Bezugsrahmen, der an der Schrödinger-Gleichung beteiligt ist

Ich möchte zu Michael Browns Kommentar hinzufügen: „Sie können die Schrödinger-Gleichung in jedem Rahmen schreiben, den Sie mögen“: Es ist buchstäblich wahr, und die Schrödinger-Gleichung hat eine Bedeutung, die weitaus grundlegender ist als Bezugsrahmen und so weiter. Wie Trimok und Michael Brown sagen, hängt die Schrödinger-Gleichung für bestimmte physikalische Systeme vom Rahmen ab, wenn tatsächlich eine Transformation zwischen Referenzrahmen für das betrachtete physikalische System sinnvoll ist, aber ihre grundlegende "Form" ist immer dieselbe wie unten besprochen. Eigentlich muss man eine ziemlich verwirrende Ansammlung von Informationen über das Szenario angeben, in dem man Quantenmechanik betreibt, um eine vollständige Beschreibung zu geben - "Bilder" (ob "Schrödinger" oder "Heisenberg" oder "Interaktion" oder sonst etwas), "Koordinaten" oder "Raum" (ob "Position" oder "Impuls" und so weiter), und, wenn es überhaupt relevant ist, der Bezugsrahmen in diesem Raum. Diese Informationen sind aus einer Diskussion nicht immer ganz klar und Spezifikationen können schlampig sein (besonders leider in einigen elementaren Texten), daher ist Ihre Frage gut.

Die Schrödinger-Gleichung ist einfach die Differentialgleichung erster Ordnung, die die zeitliche Entwicklung eines "Vektors" beschreibt, der den Zustand des Quantensystems in einem gewissen Hilbert-Raum darstellt. Dieser Zustand kann alles darstellen, er muss nichts mit Positionen oder Bewegungen im Raum zu tun haben. Wenn ich zum Beispiel ein Quantenmodell eines Induktor-Kondensator-Schwingkreises erstellen möchte, würde ich am Ende den Zustand des Systems als eine diskrete Folge komplexer Zahlen beschreiben$\Psi = \{\psi_0, \psi_1, \cdots\}$, so dass$\sum_j |\psi_j|^2 = 1$.$\psi_0$ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude, dass sich das System in seinem Quantengrundzustand befindet, dh so nah wie man an "nicht erregt" kommen kann, ohne die Heisenberg-Ungleichung zu verletzen,$\psi_1$die Wahrscheinlichkeitsamplitude, dass sich der Oszillator in einem Ein-Photonen-Zustand befindet, dh seine Energie ist$\frac{\hbar}{\sqrt{L\,C}}$,$\psi_2$die Amplitude, dass es sich um einen Zwei-Photonen-Zustand handelt, und im Allgemeinen$\psi_N$die Haltung, die in einem ist$N$-Photonenzustand; oder, wenn Sie möchten, die Amplitude, die es hatte$N$-Photonen, die von irgendwo außerhalb des Oszillatorsystems zu seinem Grundzustand hinzugefügt werden. In diesem quantisierten Schwingkreis spielen räumliche Positionen keine Rolle. "Bezugsrahmen" hat hier keine Bedeutung. Natürlich sind hier die Induktivität und die Kapazität entsprechend$L$Und$C$.

Die Schrödinger-Gleichung ist sehr allgemein: Sie besagt einfach, dass Aufbau und Funktionsweise eines Quantensystems in gewissem Sinne „konstant“ sind, wenn das System vom Rest der Welt getrennt ist. Diese vage Aussage macht in Symbolen mehr Sinn: Die mathematische Beschreibung muss bezüglich Zeitverschiebungen invariant sein: Wenn ich mit einem Quantenzustand um 12 Uhr beginne und ihn bis 1 Uhr entwickle, dann geht meine Zustandsentwicklung zu genauso sein, als ob ich um 4 Uhr mit dem gleichen Zustand anfing und bis fünf Uhr wartete. Nun nehmen wir Linearität an, sodass sich unser Zustandsvektor (jetzt als Spaltenvektor geschrieben) nach einer Matrixgleichung entwickeln wird:$\psi(t) = U(t) \psi(0)$, wo Zustandsübergangsmatrix$U(t)$muss:

