Verletzt die Quantenmechanik das Äquivalenzprinzip?

Das Weak Equivalence Principle, kurz WEP, besagt, dass unter gleichen Anfangsbedingungen die Bewegung von Teilchen unterschiedlicher Masse in einem gegebenen Gravitationsfeld identisch ist. Oder anders gesagt, es gibt keine physikalischen Effekte, die von der Masse eines Punktteilchens in einem äußeren Gravitationsfeld abhängen. Dies ist nur die Äquivalenz zwischen der trägen und der schweren Masse.

Unten werde ich einige Ergebnisse präsentieren, die auf beiden Seiten des Lagers liegen (dass WEP verletzt wird oder nicht). Nach dem, was ich gelesen habe, besteht in dieser Angelegenheit Konsens darüber, dass das Äquivalenzprinzip im allgemeinen Sinne verletzt wird. Es gibt jedoch spezielle Fälle, in denen das Prinzip für die Quantenmechanik gilt (ein solcher Fall wird unten angegeben).

Nehmen wir die Schrödinger-Gleichung für ein Teilchen mit träger Masse$m_i$und schwere Masse$m_g$, das heißt in Richtung Masse fallen$M$.

Es ist offensichtlich, dass sogar für$m_{i}=m_{g}$die Masse hebt sich nicht aus den Bewegungsgleichungen auf. Diese Tatsache ist noch deutlicher für$m_{i}=m_{g}=m$in einem einheitlichen Gravitationsfeld in der$x$Richtung, der Beschleunigung$g$

dessen Lösung parametrisch abhängen wird$\hbar/m$. An dieser Stelle könnten wir sagen, dass die Wellenfunktionen, die Propagatoren und die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilungen das WEP verletzen. Außerdem untersuchte Rabinowitz in den 90er Jahren die Möglichkeit gravitativ gebundener Atome und fand heraus, dass die Masse,$m$, bleibt in den quantisierten Bewegungsgleichungen (obwohl sich die Masse in den klassischen Bewegungsgleichungen aufhebt). Wir würden erwarten$m$sich aufzuheben, wenn über Zustände mit großen Quantenzahlen gemittelt wird, aber das bringt sie effektiv in das klassische Kontinuum.

PC Davies schlägt jedoch in diesem Artikel das folgende Experiment vor:

Stellen Sie sich eine Variante des einfachen Galileo-Experiments vor, bei der Teilchen unterschiedlicher Masse mit einer gegebenen Anfangsgeschwindigkeit vertikal in ein einheitliches Gravitationsfeld geschleudert werden$v$. Klassischerweise wird vorhergesagt, dass die Teilchen eine Zeit lang zurückkehren werden$2v/g$später, zu einer Höhe aufgestiegen$x_{max}=v^{2}/ 2g$. Aber Quantenteilchen sind in der Lage, in den klassisch verbotenen Bereich oberhalb von xmax zu tunneln. Außerdem hängt die Vortriebstiefe von der Masse ab. Man könnte daher eine kleine, aber hochsignifikante massenabhängige „Quantenverzögerung“ in der Rücklaufzeit erwarten. Eine solche Verzögerung würde einen Verstoß gegen das Äquivalenzprinzip darstellen.

Am Ende des Abschnitts$3$er beweist, dass der Erwartungswert für die Umlaufzeit eines Quantenteilchens identisch ist, wenn die Messung weit entfernt vom klassischen Wendepunkt durchgeführt wird. In diesem Sinne gilt das WEP für ein Quantenteilchen.

Dieses Ergebnis legt nahe, dass ein einheitliches Gravitationspotential – das lokal für jedes nicht-singuläre Gravitationsfeld gilt – eine besondere Eigenschaft in Bezug auf die Quantenmechanik hat, nämlich dass die Erwartungszeit für die Ausbreitung eines Quantenteilchens in diesem Hintergrund identisch mit der klassischen ist Ausbreitungszeit. Dies kann als Erweiterung des Äquivalenzprinzips auf das Quantenregime verstanden werden (für eine breitere Diskussion darüber, was ein „Quantenäquivalenzprinzip“ mit sich bringt). Diese besondere Eigenschaft scheint von der Form des Potentials abzuhängen; es gilt nicht im Fall eines scharfen Potentialsprungs oder eines exponentiellen Potentials.

Abschließend möchte ich auf diesen Artikel hinweisen , in dem die Autoren geringe Korrekturen des Wirkungsquerschnitts für die Streuung verschiedener Quantenteilchen durch ein externes Gravitationsfeld (angenommen als externes Feld in linearisierter Gravitation) berechnen. Sie zeigen, dass die Wirkungsquerschnitte in erster Ordnung spinabhängig sind. In zweiter Ordnung sind sie ebenfalls energieabhängig. Sie beweisen also, dass das Äquivalenzprinzip in beiden Fällen verletzt wird.

