Galileische Relativitätstheorie in QM

Question

Galileische Relativitätstheorie in QM

Yair M

Einleitung

Ich habe versucht zu zeigen, dass der Generator von Boosts in Operatorform geschrieben werden kann, wie hier zu sehen ist , als:

B = \sum_{ich} M_{ich} X_{ich} (T) - T \sum_{ich} P_{ich}

$B = \sum_i m_i x_i(t) - t \sum_i p_i$

Zur Erinnerung: Die Transformationsregeln lauten:

X \to X + v T P \to P + M v

$x\to x+Vt\\ p\to p+mV$

Um dies zu erreichen, habe ich das hier gezeigte Verfahren verwendet , und ich scheine auf Inkonsistenzprobleme zu stoßen, die ich nicht herausfinden kann.

Ableitung

Kurz gesagt, wenn wir einen Mehrteilchenzustand haben, der beschrieben wird durch:

| ψ ⟩ = | P_{1}, P_{2}, . ., P_{N} ⟩

$\left|\psi\right\rangle=\left|p_1,p_2,..,p_N\right\rangle$ dann sollte ein Boost wie folgt wirken:

T_{v} | P_{1}, P_{2}, . ., P_{N} ⟩ = | P_{1} + M_{1} v, P_{2} + M_{2} v, . ., P_{N} + M_{N} v ⟩

$T_V\left|p_1,p_2,..,p_N\right\rangle=\left|p_1+m_1V,p_2+m_2V,..,p_N+m_NV\right\rangle$

In der Positionsbasis erhalten wir:

\begin{aligned} T_{v} | X_{1}, X_{2}, . ., X_{N} ⟩ = {(\frac{1}{2 π})}^{- N / 2} \int D P_{1} D P_{2} . . D P_{N} \prod_{ich = 1}^{N} e^{- ich P_{ich} X_{ich}} T_{v} | P_{1}, P_{2}, . ., P_{N} ⟩ \\ = {(\frac{1}{2 π})}^{- N / 2} \int D P_{1} D P_{2} . . D P_{N} \prod_{ich = 1}^{N} e^{- ich P_{ich} X_{ich}} | P_{1} + M_{1} v, P_{2} + M_{2} v, . ., P_{N} + M_{N} v ⟩ \\ = {(\frac{1}{2 π})}^{- N / 2} \int D P_{1}^{'} D P_{2}^{'} . . D P_{N}^{'} \prod_{ich = 1}^{N} e^{- ich (P_{ich}^{'} - M_{ich} v) X_{ich}} | P_{1}^{'}, P_{2}^{'}, . ., P_{N}^{'} ⟩ \\ = e^{ich \sum_{ich = 1}^{N} M_{ich} v X_{ich}} {(\frac{1}{2 π})}^{- N / 2} \int D P_{1}^{'} D P_{2}^{'} . . D P_{N}^{'} \prod_{ich = 1}^{N} e^{- ich P_{ich}^{'} X_{ich}} | P_{1}^{'}, P_{2}^{'}, . ., P_{N}^{'} ⟩ \\ = e^{ich v \sum_{ich = 1}^{N} M_{ich} X_{ich}} | X_{1}, X_{2}, . ., X_{N} ⟩ = e^{ich M v X_{C M}} | X_{1}, X_{2}, . ., X_{N} ⟩ \end{aligned}

$\begin{split} &T_V\left|x_1,x_2,..,x_N\right\rangle=\left({1\over 2\pi}\right)^{-N/2}\int dp_1dp_2.. dp_N\prod_{i=1}^N e^{-ip_ix_i}T_V\left|p_1,p_2,..,p_N\right\rangle\\ &=\left({1\over 2\pi}\right)^{-N/2}\int dp_1dp_2.. dp_N\prod_{i=1}^N e^{-ip_ix_i}\left|p_1+m_1V,p_2+m_2V,..,p_N+m_NV\right\rangle\\ &=\left({1\over 2\pi}\right)^{-N/2}\int dp_1'dp_2'.. dp_N'\prod_{i=1}^N e^{-i\left(p_i'-m_iV\right)x_i}\left|p_1',p_2',..,p_N'\right\rangle\\ &=e^{i\sum_{i=1}^Nm_iVx_i}\left({1\over 2\pi}\right)^{-N/2}\int dp_1'dp_2'.. dp_N'\prod_{i=1}^N e^{-ip_i'x_i}\left|p_1',p_2',..,p_N'\right\rangle\\ &=e^{iV\sum_{i=1}^Nm_ix_i}\left|x_1,x_2,..,x_N\right\rangle=e^{iMVX_{cm}}\left|x_1,x_2,..,x_N\right\rangle \end{split}$

