Wo ist der Rest? - Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen, dessen Position bekannt ist

Question

Wo ist der Rest? - Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen, dessen Position bekannt ist

R. Burton

Annahmen

Ich werde durchgehend in einer räumlichen Dimension arbeiten. Es sollte möglich sein, relativ leicht auf drei Dimensionen zu verallgemeinern, aber dies trägt wenig zur Konversation bei und dient nur dazu, die Berechnung zu erschweren.
Elementarteilchen sind notwendigerweise ohne jegliches Maß oder innere Struktur. Das bedeutet, wenn ein Elementarteilchen jemals eine Position hat, dann existiert dieses Teilchen nur an einem einzigen Punkt im Raum. Daraus können wir ableiten, ob sich ein Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt befindet $t$ ist bekanntlich $y$ , dann seine Wellenfunktion $\psi$ muss so sein $|\psi(x,t)|^2 = \delta(x-y)$ .
Die Geschwindigkeit eines Teilchens mit positiver Ruhemasse, gemessen in einem beliebigen Bezugssystem, ist immer kleiner als $c$ , die Lichtgeschwindigkeit. Also, wenn die Position eines [massiven] Teilchens ist $y$ zum Zeitpunkt $t$ Und $y'$ zum Zeitpunkt $t'$ , Dann $\left\vert\frac{y'-y}{t'-t}\right\vert< c$ .

Notation

Weil der Brief $\phi$ wird üblicherweise sowohl für Phase als auch für Impuls verwendet, die ich verwenden möchte $\varphi$ Phase darstellen und $\phi$ Schwung darstellen.

Das Problem

Angenommen, wir messen die Position eines freien Teilchens und weisen dieser Position einen Wert von zu $0$ und ebenfalls die Zeit als markieren $0$ . Wir haben dann die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Position des Teilchens, die gegeben ist durch ...

| ψ (X, 0) |^{2} = δ (X)

$|\psi(x,0)|^2=\delta(x)$

...woraus wir schließen können...

\begin{matrix} (Gl. 1) & ψ (X, 0) = δ (X) e^{ich φ_{0}} \end{matrix}

$\psi(x,0)=\delta(x)e^{i\varphi_0}\tag {eq.1}$

Wo $\varphi_0$ ist die Anfangsphase von $\psi$ .

Von hier aus wollen wir die Position des Teilchens zu einem beliebigen Zeitpunkt in der Zukunft vorhersagen $t$ . Dazu müssen wir die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung lösen...

\begin{matrix} (Gl.2) & ich ℏ \frac{\partial}{\partial T} ψ (X, T) = - \frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} ψ (X, T) \end{matrix}

$i\hbar\frac\partial{\partial t}\psi(x,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x,t)\tag {eq.2}$

...mit Anfangsbedingung (Gl.1). Glücklicherweise gibt es bereits eine Lösung für dieses Problem.

Erste Lösung

Die erste Lösung wird hier von Emilio Pisanty gegeben :

ψ (X, T) = {\begin{cases} δ (X) & T = 0 \\ \sqrt{\frac{M}{2 π ℏ T}} \exp [ich (\frac{M X^{2}}{2 ℏ T} - \frac{π}{4})] & T > 0 \end{cases}

$\psi(x,t)= \begin{cases} \delta(x) & t=0\\ \sqrt{\frac m{2\pi\hbar t}}\exp\left[i\left(\frac {mx^2}{2\hbar t}-\frac\pi4\right)\right] & t>0\end{cases}$

Etwas problematisch ist, dass diese Lösung nicht normalisierbar ist (wir werden später darauf eingehen, warum dies problematisch ist). Es weist jedoch darauf hin, dass 1) aufgrund von Unsicherheit die Position des Teilchens zur Zeit $t>0$ ist immer unbekannt und 2) mit fortschreitender Zeit nimmt die Wahrscheinlichkeit ab, das Teilchen in der Nähe seiner ursprünglichen Position zu finden, als ob es sich ins Unendliche "ausbreiten" würde. Dieser zweite Punkt liefert einen Teil der Intuition hinter der Begründung dieser Frage.

