Beispiele für Weyl-Transformationen nichttrivialer Operatoren

Die Wigner-Weyl-Transformation einer Funktion$f(x,p)$wird gegeben von,

$$\Phi[f]= \frac{1}{4\pi^2}\iiiint f(x,p) \exp \left[ i \left( a(X-x)+b(P-p)\right)\right] \, dx\, dp\, da \, db$$

Nehmen wir, wie Sie vorgeschlagen haben, den Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators, dh

$$\Phi[H]=\frac{1}{8m\pi^2}\iiiint p^2\exp \left[ i \left( a(X-x)+b(P-p)\right)\right] \, dx\, dp\, da \, db \\ + \frac{m\omega^2}{8\pi^2}\iiiint x^2\exp \left[ i \left( a(X-x)+b(P-p)\right)\right] \, dx\, dp\, da \, db$$

Wir beschäftigen uns mit dem letzten Integral, da sie mehr oder weniger analog sind. Da ist die erste Integration vorbei$x$, können wir partielle Integration anwenden und ignorieren$p$:

$$\frac{m\omega^2}{8\pi^2}\iiint \frac{1}{a^3}e^{ia(X-x)+ib(P-p)}(ia^2 + 2ax-2i) \, dp \,da \, db$$

Integrieren bzgl$p$ist banal:

$$\frac{m\omega^2}{8\pi^2}\iint \frac{b}{a^3} e^{ia(X-x)+ib(P-p)}(ax^2 +2-i2ax) \, da \, db$$

Mit Hilfe von Mathematica 9 können wir das nachfolgende Integral über ausdrücken$a$in Bezug auf ein Polyanom und die Exponentialintegralfunktion:

$$\frac{m\omega^2}{8\pi^2}\int \, b e^{ib(P-p)} \, \left[ (X-x)((ix^2+4x)-2X)\mathrm{Ei}(ia(X-x)) \\ -\frac{1}{a}e^{ia(X-x)}(i(X-x)+(x^2-i2x)+1) \right] \, db$$

Das Integral vorbei$b$ist ebenfalls trivial, da der Integrand nur auftritt$b$in der Form$be^{b\dots}$Somit,

$$-\frac{m\omega^2}{8\pi^2(P-p)^2} \left[ (X-x)((ix^2+4x)-2X)\mathrm{Ei}(ia(X-x)) -\frac{1}{a}e^{ia(X-x)}(i(X-x)+(x^2-i2x)+1) \right]e^{ia(X-x)+ib(P-p)}\left( ib(P-p)-1\right)$$

Wende dasselbe Verfahren auf das ursprüngliche erste Integral an, kombiniere die beiden usw.

Der Standardname für das, was Sie suchen, ist die Wigner-Transformation, die Umkehrung der Weyl-Transformation. (Da die Weyl-Transformation Phasenraumfunktionen auf Operatoren abbildet.) Für einen beliebigen Operator in beliebiger Reihenfolge folgt die Wigner-Transformation einer einfachen Formel von 1964 von Kubo, Gl. (111) von Lit. 1 effektiv die Fourier-Transformation der außerdiagonalen Matrixelemente des Operators zwischen Positionseigenzuständen.

Die Wigner-Transformation des Coulomb-Potentials ist bekanntlich ein unausgiebiger Integralausdruck (es gibt bessere Möglichkeiten, das Wasserstoffatom im Phasenraum zu lösen). Für den Oszillator-Hamilton-Operator ist es der Standardausdruck, in normalisierten unddimensionalisierten Einheiten das Quadrat des Radius im Phasenraum,$(p^2+x^2)/2$. Für den typischen Operatorausdruck exp(ax̂) exp(bp̂) ist die Wigner-Transformation gemäß dieser Formel exp($ax+bp+i\hbar ab/2$).

Eine berühmtere Wigner-Transformation ist die für den Evolutionsoperator des Oszillators:$\exp(\frac{it}{2\hbar} (\hat{x}^2 + \hat{p}^2) )$, nämlich Gl. (60) von Lit. 1,

$$\frac{1}{\cos (t/2)} e^{\frac{i\tan(t/2)}{\hbar} (x^2+p^2)} ~.$$

Verweise:

1. Thomas L. Curtright, David B. Fairlie und Cosmas K. Zachos, A Concise Treatise on Quantum Mechanics in Phase Space, World Scientific, 2014. Die PDF-Datei ist hier verfügbar .