Ich nehme das schwache Äquivalenzprinzip in die Formulierung, wie auf der Wikipedia-Seite angegeben :

Die lokalen Wirkungen der Bewegung im gekrümmten Raum (Gravitation) sind ausnahmslos nicht von denen eines beschleunigten Beobachters im flachen Raum zu unterscheiden.

Betrachten Sie eine Wellenfunktion$\Psi(r,t)$und nehmen an, dass die potentielle Energie konstant ist. Jetzt wechseln wir$^\dagger$zu einem Bezugssystem, das sich relativ zum ursprünglichen mit Geschwindigkeit bewegt$At$mit$A$Konstante:

$\Psi'(r,t)$ist die Wellenfunktion in beschleunigt (mit Beschleunigung$A$) rahmen.

Nehmen wir die Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen an

wir können die effektive potentielle Energie für die erhalten$\Psi'(r,t)$Wellenfunktion:

Aber das ist nichts als potentielle Energie im gleichmäßigen Gravitationsfeld:

wo wir verwenden$g=-A$ist die Beschleunigung im freien Fall und$h=r$ist Höhe.

Was haben wir davon? Tatsächlich scheint es, dass die Bewegung in einem gleichmäßig beschleunigten Rahmen nicht von der Bewegung im Gravitationspotential zu unterscheiden ist, dh das schwache Äquivalenzprinzip ist erfüllt , wenn wir die oben zitierte Formulierung nehmen.

Worüber reden dann Zeitungen wie zB diese ? Sie sagen über "starke Quantenverletzung des schwachen Äquivalenzprinzips"! Die Antwort ist, wie mir scheint, dass sie das schwache Äquivalenzprinzip mit massenabhängigen Effekten verwechseln. Sehen Sie, die meisten Diskussionen drehen sich um die Abhängigkeit einiger Wellenpaketeigenschaften von der Partikelmasse. Das hat aber nichts mit schwachem Äquivalenzprinzip zu tun: Wir haben auch ohne Gravitation eine massenabhängige Wellenpaketverbreiterung – auch im freien Raum!

Vielleicht gibt es eine unäquivalente Formulierung des schwachen Äquivalenzprinzips, das in Fällen, in denen die klassische Mechanik sie nicht hat, von massenabhängigen Effekten spricht, aber dann sollte es überhaupt nichts mit der Schwerkraft und der allgemeinen Relativitätstheorie zu tun haben.

_{$^\dagger$Der Schalter ist ähnlich dem, der zB in Landau, Lifshitz "Quantenmechanik. Nicht-relativistische Theorie" beschrieben wird — in einem Problem danach$\S$17, aber unter Berücksichtigung der zeitabhängigen Geschwindigkeit (also Integration nicht vergessen$\frac12mV^2$in Bezug auf die Zeit, anstatt nur mit zu multiplizieren$t$).}

Das Problem tritt nur auf, wenn Energieeigenzustände betrachtet werden, die vollständig delokalisiert sind. Einer der Grundsätze des Äquivalenzprinzips ist, dass die Äquivalenz zwischen Gravitationssystemen und beschleunigten Systemen nur lokal gilt . Das Äquivalenzprinzip besagt lediglich, dass es an jedem Punkt eine Nachbarschaft gibt, die klein genug ist, dass die physikalischen Systeme äquivalent sind. Aber ein Energie-Eigenzustand wird von der Physik außerhalb einer solchen Nachbarschaft abhängig sein . Aus diesem Grund müssen Eigenzustände, die stark delokalisierte Zustände sind, das Äquivalenzprinzip in keiner Weise erfüllen

Eine detailliertere Erklärung wäre wie folgt: Die Transformation induziert einen Hamilton-Operator auf dem beschleunigten Rahmen. Das Äquivalenzprinzip besagt, dass Sie, wenn der Ort klein genug ist, keine Messung innerhalb des Ortes durchführen können, die mir sagt, ob ich mich in einem Gravitationspotential oder in einem beschleunigten Koordinatensystem befinde. Aber per Definition können Sie innerhalb eines solchen Ortes keine perfekten Impuls- oder Energiemessungen vornehmen, da Ihr Ort eine räumliche Ausdehnung hat, sodass die Position nicht außerhalb dieser Ausdehnung liegen kann. Daher kann keine mögliche Messung innerhalb der Lokalität erweiterte Eigenzustände von Energie oder Impuls auseinanderhalten. Wenn die Pakete schmaler als die Breite des Ortes sind, sollte das Äquivalenzprinzip gelten. Wenn die Pakete breiter als der Ort sind, sollte das Äquivalenzprinzip NICHT gelten

Wenn die Quantenmechanik das Äquivalenzprinzip verletzt, würde dies bedeuten, dass Einsteins Theorie falsch ist. Aber wir wissen aus Experimenten (Gravity Probe B...usw.), dass Einsteins Theorie nicht falsch ist. Somit verstößt die Quantenmechanik nicht gegen Einsteins Theorie, also verstößt sie nicht gegen das Äquivalenzprinzip.