Zweite "Lösung"

Die zweite Lösung – oder vielmehr Halblösung – ist das Ergebnis meines schwachen Versuchs einer normalisierbaren Lösung. Zunächst können wir unsere Anfangsbedingung als Grenzfall einer Gaußschen Verteilung betrachten...

| ψ (X, T) |^{2} = \frac{1}{σ (T) \sqrt{2 π}} \exp (- \frac{X^{2}}{2 σ (T)^{2}})

$|\psi(x,t)|^2=\frac 1{\sigma(t) \sqrt {2\pi }} \exp\left(-\frac {x^2}{2\sigma(t)^2}\right)$

...Wo $\sigma(0)=0$ . Daraus haben wir...

ψ (X, T) = \frac{1}{\sqrt{σ (T) \sqrt{2} π}} \exp (- \frac{X^{2}}{4 σ (T)^{2}} + ich φ (T))

$\psi(x,t)=\frac1{\sqrt{\sigma(t)\sqrt 2\pi}}\exp\left(-\frac{x^2}{4\sigma(t)^2}+i\varphi(t)\right)$

Wir können dies in (Gl. 2) zurückführen, indem wir die übliche Transformation zur und von der Impulsbasis überspringen, um ...

\begin{matrix} (Gl. 3) & X ℏ σ (T) - 2 ich M X^{2} \frac{\partial}{\partial T} σ (T) + 2 ich M σ (T)^{2} \frac{\partial}{\partial T} σ (T) + 4 M σ (T)^{3} \frac{\partial}{\partial T} φ (T) = 0 \end{matrix}

$x \hbar\sigma(t)-2 i m x^2 \frac\partial{\partial t}\sigma(t)+2 i m \sigma(t)^2\frac\partial{\partial t}\sigma(t)+4 m \sigma(t)^3 \frac\partial{\partial t}\varphi(t)=0\tag{eq.3}$

...die wir dann nach Funktionspaaren auflösen können $(\varphi,\sigma)$ die die gewünschten Bedingungen erfüllen. Das Lösen in der Ortsbasis ist notwendig, weil die Transformation einer Lösung aus der Impulsbasis wieder eine nicht normierbare Lösung ergibt. Vorausgesetzt, dass Lösungen von {(Gl.3), $\sigma(0)=0$ } existieren (ziemlich sicher nicht, aber ich schreibe den Beweis nicht), können wir dies nutzen, um Ungewissheit zu umgehen, indem wir Momentum vollständig vermeiden.

Warum beide Lösungen (und fast alle anderen Lösungen) falsch sind

In beiden Fällen kennen wir den genauen Ort des Teilchens zur Zeit $t=0$ Ist $0$ . Dies bedeutet, dass das Teilchen an einer bestimmten Position beobachtet werden kann $x'$ zum Zeitpunkt $t'$ , es muss irgendwann eine Geschwindigkeit von mindestens besitzen $|x'/t'|$ .

Denn diese Geschwindigkeit darf nicht überschritten werden $c$ , selbst wenn wir keine Ahnung haben, wo sich das Teilchen befindet , wissen wir, dass es sich nicht außerhalb der Region befindet $(-ct,ct)$ . Daher jederzeit $t$ , $\psi(x,t)=0$ für alle, aber zählbar viele $x\notin(-ct,ct)$ .