Ebenso können wir erhalten:

\begin{aligned} T_{v} | P_{1}, P_{2}, . ., P_{N} ⟩ = {(\frac{1}{2 π})}^{- N / 2} \int D X_{1} D X_{2} . . D X_{N} \prod_{ich = 1}^{N} e^{ich P_{ich} X_{ich}} T_{v} | X_{1}, X_{2}, . ., X_{N} ⟩ = \\ = {(\frac{1}{2 π})}^{- N / 2} \int D X_{1} D X_{2} . . D X_{N} \prod_{ich = 1}^{N} e^{ich P_{ich} X_{ich}} | X_{1} + v T, X_{2} + v T, . ., X_{N} + v T ⟩ \\ = {(\frac{1}{2 π})}^{- N / 2} \int D X_{1}^{'} D X_{2}^{'} . . D X_{N}^{'} \prod_{ich = 1}^{N} e^{ich (X_{ich}^{'} - v T) P_{ich}} | X_{1}^{'}, X_{2}^{'}, . ., X_{N}^{'} ⟩ \\ = e^{ich \sum_{ich = 1}^{N} - v T P_{ich}} {(\frac{1}{2 π})}^{- N / 2} \int D X_{1}^{'} D X_{2}^{'} . . D X_{N}^{'} \prod_{ich = 1}^{N} e^{ich P_{ich} X_{ich}^{'}} | X_{1}^{'}, X_{2}^{'}, . ., X_{N}^{'} ⟩ \\ = e^{- ich v \sum_{ich = 1}^{N} P_{ich}} | P_{1}, P_{2}, . ., P_{N} ⟩ = e^{- ich v T P} | P_{1}, P_{2}, . ., P_{N} ⟩ \end{aligned}

$\begin{split} &T_V\left|p_1,p_2,..,p_N\right\rangle=\left({1\over 2\pi}\right)^{-N/2}\int dx_1dx_2.. dx_N\prod_{i=1}^N e^{ip_ix_i}T_V\left|x_1,x_2,..,x_N\right\rangle=\\ &=\left({1\over 2\pi}\right)^{-N/2}\int dx_1dx_2.. dx_N\prod_{i=1}^N e^{ip_ix_i}\left|x_1+Vt,x_2+Vt,..,x_N+Vt\right\rangle\\ &=\left({1\over 2\pi}\right)^{-N/2}\int dx_1'dx_2'.. dx_N'\prod_{i=1}^N e^{i\left(x_i'-Vt\right)p_i}\left|x_1',x_2',..,x_N'\right\rangle\\ &=e^{i\sum_{i=1}^N-Vtp_i}\left({1\over 2\pi}\right)^{-N/2}\int dx_1'dx_2'.. dx_N'\prod_{i=1}^N e^{ip_ix_i'}\left|x_1',x_2',..,x_N'\right\rangle\\ &=e^{-iV\sum_{i=1}^Np_i}\left|p_1,p_2,..,p_N\right\rangle=e^{-iVtP}\left|p_1,p_2,..,p_N\right\rangle \end{split}$

Dies würde darauf hindeuten, dass unser vorgeschlagener Generator tatsächlich der Generator von Boosts ist.

mein Hauptproblem

Es gibt zwei Möglichkeiten, mein Problem zu formulieren:

Mein erster Schritt in der Herleitung ging davon aus, dass der Schub den Impulszustand ändert, während der zweite Schritt zeigt, dass die Impulsbasis angeblich eine Eigenbasis des Schubs ist. Das gleiche Problem gilt für die Position.
Ich nahm an, dass die Transformation die Koordinaten und Impulse ändert. Dies ist das Grundkonzept der Galileischen Relativitätstheorie. Wie kommt es, dass einer von ihnen ein Eigenvektor des Boosts ist?

