Wie würde ich eine Boltzmann-Gleichung in der Quantenfeldtheorie erhalten?

Es gibt zwei mögliche Objekte, die Sie studieren können, die Wigner-Funktion (die sich auf die gewöhnliche Verteilungsfunktion reduziert) und das Wigner-Funktional (das ein Funktional für den Raum von Feldern und ihren konjugierten Impulsen ist).

Um zur gewöhnlichen Kinetik und der Boltzmann-Gleichung zu gelangen, studieren wir

$$W(x,p) = \int d^4y\, \exp(-ip\cdot y) \langle \bar\psi(x+y/2)\psi(x-y/2)\rangle$$ und leite eine Bewegungsgleichung für ab $W$. Für Dirac-Fermionen $W$ist eine Matrix im Spinraum. In der Eichtheorie müssen wir Eichverbindungen einfügen. In skalaren Feldtheorien hat die Dichtematrix die Form $\phi^\dagger\partial_\mu\phi$.

Um zur gewöhnlichen kinetischen Theorie zu gelangen, müssen wir das im semiklassischen Limes zeigen

$$W(x,p) = A \delta(p^2-m^2) [\Theta(p_0)f_+(x,p) + \Theta(-p_0)(f_-(x,p)-1)]$$ Wo $A$ist eine Spinmatrix ( $(\gamma\cdot p+m)$in der Dirac-Theorie) und $f_\pm$die Boltzmann-Gleichung erfüllen. Dies ist in Standardlehrbüchern beschrieben, beispielsweise de Groot, van Leeuven und van Weert, "Relativistic Kinetic Theory". Das Ergebnis ist offensichtlich kovariant, aber die On-Shell-Projektoren stellen dies sicher $f_\pm$ist nur eine Funktion von $\vec{p}$.

Das Wigner-Funktional ist (für eine skalare Feldtheorie, wo$\pi$ist konjugiert zu$\phi$)

$$W[\phi,\pi] = \int d\psi \exp\left(-i\int \psi\pi\right) \langle \rho[\phi-\psi/2,\phi+\psi/2]\rangle$$ Wo $\rho$ist eine Dichtematrix im Feldraum (siehe Lehrbücher wie Calzetta und Hu für Definitionen von $\rho$). Die halbklassische Grenze dieses Objekts kann verwendet werden, um die Thermalisierung klassischer Felder zu untersuchen (was ein heikles Thema ist).

Ja, was Sie vorschlagen, wurde in Wigner Trajectory Characteristics in Phase Space and Field Theory von T. Curtright und mir, JPhysA:Math Gen 32 (5) getan.

QFT muss nicht offensichtlich kovariant sein, da es sich schließlich um eine unendliche Anordnung von Oszillatoren handelt, sodass hier die manifeste Kovarianz geopfert wird. Ich glaube nicht, dass Sie den 2. Ausdruck so gesehen haben, wie Sie ihn geschrieben haben, da er gerade nicht das funktionale Maß [dφ'(x)] anstelle eines einfachen Integrals in einer Variablen hat (denken Sie daran, dass es eine Unendlichkeit von φ gibt (x)s, eine Unendlichkeit von Oszillatoren!), und das einfache Produkt im Exponenten sollte ein Integral in dx sein, um diese Unendlichkeit widerzuspiegeln ... der Exponent ist ein unendlich dimensionales Skalarprodukt. Vgl. (35) , ein Funktional

$$W [\phi,\pi] =\int\!\left[ \frac{d\eta}{2\pi}\right] ~\Psi^{\ast}\left[ \phi-{\frac{\hbar}{2}\eta}\right] \, e^{-i\int dx\,\eta\left( x\right) \pi\left( x\right) }~ \Psi\left[ \phi+{\frac{\hbar }{2}\eta}\right] .$$

Aber der Geist Ihres Ausdrucks ist im Wesentlichen gesund, und die Zeitentwicklungsgleichung ist tatsächlich die unendlichdimensionale Phasenraum- Moyal-Gleichung (49), und Sie sind auf Ihrem Weg. Es durch Annäherungen an Boltzmann zu morphen, hängt von der Natur des Hamilton-Operators ab.

Freie Skalarfeldtheorien sind Entensuppe, (48),

$$\partial_{t}W = -\int dx\,\left( \pi\left( x\right) \frac{\delta}{\delta \phi\left( x\right) }-\phi\left( x\right) \left( m^{2}-\nabla_{x}% ^{2}\right) \frac{\delta}{\delta\pi\left( x\right) }\right) W~ ,$$ also so ziemlich eine Art funktionale starre Rotation; aber Wechselwirkungen sind ein Schmerz ... der Grund, warum sie an den meisten Orten nicht mehr viel über wellenfunktionale Feldtheorie lehren ... Eine intuitivere Gesprächsversion des Problems könnte für den Anfang freundlicher sein.