Dies ist nicht der Fall, wenn $\psi$ nicht normalisierbar ist (wie in Lösung 1), und nicht unbedingt der Fall, selbst wenn $\psi$ ist (wie in Lösung 2, vordergründig), erfordert aber unbedingt, dass die wesentliche Unterstützung von $\psi$ kompakt sein. Konkret haben wir die Bedingung, dass $\operatorname{supp}(\psi(\cdot,t))\subseteq[-ct,ct]$ . Diese Bedingung wird in keiner offensichtlichen Weise durch (Gl. 2) auferlegt, was mich zu folgendem führt:

Entweder

(Gl.2) ist unvollständig. Es sind zusätzliche Terme und/oder Gleichungen erforderlich, die die Einschränkung auferlegen $\operatorname{supp}(\psi(\cdot,t))\subseteq[-ct,ct]$ auf Lösungen, wenn die Anfangsposition des Teilchens genau bekannt ist. Außerdem haben wir das $\psi(x,t)=0$ für alle $x\notin(-ct,ct)$ Wenn $m>0$ , für alle $x\notin[-ct,ct]$ Wenn $m=0$ , und möglicherweise eine andere Bedingung, wenn $m<0$ .
Mindestens eine meiner Annahmen ist falsch

2a. Aufgrund einiger mathematischer Eigenheiten (z. B. eines versteckten Kreuzprodukts oder irgendetwas, das Quaternionen beinhaltet), sind physikalisch relevante Lösungen der Schrödinger-Gleichung nur in 3 + 1-Dimensionen möglich.

2b. Der Begriff „Position“ im klassischen Sinne trifft auf Quantenteilchen überhaupt nicht zu. Auch die Messung der Position eines Teilchens liefert nur eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, deren Maximum an der Stelle liegt, an der es beobachtet wurde. Mit anderen Worten, die Anfangsbedingung $\psi(x,0)=\delta(x)e^{i\varphi_0}$ ist ungültig.

Dies impliziert, dass es möglich ist, ein "einzelnes" Teilchen, das gleichzeitig an zwei verschiedenen Punkten im Raum erscheint, direkt zu beobachten, und dass Teilchen in jeder Entfernung nachgewiesen werden können (obwohl die Wahrscheinlichkeit der Entdeckung als Funktion dieser Entfernung abnimmt).

2c. Die Quantenmechanik erlaubt Überschreitungen der kosmischen Geschwindigkeitsbegrenzung. In diesem Fall sollten solche Verletzungen über kurze Entfernungen und kosmische Zeitskalen allgegenwärtig sein. Ich wäre sehr an experimentellen Beweisen für dieses Phänomen interessiert.
Beide der oben genannten.

oder

Ich habe etwas sehr Grundlegendes für die Quantenmechanik vernachlässigt, ohne das diese Frage falsch formuliert und irrelevant ist. Sobald ich sicher bin, was es ist (und nein, es ist nicht die Fourier-Transformation), kann ich diese Frage löschen.

(Es gibt natürlich buchstäblich die Möglichkeit von allem anderen , aber dies deutet auf die erschreckende Wahrheit hin, dass wir nicht wirklich wissen, wie das Universum funktioniert; und da ich im Moment nicht besonders Lust habe, die gesamte moderne Physik in Frage zu stellen , nehmen wir einfach an, dass die Quantenmechanik "größtenteils richtig" oder zumindest ein guter Ausgangspunkt ist.)

Eric Türme

Warum glauben Sie, dass zwei aufeinanderfolgende Positionsmessungen "eines Teilchens" in den Lichtkegeln des anderen liegen müssen (eine vorwärts, eine rückwärts)? Es gibt viele Ein-Teilchen-Ein-Teilchen-Aus-Feynman-Diagramme, in denen der Eingang und Ausgang des "Ein-Teilchens" raumartig getrennt sind. Auch mehrere Ergebnisse im Tunneling, zB quantamagazine.org/… .

Antworten (3)

Wo ist der Rest? - Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen, dessen Position bekannt ist

Warum glauben Sie, dass zwei aufeinanderfolgende Positionsmessungen "eines Teilchens" in den Lichtkegeln des anderen liegen müssen (eine vorwärts, eine rückwärts)? Es gibt viele Ein-Teilchen-Ein-Teilchen-Aus-Feynman-Diagramme, in denen der Eingang und Ausgang des "Ein-Teilchens" raumartig getrennt sind. Auch mehrere Ergebnisse im Tunneling, zB quantamagazine.org/… .