Antworten (1)

Galileische Relativitätstheorie in QM

udrv · Answer 1

Die Wirkung des Boosts auf Impulszustände spezifiziert die Matrixelemente von $T_V$ In der Impulsdarstellung "ändert es nicht die Impulsdarstellung des Zustands". Mit anderen Worten, von
$T_{v} | P_{1}, P_{2}, . ., P_{N} ⟩ = | P_{1} + M_{1} v, P_{2} + M_{2} v, . ., P_{N} + M_{N} v ⟩$ $T_V\left|p_1,p_2,..,p_N\right\rangle=\left|p_1+m_1V,p_2+m_2V,..,p_N+m_NV\right\rangle$ es folgt einfach $⟨ P_{1}^{'}, P_{2}^{'}, . ., P_{N}^{'} | T_{v} | P_{1}, P_{2}, . ., P_{N} ⟩ \equiv ⟨ P_{1}^{'}, P_{2}^{'}, . ., P_{N}^{'} | P_{1} + M_{1} v, P_{2} + M_{2} v, . ., P_{N} + M_{N} v ⟩ = \prod_{J} δ (P_{J}^{'} - P_{J} - M_{J} v)$ $\langle p'_1,p'_2,..,p'_N | T_V |p_1,p_2,..,p_N\rangle \equiv \langle p'_1,p'_2,..,p'_N |p_1+m_1V,p_2+m_2V,..,p_N+m_NV\rangle \\ = \prod_j \delta(p'_j - p_j - m_jV)$ oder $T_{v} = \int D P_{1} D P_{2} . . D P_{N} | P_{1} + M_{1} v, P_{2} + M_{2} v, . ., P_{N} + M_{N} v ⟩ ⟨ P_{1}, P_{2}, . ., P_{N} |$ $T_V = \int{dp_1dp_2.. dp_N\;|p_1+m_1V,p_2+m_2V,..,p_N+m_NV\rangle\langle p_1,p_2,..,p_N|}$
Gemäß Gleichungen (3) und (5) Ihrer 2. Quelle ist die Wirkung von $T_V$ in Positionsdarstellung ist
$T_{v} | X_{1}, X_{2}, . ., X_{N} ⟩ = e^{ich \sum_{J} M_{J} v X_{J}} | X_{1}, X_{2}, . ., X_{N} ⟩$ $T_V|x_1,x_2,..,x_N\rangle = e^{i\sum_j{m_jVx_j}}|x_1,x_2,..,x_N\rangle$ nicht $T_{v} | X_{1}, X_{2}, . ., X_{N} ⟩ = | X_{1} + v T, X_{2} + v T, . ., X_{N} + v T ⟩$ $T_V|x_1,x_2,..,x_N\rangle = |x_1+Vt,x_2+Vt,..,x_N+Vt\rangle$ wie in Ihrer 2. Berechnung erscheint. Letzteres wird bei richtiger Aktion $\begin{aligned} T_{v} | P_{1}, P_{2}, . ., P_{N} ⟩ = {(\frac{1}{2 π})}^{- N / 2} \int D X_{1} D X_{2} . . D X_{N} \prod_{ich = 1}^{N} e^{ich P_{ich} X_{ich}} T_{v} | X_{1}, X_{2}, . ., X_{N} ⟩ = \\ = {(\frac{1}{2 π})}^{- N / 2} \int D X_{1} D X_{2} . . D X_{N} \prod_{ich = 1}^{N} e^{ich P_{ich} X_{ich}} e^{ich \sum_{J} M_{J} v X_{J}} | X_{1}, X_{2}, . ., X_{N} ⟩ \\ = {(\frac{1}{2 π})}^{- N / 2} \int D X_{1} D X_{2} . . D X_{N} \prod_{J = 1}^{N} e^{ich (P_{J} + M_{J} v) X_{J}} | X_{1}, X_{2}, . ., X_{N} ⟩ \\ = | P_{1} + M_{1} v, P_{2} + M_{2} v, . ., P_{N} + M_{N} v ⟩ \end{aligned}$ $\begin{split} &T_V\left|p_1,p_2,..,p_N\right\rangle=\left({1\over 2\pi}\right)^{-N/2}\int dx_1dx_2.. dx_N\prod_{i=1}^N e^{ip_ix_i}T_V\left|x_1,x_2,..,x_N\right\rangle=\\ &=\left({1\over 2\pi}\right)^{-N/2}\int dx_1dx_2.. dx_N\prod_{i=1}^N e^{ip_ix_i}e^{i\sum_j{m_jVx_j}}|x_1,x_2,..,x_N\rangle\\ &=\left({1\over 2\pi}\right)^{-N/2}\int dx_1dx_2.. dx_N\prod_{j=1}^N e^{i\left(p_j+m_jV\right)x_j}\left|x_1,x_2,..,x_N\right\rangle\\ &=|p_1+m_1V,p_2+m_2V,..,p_N+m_NV\rangle \end{split}$ wie erwartet.

