Schrödinger-Gleichung und spezielle Relativitätstheorie

Soweit ich weiß, beschreibt die Schrödinger-Gleichung, wie sich die Wellenfunktion eines Quantensystems im Raum über eine bestimmte Zeit entwickelt (ich beziehe mich auf eine relativistische Version der Schrödinger-Gleichung). Mein Verständnis ist, dass die Gleichung im Wesentlichen die Entwicklung der Wahrscheinlichkeit einer Quantenmessung als klassisches System beschreibt. Bedeutet dies also, dass die durch die Schrödinger-Gleichung bestimmten Wahrscheinlichkeiten vom Bezugssystem des Beobachters abhängen (dh beeinflussen Zeitdilatation und Längenkontraktion die durch die Gleichung gegebenen Wahrscheinlichkeiten)?

EDIT: Was ich mich letztendlich frage, ist, ob die aus der Wellenfunktion berechneten Wahrscheinlichkeiten, deren Entwicklung durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben wird, vom Bezugssystem des Beobachters abhängen (dh wenn zwei identische Systeme von (1) jemandem in Ruhe gemessen werden relativ zum System und (2) jemand, der sich relativ zum System bewegt, sind die Messwahrscheinlichkeiten unterschiedlich? Macht es überhaupt Sinn zu sagen, dass eine Messung von jemandem durchgeführt wird, der sich relativ zum System bewegt?)

Die Schrödinger-Gleichung beschreibt die Entwicklung der Wellenfunktion. Es beschreibt nicht die Entwicklung von Wahrscheinlichkeiten. Diese kommen nur ins Spiel, wenn die Born-Regel verwendet wird, die eine unabhängige Annahme über die Ergebnisse klassischer Messungen an einem Quantensystem ist. Da die Schrödinger-Gleichung nicht relativistisch ist, liefert sie Ihnen nicht die richtigen Ergebnisse für relativistische Quantensysteme. Dazu braucht man die Quantenfeldtheorie.
Kurz gesagt, die Schrödinger-Gleichung baut auf der klassischen Hamilton-Mechanik auf , was bedeutet, dass sie in der relativistischen Grenze nicht korrekt ist. Sie sollten diesen Wikipedia-Artikel lesen . Ich denke, dass es deine Frage beantwortet.
Klärung zu Frage (v1): Beziehen Sie sich auf die Schrödinger-Gleichung für die Zeitentwicklung für "zeitunabhängige Shrödinger-Gleichung", die leider so heißt, weil es wirklich nur die Gleichung ist, der Energieeigenvektoren gehorchen? Ersteres ist völlig allgemein und relativistisch.
@CuriousOne Die Schrödinger-Gleichung für die Zeitentwicklung, nämlich ich ℏ D | ψ ⟩ / D T = H | ψ ⟩ ist nicht nichtrelativistisch. Tatsächlich ist es die Grundlage der Zeitentwicklung in jeder Quantentheorie von allem, einschließlich QFT. Es tut mir leid, den Punkt zu vertiefen, aber ich denke, dass dies eines dieser Missverständnisse ist, die ziemlich entschieden zerquetscht werden müssen.
@joshphysics: Im Kontext der Frage des OP scheint der Bezug auf die nicht-relativistische Einzelteilchen-Schrödinger-Gleichung zu erfolgen, die sich von einer verallgemeinerten linearen Evolutionsgleichung der QFT unterscheidet (in deren Kontext die Interpretation der Wellenfunktion grundlegend anders ist, ganz zu schweigen von den erheblichen Problemen, qft-Probleme in dieser Notation auf mathematisch sinnvolle Weise zu definieren).
@CuriousOne Das mag so sein, und wenn ja, dann stimme ich Ihnen zu, aber ich bin nicht überzeugt, dass das der Kontext ist, den das OP im Sinn hat. Vielleicht wird uns das OP mit einer Klarstellung beehren.
@joshphysics: Das ist fair. Fragen wir den OP, was er meinte. Wenn er eine allgemeinere Frage hatte, als ich verstanden habe, dann ziehe ich meinen Kommentar gerne zurück.