Andreas Steane · Answer 1

Hüten Sie sich davor, das Wort „Messung“ zu verwenden, um einen schlecht definierten oder unmöglichen physikalischen Prozess einzuschmuggeln. Die Vorstellung, dass es eine Positionsmessung geben könnte, die zu einer Wellenfunktion mit Delta-Funktion führt, ist ein Beispiel für eine unphysikalische Idee. Selbst wenn wir die Delta-Funktion durch eine Funktion endlicher Höhe und sehr kleiner Breite ersetzen, geht die ganze Rechnung immer noch schief, weil Sie jetzt genug kinetische Energie haben, um Elektron-Positron-Paare zu bilden. Die Berechnung muss also über die Quantenfeldtheorie erfolgen.

Man kann wie folgt verallgemeinern. Nehmen wir an, ein Teilchen ist auf einen Bereich der Breite beschränkt $a$ dann wird die Standardabweichung seines Impulses nach unten begrenzt durch

Δ P \geq \frac{ℏ}{A}

$\Delta p \ge \frac{\hbar}{a}$ (Heisenbergsche Unschärferelation). Wenn der mittlere Impuls null ist, folgt daraus, dass der quadrierte Impuls von Ordnung ist

(ℏ / a)^{2}

$(\hbar/a)^2$ und daher ist die kinetische Energie von Ordnung

(γ - 1) M C^{2}

$(\gamma - 1) m c^2$ Wo

γ ≃ {(1 - {(\frac{ℏ}{A M C})}^{2})}^{- 1 / 2}

$\gamma \simeq \left(1 - \left(\frac{\hbar}{a m c}\right)^2 \right)^{-1/2}$ Wo

m

$m$ ist die Ruhemasse des Teilchens. Auf der Ebene der Annäherung brauchen wir uns nicht um die Details zu kümmern; die Heisenbergsche Unschärferelation gibt die richtige Größenordnung an. Diese kinetische Energie reicht aus, um die Energie bereitzustellen, um ein Teilchen-Antiteilchen-Paar zu erzeugen, wenn

(γ - 1) M C^{2} ≃ 2 M C^{2}

$(\gamma - 1) m c^2 \simeq 2 m c^2$ dh

γ ≃ 3

$\gamma \simeq 3$ . Das passiert wann

ℏ ≃ a m c

$\hbar \simeq a m c$ , so dass das Ergebnis ist, dass die Partikel auf einen Bereich beschränkt sind, der kleiner ist als

A ≃ \frac{ℏ}{M C}

$a \simeq \frac{\hbar}{m c}$ ist immer fraglich. Und „Gefangenschaft“ muss hier nicht „dauerhafte Gefangenschaft“ bedeuten; es könnte jeden Prozess umfassen, der zeitlich bewirkt, dass die Positionswellenfunktion des Teilchens gespreizt wird

ℏ / m c

$\hbar/mc$ oder weniger. Die Kombination

h / m c

$h / mc$ wird auch "Compton-Wellenlänge" genannt, weil sie im Compton-Effekt auftaucht, aber ihre Rolle hier ist vielleicht ihre erste Bedeutung. (Siehe Wiki für weitere Informationen).

Um es noch einmal zu wiederholen: Sobald wir uns in diesem Regime befinden, reicht die nicht-relativistische Quantentheorie nicht mehr aus.

In ähnlicher Weise müssen Sie, um die Vorstellung von Änderungen in Wellenfunktionen zu untersuchen, die schneller als Licht sind, zu einer relativistischen Theorie übergehen, um sicherzugehen, dass Sie keinen Fehler machen, und das ist wieder die Quantenfeldtheorie. Und die Quantenfeldtheorie unterscheidet sich in grundlegender Weise von der nicht-relativistischen Quantenmechanik.