Anmerkung als Antwort auf den Kommentar hinzugefügt : Die Form, die Sie für die Galilei-Transformation haben, ist eigentlich nur die Hälfte davon, die Impulsverschiebung. Die vollständige Form ist ein Produkt der Impulsverschiebung $e^{i\sum_j{m_j\hat x_jV}}$ und die Koordinatenverschiebung:

T_{v} = e^{ich \sum_{J} M_{J} v^{2} T} e^{- ich \sum {\hat{P}}_{J} v T} e^{ich \sum_{J} M_{J} v {\hat{X}}_{J}} \equiv e^{ich \sum_{J} M_{J} v^{2} T} e^{- ich \hat{P} v T} e^{ich M v \hat{X}}

$T_v = e^{i\sum_j{m_jV^2t}}e^{-i\sum{\hat p_jVt}}e^{i\sum_j{m_jV\hat x_j}}\\ \equiv e^{i\sum_j{m_jV^2t}}e^{-i\hat P Vt}e^{iMV\hat X}$ Wo

\hat{X}

$\hat X$ Und

\hat{P}

$\hat P$ sind der Schwerpunktspositionsoperator bzw. der Gesamtimpulsoperator.

Beachten Sie, dass sich die Position verschiebt $e^{-i\hat P Vt}$ wirkt nicht auf Impuls-Eigenzustände, während die Impulsverschiebung $e^{i\sum_j{m_j\hat x_jV}}$ wirkt nicht auf Ortseigenzustände. Dies erklärt sowohl Ihren bestehenden Versuch als auch seine Abweichung vom gewünschten Ergebnis.

Eine sehr schöne Herleitung und Diskussion der Transformation finden Sie in Fonda & Ghirardi's " Symmetry Principles in Quantum Physics ", Sec.2.5, pgs.83-89.

Ich verstehe was du meinst. Allerdings sind die Matrixelemente von $T_V$ werden durch die Transformationsregeln bestimmt. Da die Transformationsvorschrift für die Koordinaten lautet: $x\to x+Vt$ , das sollte funktionieren.
Sie erwarten zu Recht, dass beides funktionieren sollte. In der Antwort wurde ein Hinweis dazu hinzugefügt. Details in der vorgeschlagenen ref. Ich hoffe es hilft.
Vielen Dank, und die Referenz, die Sie mitgebracht haben, ist auch großartig.

Galileische Relativitätstheorie in QM

Yair M

Einleitung

Ableitung

mein Hauptproblem

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udrv

Yair M

udrv

Yair M

Hermitesche Konjugation des Differentialoperators

Ist ⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle für alle |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle implizieren, dass A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ B}?

Wie kommt r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) beziehen sich auf den Bahndrehimpulsoperator?

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