulichen: Stationarität, zumindest für periodische Bewegung, kann sehr wohl auf ein perfekt phasenverschmiertes Ensemble hinauslaufen.

Der Oszillator ist jedoch insofern etwas Besonderes, als die Wigner-Dichte-Evolute genau dieselbe Funktion der Evolution von x und p ist und eine axialsymmetrische Konfiguration stationär ist. Praktisch einzigartig, mit Ausnahme von Systemen, die darauf abgebildet werden können. Dies ist nur eine konzeptuelle Existenzdemonstration, keine Methode. Ich bin mir nicht sicher, ob G Braunss 2009 nützlich ist, aber da ist es ...