Jägerber48 · Answer 2

Ihre Antworten 1 und 2b sind ungefähr richtig. Die Schrödinger-Gleichung, die Sie aufgeschrieben haben, ist nicht relativistisch. Um die Relativitätstheorie zu erfassen, müssen Sie die Quantenfeldtheorie verwenden (das ist sozusagen Ihre Antwort 4.

2b ist auch relevant, da Dirac-Delta-Funktionen im Allgemeinen nicht als physikalische Wellenfunktionen angesehen werden, so wie reine Sinuswellen (zeitunendlich, Dirac-Delta-Fourier-Transformation) keine physikalischen Signale sind. Es ist sinnvoll, sie in den mathematischen Formalismus aufzunehmen, aber nur unendliche Summen von Dirac-Delta-Funktionen, die mit einem gewissen Maß integriert werden (z. B. eine normale Funktion wie eine Gauß-Funktion), sind physikalische Wellenfunktionen. Diese haben nicht ganz die gleichen Relativitätsprobleme, die Sie ansprechen, aber sie können immer noch einige haben.

Aber auch hier ist die Frage erst vollständig gelöst, wenn Sie qft meinen. Dort sind die Modusfunktion und einige Kommutatoren so definiert, dass die Einhaltung der speziellen Relativitätstheorie eingebaut ist.

Vielleicht ist dies eine separate Frage, aber wenn wir das Dirac-Delta nicht als brauchbare Wellenfunktion betrachten, was passiert dann mit der Wellenfunktion, wenn wir die Position eines Teilchens messen?
Wenn man auf einer kollapsbasierten Interpretation besteht (nicht meine Präferenz, aber für diese Frage relevant), passiert, dass unsere Messung immer 100% genau ist. Aufgrund technischer Einschränkungen bei jedem Experiment, das wir durchführen, wird es immer eine gewisse Unsicherheit in unserer Messung geben Der Zustand wird dann nicht zu einem Gaußschen Zustand zusammenbrechen, sondern zu einem Zustand, der unser neues Wissen über den Zustand widerspiegelt. Die Wellenfunktion hat an einer bestimmten Position ihren Höhepunkt, fällt aber mit einer endlichen Rate ab, die durch unsere Messgenauigkeit gegeben ist.
Sie können Positive Operator Value Measures (povm) nachschlagen, um mehr darüber zu erfahren, wie die Details der Messung den Quantenzustand nach der Messung beeinflussen.

Nathan Schied · Answer 3

Die Schrödinger-Gleichung (mit dem hier verwendeten Hamilton-Operator) ist eine nicht-relativistische Gleichung und hält sich daher nicht an die Lichtgeschwindigkeitsgrenze.

Ausgehend von einem Teilchen in einem Orts-Eigenzustand enthält es alle möglichen Impulswerte: Die Fourier-Transformierte der Delta-Funktion ist eine Konstante, d. h. sie nimmt gewissermaßen „gleich wahrscheinlich“ jede reelle Zahl als Impuls an (obwohl dies ist eine nicht normierbare Impuls-Raumwellenfunktion, also ziemlich unphysikalisch). Es gibt also eine gewisse Amplitude, um sich in beliebig kurzer Zeit beliebig weit zu bewegen. Dementsprechend hat die Positionsraum-Wellenfunktion unendliche Unterstützung für any $t > 0$ .

Die Lösungen sind also nicht wirklich falsch; Sie sind innerhalb der Grenzen des von Ihnen verwendeten mathematischen Rahmens korrekt. Um über relativistische Teilchen zu sprechen, müssten Sie versuchen, auf einen relativistischen Hamiltonoperator umzusteigen, und das führt Sie schnell in das Reich der Quantenfeldtheorie.

In der relativistischen QFT kann man tatsächlich zeigen, dass raumartig getrennte Feldoperatoren pendeln, womit die QFT ausdrückt, dass sich Einflüsse nicht schneller als Licht durch das Feld ausbreiten können (sog. „Mikrokausalität“).

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