1. Erfüllen$U(t+s) = U(t) U(s) = U(s) U(t)$für beliebige Zeitintervalle$t$Und$s$. Dies ist einfach unsere Diskussion über die Zeitverschiebungsinvarianz oben. Sofort wissen wir es$U(t) = \exp(A t)$, für eine konstante Matrix$A$da die Exponentialfunktion die einzige stetige Funktion mit dieser Zeitverschiebungs-Invarianzeigenschaft ist;
2. Es muss einheitlich sein, das heißt, es muss Normen bewahren, damit$\sum_j |\psi_j|^2 = 1$gilt zu jeder Zeit: Dies besagt einfach, dass sich das System aufgrund der Wahrscheinlichkeitsinterpretation der quadrierten Größen in einem bestimmten Zustand befinden muss .

Die allgemeinste mögliche Zustandsentwicklung ist also$\psi(t) = \exp(-\hbar^{-1} i\, \hat{H}\, t)\,\psi(0)$, Wo$\hat{H}$ist eine konstante, hermitische Matrix (dies entspricht der Einheitlichkeitsaussage). Dies wiederum ist äquivalent zu:

$i\,\hbar\,\mathrm{d}_t \psi = \hat{H}\,\psi$

das ist die Schrödinger-Gleichung (siehe Fußnote zu den mysteriösen Konstanten$\hbar$Und$i$). Hoffentlich sollte die wesentliche Natur der Schrödinger-Gleichung jetzt klar sein:

Die Schrödinger-Gleichung für ein Quantensystem bestätigt die Zeitverschiebungsinvarianz des Systems, wenn dieses System vom Rest der Welt getrennt wird.

Es ist nicht mehr und nicht weniger als diese Idee, die, wie Sie sehen können, viel grundlegender ist als und unabhängig von „Koordinaten“ oder „Bezugsrahmen“ (falls letzteres überhaupt sinnvoll ist). Wie Sie sehen, habe ich nichts über Raum gesagt, geschweige denn Bezugsrahmen. Unterschiedliche Koordinaten und Bezugssysteme führen zu unterschiedlichen konstanten Matrizen$\hat{H}$, aber sie sind alle konstant und sie sind alle hermitesch: Ich werde ein paar Beispiele geben, wenn ich auf das Induktor-Kondensator-Beispiel unten zurückkomme.

Die Schrödinger-Gleichung ist nicht der einzige Weg, um die obige Behauptung der Zeitverschiebungsinvarianz aufzustellen, was mich zur Diskussion von "Bildern" führt, die manchmal sehr wenig hilfreich "Frames" oder "Frameworks" genannt werden. Was Sie vielleicht denken, wenn Sie „Rahmen“ sagen, ist, dass es manchmal einfacher ist, die Entwicklung eines Systems im sogenannten Heisenberg-Bild zu analysieren. In der Quantenmechanik sind die einzigen „wirklichen“ Dinge Messungen, dargestellt durch Observablen, die hermitesche Matrizen (Operatoren) sind. Die einzigen "wirklichen" Größen sind also die Momente der Wahrscheinlichkeitsverteilung für die gemessene Größe: wenn die Größe durch eine Observable gemessen wird$\hat{M}$dann das n-te Moment der Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Wert dieser Messung, wenn der Systemzustand ist$\psi$Ist$\psi^\dagger \hat{M}^n\psi$in Matrixschreibweise oder in Klammerschreibweise$\left<\psi|\hat{M}^n|\psi\right>$. Man kann sich vorstellen, dass der Zustand eines Systems konstant ist, wenn das System isoliert ist, und dass sich die Observablen selbst mit der Zeit entwickeln. Da nur die Messungen von Bedeutung sind, ist dies insgesamt akzeptabel, solange sich die Werte der Messungen nicht ändern: Die Messung entwickelt sich mit der ersten Ableitung$\mathrm{d}_t\left<\psi|\hat{M}^n|\psi\right>$und wenn wir die Leibniz-Regel verwenden und die Zeitentwicklung von einsetzen$\psi$beschrieben durch die Schrödinger-Gleichung erhalten wir:

