Verständnis der Beziehung zwischen Phasenraumverteilungen (Wigner vs. Glauber-Sudarshan P vs. Husimi Q)

Lassen Sie mich die meisten meiner Kommentare in einer Antwort zusammenfassen, die versucht, kohärenter zu sein als sie, oder Ihre labile Frage. Tatsächlich häufen Sie drei verschiedene Fragen an, logisch getrennt, aber mit starken und natürlichen Verbindungen, sodass es sich lohnen könnte, sie aufzuteilen, bevor Sie sie in der letzten Coda wieder zusammenführen.

• Erstens gibt es einen einfachen Hilbert-Raum,$|x\rangle$, oder$|p\rangle$, dessen Parameterraum ein einfacher Phasenraum ist, mit Parametern$x$Und$p$, Eigenwerte der jeweiligen Operatoren. Dann gibt es den Fock-Raum der Schöpfungs- und Vernichtungsoperatoren, wo jetzt$\alpha$ist ein komplexer Parameter, Eigenwert des Vernichtungsoperators auf kohärenten Zuständen mit seiner komplexen Konjugierten$\alpha^*$, oft gesagt , den optischen Phasenraum zu umfassen . Sie sind äquivalent , aber die übervollständigen kohärenten Zustände haben gaußsche Überlappungen miteinander, und Umwandlungen erfordern übermäßige Sorgfalt. Grundsätzlich in natürlichen Einheiten$\hbar=1$, die Überlappungen mit Ortseigenzuständen sind Gaußsche Schrödinger-Wellenpakete,
  

  $$\langle x | \alpha\rangle= \frac{1}{\pi^{1/4}} ~ e^{\sqrt{2}\alpha x - x^2/2- \alpha \Re (\alpha)}~.$$

• Zweitens ergeben ausgewählte Transformationen der Dichtematrix ρ in den Phasenraum über die Wigner-Transformation oder die Glauber-Sudarshan-Transformation oder die Husimi-Transformation die äquivalenten Quasiwahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen W , P oder Q. Die drei äquivalenten Transformationen unterscheiden sich durch die Operatorordnungen, die an den charakteristischen Funktionen der Verteilungen beteiligt sind: Weyl-Ordnung, Normalordnung bzw. Antinormalordnung. Q ist eine invertierbare Weierstraß-Transformation , eine Faltung mit einer Gauß-Verteilung, von W, wie sie in Standardbüchern zu finden ist: Measuring the Quantum State of Light , Ulf Leonhardt, Kapitel 3.2; oder Quantenoptik im Phasenraum , Wolfgang Schleich; oder unsereS.58. Diese Bücher entscheiden sich für Phasenraumvariablen x und p , bei denen alles einfach ist und die Äquivalenzumrechnungen zwischen ihnen unkompliziert sind. (Die allgemeine Ein-Parameter-Umwandlungssystematik unter ihnen wird „ Cohens Klassifikationstheorie “ genannt .)

Aber wenn Sie im optischen Phasenraum arbeiten müssen, was ich nicht wirklich mag, um Äpfel mit Äpfeln zu vergleichen, brauchen Sie die W -Funktion schematisch dargestellt, nicht in der Phasenraumform, die Sie haben, sondern als Royer-Erwartungswert von Paritätsoperator, das heißt, als so etwas wie

$$W(\alpha)= \frac{1}{\pi^2}\int d^2 z ~ \operatorname{tr}(\rho e^{iz(\widehat{a} -\alpha) +iz^*(\widehat{a}^{\dagger}-\alpha^*)} ).$$ Dann, wie Sie hier sehen , sind diese Darstellungen aufgrund der Ordnungen in ihren charakteristischen Funktionen alle miteinander verbunden, auch durch Weierstraß-Transformationen, jetzt im optischen Phasenraum, $$W(\alpha,\alpha^*)= \frac{2}{\pi} \int P(\beta,\beta^*) e^{-2|\alpha-\beta|^2} \, d^2\beta$$ $$Q(\alpha,\alpha^*)= \frac{2}{\pi} \int W(\beta,\beta^*) e^{-2|\alpha-\beta|^2} \, d^2\beta ,$$ oder unter Verwendung der Assoziativität von Faltungen, $$Q(\alpha,\alpha^*)= \frac{1}{\pi} \int P(\beta,\beta^*) e^{-|\alpha-\beta|^2} \, d^2\beta ~.$$

• Drittens sind die relativen Vorzüge jeder Variante ungefähr diese. W eignet sich am besten für den einfachen Phasenraum: Dort ist es das einzige , das kein Sternprodukt in den Erwartungswertintegralen benötigt – das Analogon zum kartesischen Koordinatensystem. Wenn jedoch nicht (nur!) mehrere Ketten von Sternprodukten erforderlich sind, gibt es einen bequemen Trick , den optischen Äquivalenzsatz , um P zu befähigenErwartungswerte für normal geordnete Operatoren im Raum kohärenter Zustände sternlos zu berechnen; aber die Dinge laufen furchtbar schief, wenn es um Reihen von Starprodukten geht. Der Benutzer muss also alles sorgfältig normal ordnen, bevor er berechnet. Q macht dasselbe für antinormal geordnete Operatoren (wenn Sie auf sie gestoßen sind und es nicht geschafft haben, sie einfach normal zu ordnen!). In gewisser Weise ist Ihr Missverständnis also begründet: Es lohnt sich, W im einfachen Phasenraum und möglicherweise P im optischen Phasenraum zu verwenden, obwohl Sie dies nicht müssen.

Eine abschließende Bemerkung: Oft und völlig fälschlicherweise stellen die Leute die Eigenschaften solcher Verteilungen gegenüber, indem sie etwas aus der Tatsache machen, dass Q positiv semidefinit ist, was wiederum fälschlicherweise impliziert, dass es „deshalb“ näher kommen kann, um als echte Wahrscheinlichkeit zu dienen Verteilung. Das ist eine gefährliche Illusion, denn erstens sind Erwartungswerte im reinen Phasenraum mit Q aber ohne Sternprodukte schlichtweg falsch (es sind unkontrollierbare semiklassische Näherungen). Mit Star-Produkten haben sie Recht – einfache dysfunktionale Änderungen von Variablen des Wigner-Bildes, da alle oben genannten, wie wir gesehen haben, verherrlichte Änderungen von Variablen und Bildern sind.

Am wichtigsten, last but not least, können alle oben genannten keine Wahrscheinlichkeitsverteilungen sein, selbst wenn sie positiv semidefinit sind, da Kolmogorovs drittes Axiom über die disjunkte Kontingenz verschiedener Punkte im Parameter-(Phasen-)Raum versagt: Die Unschärferelation sagt Ihnen zwei Punkte x,p und x',p' werden durch die Unschärferelation verwechselt, wenn sie eng genug beieinander liegen$\hbar$Einheiten (hier 1). Tatsächlich stellt das Unbestimmtheitsprinzip sicher, dass die fest negativen Pfützen von W in Flächeneinheiten von klein sind$\hbar$, wie in unserem oben zitierten Buch beschrieben. Jetzt und für immer sind diese, alle drei, lediglich Quasi-Wahrscheinlichkeitsverteilungen.