Antworten (3)

Soweit ich weiß, beschreibt die Schrödinger-Gleichung, wie sich die Wellenfunktion eines Quantensystems im Raum über eine bestimmte Zeit entwickelt (ich beziehe mich auf eine relativistische Version der Schrödinger-Gleichung).

Erstens gibt es keine relativistische Schrödinger-Gleichung. Die korrekte relativistische Verallgemeinerung ist die Diracs-Gleichung, aber selbst das ist eine Art Annäherung an die wahre Theorie und man muss mit dem ganzen Apparat von QFT = QM + SR arbeiten.

Mein Verständnis ist, dass die Gleichung im Wesentlichen die Entwicklung der Wahrscheinlichkeit einer Quantenmessung als klassisches System beschreibt.

Die Gleichung beschreibt direkt die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsamplitude und nicht die Wahrscheinlichkeit an sich; die Entwicklung von Wahrscheinlichkeiten wird abgeleitet. Die Amplitude ist gewissermaßen die „Quadratwurzel“ der Wahrscheinlichkeit und eines der Grundkonzepte, das die Quantenmechanik von der klassischen Mechanik unterscheidet.

Letztendlich frage ich mich, ob die aus der Wellenfunktion berechneten Wahrscheinlichkeiten, deren Entwicklung durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben wird, vom Bezugssystem des Beobachters abhängen

Ja tut es. Das grundlegende Problem bei der kanonischen Quantisierung besteht darin, dass wir keine kovariante Wahl von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren treffen können.

Die Schrödinger-Gleichung ist eine nicht-relativistische Annäherung an die Klein-Gordon-Gleichung. Die durch Lösungen der Schrödinger-Gleichung beschriebenen Eigenschaften (Impuls, Energie, ...) sollten in geeigneter Weise vom Galilei-Bezugssystem abhängen. In Wirklichkeit tun sie das nicht. Die durch Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung beschriebenen Eigenschaften (Impuls, Energie, ...) verhalten sich bei Lorentz-Transformationen korrekt, ebenso wie die Lösungen der Dirac-Gleichung, die als relativistische Erweiterung der Pauli-Gleichung angesehen werden kann.

Im Folgenden bespreche ich die zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung, die wir alle im ersten Quantenmechanik-Kurs zumindest während meines Studiums gelernt haben.

Schröder

Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung ist nicht relativistisch, und ja, sie wird in verschiedenen Rahmenbedingungen unterschiedliche Lösungen liefern. Da die Wellenfunktionen unterschiedlich sein werden, wird ihr Quadrat, das die Wahrscheinlichkeiten angibt, den Zustand bei einem gegebenen (x,y,z) in der Zeit t zu finden, unterschiedlich sein.

Die relevanten Gleichungen für relativistische Situationen sind Klein Gordon für Bosonen und Dirac für Fermionen.

In der Teilchenphysik ist die Dirac-Gleichung eine relativistische Wellengleichung, die 1928 vom britischen Physiker Paul Dirac abgeleitet wurde. In ihrer freien Form oder einschließlich elektromagnetischer Wechselwirkungen beschreibt sie alle Spin-½-massiven Teilchen, für die Parität eine Symmetrie ist, wie z. B. Elektronen und Quarks und steht sowohl mit den Prinzipien der Quantenmechanik als auch mit der speziellen Relativitätstheorie im Einklang und war die erste Theorie, die die spezielle Relativitätstheorie im Kontext der Quantenmechanik vollständig berücksichtigte.

Da Materie, die wir beobachten, hauptsächlich aus Fermionen besteht, sind die Dirac-Gleichungen am relevantesten.

Jede Lösung der Dirac- Gleichung ist automatisch eine Lösung der Klein-Gordon-Gleichung, aber das Gegenteil gilt nicht.

Mit dem Formalismus der Quantenfeldtheorie werden die Bausteine, Lösungen der Dirac-Gleichung, nicht viel diskutiert.

Es wurde mich darauf hingewiesen, dass es zeitabhängige Gleichungen gibt, die in dieser Frage hier diskutiert werden und für Leute, die dies verfolgen möchten, von Interesse sein können, nachdem sie die Diskussion in den Kommentaren gelesen haben.