$\mathrm{d}_t \psi^\dagger \hat{M} \psi = \frac{i}{\hbar} \psi^\dagger [\hat{H}, \hat{M}]\psi$

Sie können jetzt sehen, dass sich die Messungen genau so entwickeln werden, wie sie es tun würden, wenn sich das System wie durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben entwickeln würde, wenn wir an den Zustand denken$\psi$als konstant und wenn sich die Observablen stattdessen wie folgt entwickeln:

$\mathrm{d}_t \hat{M} = \frac{i}{\hbar} [\hat{H}, \hat{M}]$

Dies ist die Bewegungsgleichung für eine Observable im Heisenberg-Bild ("Rahmen"). Ich bin mir ziemlich sicher, dass Feynman in seiner Vorlesungsreihe irgendwo sagt, das Heisenberg-Bild sei wie die Quantenmechanik in einem rotierenden Rahmen. Er ist natürlich metaphorisch. Beachten Sie auch, dass, weil wir wollen, dass die Heisenberg-Gleichung für jede Observable gilt , ihre Form sehr eingeschränkt ist. Insbesondere muss die Operation auf der rechten Seite eine Ableitung sein (etwas, das die Leibniz-Produktregel erfüllt, was die Lie-Klammer ist), damit obobservables$\hat{A}$Und$\hat{B}$auch die Heisenberg-Gleichung erfüllen$\hat{A}^n$,$\hat{B}^n$Und$i [\hat{A}, \hat{B}]$, die auch (hermitesche) Observablen sein können.

Wenn Sie jetzt an Positionsobservable denken, dann sitzt man, wenn man die Schrödinger-Gleichung für, sagen wir, das Wasserstoffatom löst, immer in einem festen Rahmen relativ zum Wasserstoffatom. Trägheitskräfte werden oft als völlig vernachlässigbar angesehen, wenn ein so kleines System zufällig beschleunigt, aber siehe das von @Trimok zitierte Papier.

Insbesondere aus der Heisenberg-Gleichung kann man leicht erkennen, dass jede Observable mit der konstanten Matrix pendelt$\hat{H}$definiert eine Observable, deren Messungen zeitlich konstant sind. So$\hat{H}$wird als beobachtbare Energie angenommen, da Energie in der klassischen Physik der konservierte "Strom" ist, der nach dem Satz von Noether der Invarianz in Bezug auf Zeitverschiebungen entspricht.

Das Stone-von-Neumann-Theorem sagt mehr über die einheitliche Äquivalenz zwischen dem Heisenberg- und dem Schrödinger-Bild aus.

Der Vollständigkeit halber und um eine Vorstellung davon zu geben, wie viele Möglichkeiten es für die Schrödinger-Gleichung gibt, gehen wir zurück zu unserem Induktor-Kondensator-Resonanzkreis-Beispiel (ich habe dieses ungewohnte, aber herrlich einfache Beispiel eines Systems genommen, von dem aus quantisiert werden kann ein wenig bekanntes Buch von Dietrich Marcuse (ehemals Bell Labs), "Engineering Quantum Electrodynamics"). Dies ist natürlich bewusst als physikalisches System gewählt, für das der räumliche „Bezugsrahmen“ keine Bedeutung hat.

Für die in der Zeichnung unseres LC-Tankschaltkreises gezeigten Vorzeichenkonventionen für Spannung und Strom lauten die klassischen Gleichungen der Zustandsentwicklung:

$\mathrm{d}_t\left(\begin{array}{c}V\\I\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}0&C^{-1}\\-L^{-1}&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}V\\I\end{array}\right);\quad H = \frac{1}{2}\,L\,I^2 + \frac{1}{2}\,C\,V^2$

die ganz analog zu denen für eine schwingende Masse sind$m$an einer Feder mit Federkonstante$k = m\,\omega_0^2$:

