Schrödinger-Gleichung unter einer Einheits-/Koordinatentransformation

In der QM gibt es sogenannte zeitabhängige dynamische Symmetrien :$t$-parametrisierte Familien unitärer Operatoren$V(t)$so dass

$$V(t)U_t = U_t V(0) \quad \forall t \in \mathbb R\:,\tag{1}$$ Wo $U_t = e^{-it H}$ist der zeitliche Evolutor der Theorie. Die Bedeutung von (1) ist klar: wenn $$\mathbb R \ni t \mapsto \psi(t) := U_t \psi(0)$$ beschreibt die Entwicklung eines reinen Zustands im Hilbert-Raum $\cal H$mit Anfangszustand $\psi(0)$, die Karte $$\mathbb R \ni t \mapsto \psi'(t) := V(t) \psi(t)$$ ist immer noch die Geschichte eines reinen Zustands des Systems, desjenigen mit transformiertem Anfangszustand $$\psi'(0) := V(0)\psi(0)\:.$$ Wenn $V(t)=V(0)$für alle $t$Wir haben eine viel üblichere dynamische Symmetrie , die mit einer erhaltenen Größe durch die Quantenversion des Noether-Theorems verbunden ist. Dynamische Symmetrien definieren in ähnlicher Weise auch Erhaltungsgrößen, aber das Verfahren ist etwas komplizierter.

Es gibt mindestens zwei wichtige Fälle zeitabhängiger dynamischer Symmetrien in der Physik, wobei die Boost-Transformation die Änderung des Trägheitsbezugssystems sowohl in der klassischen als auch in der relativistischen (Quanten-) Physik darstellt. Der Aufbau ist jedoch gleich

$$V_v(t) = e^{iv K(t)}\quad t,s \in \mathbb R$$ Wo $v \in \mathbb R$ist der Parameter der Ein-Parameter-Gruppe bei fixed $t$der Galileo- bzw. Poincaré-Gruppe einheitlich vertreten. Für die Galileo-Gruppe (es gibt einen solchen Generator für jede Richtung der $3$-Raum) $$K(t) = MX - tP$$ Wo $M$ist die Masse des Systems und $X$die Position des Massenmittelpunkts. (Es ist nachweisbar, dass dieser Generator zusammen mit den anderen Generatoren $9$Generatoren der Lie-Algebra der projektiven Galileo-Gruppe sind im Wesentlichen selbstadjungiert auf einem dichten gemeinsamen Invariantenbereich, aber ich werde diese eher mathematischen Probleme hier nicht diskutieren.)

Betrachten wir nun die zeitliche Entwicklung eines durch den Einheitsvektor repräsentierten reinen Zustands$\psi(t)$einer Boost-Transformation unterzogen (so gesehen als Anfangsvektor im Referenzrahmen). Der neue Evolutor ist$U'_t$und wir haben

$$U'_t \psi'(0) = \psi'(t)$$ zusammen mit $$\psi'(t) = V(t) \psi(t)$$ so dass $$U'_t \psi'(0) = \psi'(t) = V(t) U_t \psi(t) = V(t) U_t V(0)^{-1} \psi'(0)\:.$$ Seit $\psi'(0)$willkürlich ist, schließen wir daraus $$U'_t = V(t) U_t V(0)^{-1}\:. \tag{2}$$ Wenn man zumindest formal die (starke Operatortopologie) $t$-Ableitung bei $t=0$(und das macht auf der oben genannten Domain für die Galileo-Gruppe Sinn) finden wir $$H' = V(0)HV(0)^{-1} +i \frac{\partial V}{\partial t}|_{t=0} V(0)^{-1}\:. (3)$$ Wenn wir die Ableitung explizit berechnen, finden wir tatsächlich $H'=H$. Dies liegt daran, dass aus (1) in (2) umgeformt werden kann $$U'_t = U_t V(0) V(0)^{-1} = U_t\:. \tag{2'}$$ die sofort nachgibt $H'=H$ohne die unangenehme Identität (3) auszunutzen.

Ähnliche Ergebnisse gelten im klassischen Hamilton-Formalismus, wenn es um explizit zeitabhängige kanonische Transformationen geht, die beispielsweise zur kanonischen Darstellung der Wirkung der Galileo-Gruppe verwendet werden. Es hängt damit zusammen, dass die Hamilton-Funktion kein Skalar ist, anders als die Lagrange-Funktion in der klassischen Mechanik, und diese Tatsache tritt auf, wenn die Änderung der Koordinaten von der Zeit abhängt.

(1) hat eine andere, denn wenn man sie in Form von Hamiltonian schreibt, kann man leicht die Identität feststellen (Stone-Theorem)

$$\frac{dU_t}{dt} = -i H U_t = -i U_t H\:.$$ Ich meine die Identität $$H = V(t) H V(t)^{-1} + i \frac{dV(t)}{dt} V(t)^{-1}\:.\tag{4}$$ die in die Form umformuliert werden können, die Sie selbst herausgefunden haben, $$V(t) H V(t)^{-1} = H - i \frac{dV(t)}{dt} V(t)^{-1}\:.$$ Der erste Term auf der rechten Seite von (4) ist das Transformationsgesetz von Observablen unter der Boost-Symmetrie $V(t)$, was etwa für den Impuls- und den Ortsoperator gilt: $$X \to X' = V(t) X V(t)^{-1} = X + tvI, \quad P \to P' = V(t) P V(t)^{-1} + MvI\:. \tag{5}$$ Dieser Begriff der Transformation basiert auf der Idee, dass sich die Erwartungswerte nicht ändern, wenn man gleichzeitig Zustände und Observable transformiert . Der Punkt ist, dass bei Anwendung dieser Idee auf die Hamilton-Observable unter der Boost-Symmetrie der transformierte Hamilton-Operator nicht mehr der Hamilton-Operator des Systems ist, da (1) anstelle von gilt $V(t) U_t V(t)^{-1} = U_t$(falsch) wie es stattdessen für die anderen Symmetrien der Galileo-Gruppe geschieht: für ein isoliertes System $H$ist ein Skalar unter Translationen und Rotationen, aber nicht unter Boosts.