-1 (zumindest vorerst auf Antwort (v1)): Mir ist unklar, auf welche Schrödinger-Gleichung sich das OP bezieht. Wenn sich das OP auf die Shrodinger-Gleichung für die Zeitentwicklung bezieht, ist daran nichts nicht relativistisch; es ist in der Tat völlig grundlegend und gilt allgemein für alle Quantensysteme. Ich finde es sehr wichtig, das deutlich zu machen.
@joshphysics Ich gehe von der Gartensortengleichung aus.
Das schränkt es nicht ein, fürchte ich. Es gibt zwei Gartenartengleichungen, die diesen Namen tragen: ich ℏ D | ψ ⟩ / D T = H | ψ ⟩ Und − ( ℏ 2 / 2 M ) ∇ 2 ψ + v ψ = E ψ . Ersteres ist relativistisch, letzteres nicht.
@joshphysics Je näher ich kam, indem ich suchte, dass ersteres relativistisch ist, war "es ist schwer zu zeigen, dass es so ist". Hast du einen Link. Ich hatte immer den Eindruck, dass man dafür den Klein Gordon braucht, auch ohne Spins. ?
Jedes Buch über relativistische QFT reicht aus, da der Ausgangspunkt für die Zeitentwicklung darin besteht, ein "Bild" (z. B. Schrödinger, Heisenberg, Wechselwirkung) zu verwenden, die alle der Schrödinger-Evolution entsprechen. Aber für Skeptiker siehe David Tongs QFT-Vorlesungsnotizen Gleichung 2.3 damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/two.pdf und das umgebende Zitat: „Alle Zeitabhängigkeiten sitzen in den Zuständen, die sich durch die übliche Schrödinger-Gleichung entwickeln . Wir machen nichts anderes als die übliche Quantenmechanik, wir wenden lediglich den alten Formalismus auf Felder an.“
@joshphysics: Bei allem Respekt vor David Tong ... ein motivierter, intelligenter Student kann die Grundlagen des nicht-relativistischen QM in einer Woche lernen, aber selbst dieser Student wird ein paar Jahre brauchen, um in QFT auch nur halbwegs auf dem neuesten Stand zu sein. Wenn wir "genau dasselbe" machen würden, dann wäre das Leben um einiges einfacher, als es eigentlich ist. Und wenn Yangian-Symmetrien zufällig eine so große Rolle in der QFT spielen, wie manche glauben, dann haben wir dies in den letzten über 60 Jahren möglicherweise sowieso völlig falsch betrachtet.
@CuriousOne Ich denke, das könnte Tong gegenüber etwas unfair sein, in dem Sinne, dass man das Zitat aus dem Zusammenhang gerissen so interpretieren könnte, wie Sie scheinen. Tong bezieht sich speziell auf die Zeitevolution, und wenn Sie mich fragen, ist es ziemlich konzeptionell wichtig zu betonen, dass es in QFT nichts Neues gibt, wenn es um Zeitevolution geht. Ich sage dies teilweise, weil es allgemein wichtig ist zu erkennen, dass QFT ein Modell im Rahmen der Quantenmechanik ist, und die Feststellung, dass die Quantenzeitentwicklung auf genau die gleiche Weise übernommen wird, ist ein wichtiger Bestandteil, um diese Tatsache zu betonen.
@joshphysics Ich bestreite QFT nicht. Ich möchte eine einfache Demonstration, dass die S-Gleichung relativistisch ist; Ich denke, dass der Klein Gordon die relativistische Version des S ist. Zumindest der Artikel in Wikipedia muss dann auch falsch sein.
@joshphysics: Ich verstehe, was David Tong meint, aber in der Praxis haben einige der klügsten Menschen über ein halbes Jahrhundert gebraucht, um das Stück „...alles, was wir tun...“ zu vollenden, und die Verwirrung ist jetzt wahrscheinlich größer als sich die erste Generation von Feldtheoretikern hätte vorstellen können. Ich stimme zu, dass man die Quantenmechanik etwas weiter fassen kann als die QFT, was jedoch weder die Komplexität ihrer tatsächlichen Anwendung verringert noch relativistische Feldtheorien auf eine einfache Differentialgleichung erster Ordnung reduziert, wie diese formale Gleichung nahelegt.