$\mathrm{d}_t\left(\begin{array}{c}x\\p\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}0&m^{-1}\\-k&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\p\end{array}\right);\quad H = \frac{p^2}{2\,m} + \frac{1}{2}\,k\,x^2$

Wenn$x$Und$p$stehen für die lineare Position bzw. den Impuls der Masse. Hier$H$ist der klassische Hamiltonoperator (Gesamtenergie). Um es kurz zu machen, wir können dieses System quantisieren, indem wir bekannte Ergebnisse für den harmonischen Quantenoszillator übertragen. In Energie- oder äquivalent Photonenzahlkoordinaten ist der Zustand des Systems das normalisierte Diskrete$\ell^2$Reihenfolge$\Psi = \{\psi_0, \psi_1, \cdots\}$Ich habe am Anfang mit der Interpretation darüber gesprochen$\psi_n$ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude, um die das System angehoben wurde$n$gleiche Energiequanten$\hbar\,\omega_0$aus dem Grundzustand. Die Schrödinger-Gleichung ist wie oben mit der abzählbar unendlichen quadratischen Matrix definiert$\hat{H} =\frac{\hbar\,\omega_0}{2} I + \hbar\,\omega_0\,\mathrm{diag}\left(0,\,1,\,2,\,3,\,\cdots\right)$wo hier$I$steht für den Identitätsoperator und$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L\,C}}$. Die beiden konjugierten (d. h. die kanonischen Kommutierungsbeziehungen erfüllenden) Observablen, die im oben angesprochenen Sinne physikalische Messungen am System darstellen, sind die Spannungs- bzw. Stromobservablen:

$\hat{V} = \sqrt{\frac{\hbar}{2\,C\,\sqrt{L\,C}}}\left(A^\dagger + A\right);\quad \hat{I} = i\,\sqrt{\frac{\hbar}{2\,L\,\sqrt{L\,C}}}\left(A^\dagger - A\right)$

Wo:

$A = \left(\begin{array}{cccc}0&0&0&\cdots\\\sqrt{1}&0&0&\cdots\\0&\sqrt{2}&0&\cdots\\0&0&\sqrt{3}&\cdots\\\cdots\end{array}\right);\quad A^\dagger = \left(\begin{array}{cccccc}0&\sqrt{1}&0&0&0&\cdots\\0&0&\sqrt{2}&0&0&\cdots\\0&0&0&\sqrt{3}&0&\cdots\\0&0&0&0&\sqrt{4}&\cdots\\\cdots\end{array}\right)$

und die kanonische Vertauschungsbeziehung ist:

$\left[\hat{V},\,\hat{I}\right] = \frac{i\,\hbar}{\sqrt{L\,C\,\sqrt{L\,C}}}\,I$

In diesen Energiekoordinaten ist der Zustandsvektor eine diskrete Folge, alle Observablen sind diskrete (wenn auch unendliche) Matrizen und die Lösung der Schrödinger-Gleichung ist ziemlich einfach, nämlich:

$\Psi = \mathrm{diag}\left(e^{-i\,\omega_0\,\frac{t}{2}}\,\psi_0(0),\,e^{-3\,i\,\omega_0\,\frac{t}{2}}\,\psi_1(0),\,e^{-5\,i\,\omega_0\,\frac{t}{2}}\,\psi_2(0),\,\cdots\right)$

