Warum wird die Galileo-Transformation in der Quantenmechanik so geschrieben?

Beachten Sie, dass zunächst in einer Galilei-Transformation, von$S$Zu$S'$, ein Teilchen mit konstantem Impuls hat eine andere Energie in$S'$als$S$weil die kinetische Energie proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist. Wir wissen, dass Wellenfunktionen (in einem zeitunabhängigen Potential) wie schwingen

$$e^{-i\dfrac E\hbar t}$$ Wir müssen dies also berücksichtigen, wenn wir unsere verschiedenen Frames betrachten.

Wenden wir diese Ergebnisse an. Was wir feststellen werden, dass es diese Änderung des Impulses erklärt, gibt Ihnen den Begriff, der Sie verwirrt, und die Änderung der Energie gibt Ihnen den Begriff, von dem Sie vermuten, dass er die Antwort wäre.

Betrachten Sie ein Teilchen in$S$mit Schwung$\vec p$und Masse$m$. Seine Wellenfunktion$\psi$ist dann

$$\psi = e^{i\left(\dfrac{\vec p \cdot \vec x}{\hbar} - \dfrac{p^2}{2m\hbar}t\right)}$$

In$S'$, mit Geschwindigkeit$\vec v_0$, es ist Schwung geht zu$\vec p' = \vec p - m \vec v_0$, und ebenso ändert sich seine Energie.$E' = \frac{(p')^2}{2m}$, so finden wir das

$$E' = E - \vec p \cdot \vec v_0 + \frac 12 m v_0^2$$

Da die Wellenfunktion eine ähnliche Form haben muss wie in$S'$,

$$\psi' = e^{i\left(\dfrac{\vec p' \cdot \vec x}{\hbar} - \dfrac{E'}{\hbar}t\right)}$$

Das Einstecken dieser neuen Werte von Energien und Impulsen ergibt diese Form,

$$\psi' = e^{i\left(\dfrac{\vec p \cdot \vec x}{\hbar} - \dfrac{m\vec v_0\cdot \vec x}{\hbar}-\dfrac{Et}{\hbar} + \dfrac{\vec p \cdot \vec v_0}{\hbar}\right)} e^{-i\dfrac {m v_0^2t}{2\hbar} }$$

Wir lassen den allerletzten Term weg, weil er bezüglich des Impulses unveränderlich ist. Es ist nur eine globale Gesamtphase (wenn es eine und nur eine Art von Masse gibt). Das Umordnen führt uns zu der Feststellung,

$$\psi' = e^{i\dfrac{\vec p \cdot \vec v_0 t}{\hbar}}e^{-i \dfrac{m\vec v_0\cdot \vec x}{\hbar}}\psi$$

Dies ist genau die Transformation, von der Sie behaupten, dass sie die galiläische Transformation ist. Ersetzen$\vec p$mit einem Operator gibt,

$$\psi' = \hat G \psi$$

Wo$\hat G = e^{i\dfrac{\vec p \cdot \vec v_0 t}{\hbar}}e^{-i \dfrac{m\vec v_0\cdot \vec x}{\hbar}}$Da die Impulszustände eine vollständige Basis sind, gilt dies für jede Superposition von Impulszuständen. Im Allgemeinen ist es also wahr, und wir haben es abgeleitet$\hat G$. Dies liegt an der Energie- und Impulsänderung in verschiedenen Rahmen.

Es ist einfach zu überprüfen, ob die Gl. (2) erzeugt tatsächlich Galilei-Transformationen. Vielmehr scheint OP zu fragen

Wie leitet man Formel (2) aus Grundprinzipien ab?

Skizzierte Herleitung von Formel (2):

1. Betrachten Sie zunächst die klassische Theorie. Der Hamilton-Lagrange-Operator für ein freies nicht-relativistisches Teilchen ist

   $$\begin{align} L_H~=~&\sum_{k=1}^3p_k\dot{x}^k-H, \cr H~:=~ & \frac{1}{2m}\sum_{k=1}^3p_k p_k.\end{align}\tag{A}$$

2. Zeigen Sie, dass eine infinitesimale Galileische Transformation

   $$\begin{align}\delta x^k~=~&t ~\delta v^k, \cr \delta p^k~=~&m ~\delta v^k, \cr \delta t~=~&0,\end{align}\tag{B}$$ ist eine Quasisymmetrie $$\delta L_H ~=~\frac{d}{dt}\sum_{k=1}^3m x_k~\delta v^k \tag{C}$$ für die Hamiltonsche Lagrangedichte (A). [In Bezug auf Quasi-Symmetrie kann der Leser auch gerne diesen verwandten Phys.SE-Beitrag lesen.]

3. Verwenden Sie den Satz von Noether , um die entsprechende volle Noether-Ladung zu finden

   $$Q_k~=~ tp_k - m x_k.\tag{D}$$ [Der erste Begriff$tp_k$ist die bloße Noether-Ladung, während der zweite Term$m x_k$kommt von rechts. von Gl. (C).]

4. Beachten Sie zur Kontrolle, dass die Noether-Ladung (D) die infinitesimale Galileische Transformation (B) erzeugt,

   $$\delta ~=~\sum_{k=1}^3 \{~\cdot~ , Q_k\} ~\delta v^k ,\tag{E}$$ wie es sein soll, vgl. meine Phys.SE-Antwort hier .

5. Verwenden Sie das Korrespondenzprinzip zwischen klassischer und Quantenphysik, um dies abzuleiten

   $$\delta ~=~ \sum_{k=1}^3\frac{1}{i\hbar}[~\cdot~ , \hat{Q}_k] ~\delta v^k, \tag{F}$$ Wo $$\hat{Q}_k~=~ t\hat{p}_k - m \hat{x}_k.\tag{G}$$ ist der Noether-Ladungsoperator.

6. Verwenden Sie Standardargumente, um die infinitesimale Galileische Transformation (F) in eine endliche Galileische Transformation zu integrieren, um die gesuchte Formel (2) von OP zu erreichen.$\Box$