@annav Die Gleichung ich ℏ D | ψ ⟩ / D T = H | ψ ⟩ ist relativistisch in dem Sinne, dass es die zeitliche Entwicklung jedes Quantensystems bestimmt , einschließlich aller relativistischen Systeme, wie sie durch das Standardmodell der Teilchenphysik beschrieben werden. Ich bin ziemlich verwirrt darüber, was genau Sie wünschen. Welche Art von "Demonstration" wollen Sie? Ich stimme zu, dass die Gleichungen − ( ℏ 2 / 2 M ) ∇ 2 ψ + v ψ = E ψ Und − ( ℏ 2 / 2 M ) ∇ 2 ψ + v ψ = ich ℏ ∂ ψ / ∂ T beschreiben nichtrelativistische Systeme. (ein nicht relativ massives Teilchen), wenn Sie darauf hinauswollen.
@joshphysics ja, die Masse ist nicht relativistisch und es ist schwer zu erkennen, was bei relativistischen Energien passieren würde. Ich denke, mein "Nein" in der obigen Antwort konzentriert sich darauf, ebenso wie die Aussage im Wiki-Artikel. im KG weißt du, dass du es mit der Restmasse zu tun hast.
@joshphysics Ich denke, es ist die zeitliche Ableitung erster Ordnung, die es nicht erlaubt, die relativistische Form zu sehen, während das KG sie explizit hat.
Ich habe den Eindruck, dass Sie relativistische mit offensichtlich kovarianten Gleichungen verwechseln . Die Schrödinger-Gleichung in ihrer allgemeinen Form
(1) ich ℏ D D T | ψ ⟩ = H ^ | ψ ⟩
ist vollständig relativistisch, vorausgesetzt, wir geben einen relativistischen Hamiltonoperator an H ^ , aber es ist nicht offensichtlich kovariant (oder forminvariant ). Es ist jedoch immer noch in jedem Referenzrahmen gültig. Zum Beispiel kann die Dirac-Gleichung (interpretiert als Ein-Teilchen-Gleichung) sehr einfach als (1) oben ausgedrückt werden, mit H ^ = a ich P ^ ich C + M C 2 ICH .
@Cham Die Anfrage des OP nach der Wahrscheinlichkeit im Weltraum fragt eindeutig nach Kovarianz, daher geht diese Antwort auf seine Besorgnis ein. Tatsächlich ist die kovariante Verallgemeinerung der Schr eqn die obskure, nichtlokale Salpeter-Gleichung mit einer kovarianten Dispersionsrelation auf Kosten eines Pseudodifferentialoperators. Aber eine Atomuhr, die von der Schr eqn gesteuert wird, tickt eindeutig mit Frame-abhängigen Raten! Die Frage ist kein abstrakter Diskurs über den Hilbert-Raum, sondern eine Frage zum Thema „Wie fördern wir Antworten“?
Bedeutet "relativistisch" hier nur aus Gründen der Klarheit (ich bin alles andere als ein Experte) Poincare-Invariante?
@N._Steinle : Es ist nicht klar! Ich habe das seltsame Gefühl, dass sie über die geheimen Theoreme von Hegerfeldt und Ruijsennaar streiten, ohne es zu buchstabieren. Eine Raumdichte ist nicht Poincare-invariant, aber wenn Sie sich die einfachsten expliziten Antworten ansehen – oder für den Kern von Salpeters Poincare-invariantem Operator, scheinen sie eine relativistische Kinematik zu zeigen – mit einer geeigneten Wendung.
@N._Steinle kleine Klarstellung: Salpeters Operator ist nicht offensichtlich Lorentz-kovariant (was sein Elternteil, das KG, ist), besitzt aber die Lichtkegelstruktur, die der Kovarianz "förderlich" ist ... Sein Lösungsraum ist unter Lorentz-Transformationen invariant , Foldy 1956 .
Schrödinger-Gleichung und spezielle Relativitätstheorie
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v