Man kann den harmonischen Quantenoszillator und seine Observablen als ein Quantensystem mit zwei Observablen definieren , die (i) eine kanonische Kommutierungsbeziehung erfüllen und (ii) Messungen mit zeitharmonischen Erwartungswerten (Mittelwerten) liefern. Man kann mit ein wenig Arbeit beweisen, dass diese Definition das Quantensystem innerhalb des Energieabstands eindeutig definiert$\hbar\,\omega_0$zwischen seinem gleichmäßig verteilten, diskreten Energiespektrum (die Tatsache eines diskreten, gleichmäßig verteilten Spektrums ergibt sich ebenfalls aus der gerade gegebenen Definition und muss nicht vorausgesetzt werden). Die Spektren der konjugierten Spannungs- und Stromvariablen sind beide kontinuierlich, und jetzt kann man das Dirac-"Leiteroperatorverfahren" rückwärts durchführen und ein Koordinatensystem finden, in dem die beobachtbare Spannung die einfache Form annimmt$\hat{V} \Psi(v, \,t) = v\, \Psi(v,\,t)$und Strom beobachtbar ist$\hat{I} \Psi(v, \,t)= -i\,\frac{\hbar}{L\,C}\,\partial_v \Psi(v,\,t)$. Dieses Verfahren ist eigentlich nicht trivial (zumindest nicht für mich) und die Antwort ist, dass der Hamilton-Operator jetzt ein komplizierterer, aber gebräuchlicherer stetiger Operator ist und die vollständige Schrödinger-Gleichung jetzt lautet:

$i\,\hbar\,\partial_t \Psi(v, \,t) = \frac{1}{2}\left(C\,v^2 - \frac{\hbar^2}{L\,C^2} \partial_v^2\right) \Psi(v, \,t)$

$\Psi(v, \,t)$ist nun die Wahrscheinlichkeitsamplitude der Messspannung$v$über den Tankkreislauf zu der Zeit$t$. Darüber hinaus kann man die Spannungskoordinatenlinie mit einer eindimensionalen, kontinuierlichen Fourier-Transformation transformieren, um zu einem neuen Koordinatensystem zu gelangen (analog zum Impulsraum für eine quantisierte harmonische Masse auf einem Federschwinger), in dem die Stromobservable das Besondere annimmt einfache Form$\hat{I} \Psi(\iota, \,t) = \iota \Psi(\iota, \,t)$und wobei die beobachtbare Spannung jetzt ist$\hat{V} \Psi(\iota, \,t) = i\,\frac{L\,C}{\hbar} \partial_\iota\Psi(\iota, \,t)$und die vollständige Schrödinger-Gleichung lautet nun:

$i\,\hbar\,\partial_t \Psi(\iota, \,t) = \frac{1}{2}\left(L\,\iota^2 - \frac{L^2\,C^3}{\hbar^2} \partial_\iota^2\right) \Psi(\iota, \,t)$

$\Psi(\iota, \,t)$ist nun die Wahrscheinlichkeitsamplitude der Strommessung$\iota$durch den Tankkreislauf zur Zeit$t$. Wie Sie an dem obigen einfachen Beispiel sehen können, bei dem räumliche und zeitliche Bezugsrahmen keine Bedeutung haben, kann man eine Vielzahl verschiedener Koordinatensysteme für die Schrödinger-Gleichung verwenden.

Ich sage mehr über den gerade zitierten Eindeutigkeitssatz und das rückwärts gerichtete Dirac-Verfahren in der Referenz Journal Optical Society of America B/Vol. 24, Nr. 4/April 2007 S. 928.

Fußnote zu Konstanten in Schrödingers Gleichung: Für die Zwecke dieser Antwort kann man nur an die mysteriöse Konstante denken$\hbar$ist nur eine willkürliche Konstante, die ich aus der konstanten Matrix gezogen habe - sie hält auch das Argument des Exponentials dimensionslos, indem sie es hat$[\hbar] = J\,s$als seine SI-Einheiten, weil sich herausstellt, dass$\hat{H}$hat Energieeinheiten.$i$ist auch irgendwie willkürlich: Es macht Observablen (siehe unten) eher hermitisch als schief-hermitisch und macht die von diesen Observablen abgeleiteten Messungen real und nicht rein imaginär, wie sie es wären, wenn die Observablen schief-hermitisch wären, wie die meisten scheinen würden Für viele Mathematiker ist es selbstverständlich, über Observablen nachzudenken, die zur Lie-Algebra der Gruppe der einheitlichen Zustandsübergangsmatrizen gehören. Aber im (etwas umständlichen) Prinzip$i$könnte fallen gelassen werden, und das Einheitensystem kann neu definiert werden, um zu machen$\hbar = 1$(Letzteres wird in der Praxis in "Planck"-Einheiten durchgeführt).