Ist jede Observable eine Funktion von Ort und Impuls?

1. In der klassischen Physik ist eine Observable definiert als eine (ziemlich glatte) Funktion von Ort und Impuls. Daher haben auch Quantensysteme, die rein durch Quantisierung eines klassischen Systems erhalten werden, dass alle ihre Observablen Funktionen von Ort und Impuls sind.

2. In der Quantenphysik ist eine Observable nur ein Operator, der dazu bestimmt ist, zur "Algebra der Observablen" zu gehören. Es gibt keinen a priori Grund, sogar Positions- und Impulsoperatoren zu haben , und tatsächlich haben Systeme mit endlichdimensionalen Zustandsräumen (wie Qubits oder andere Systeme ohne Positionsfreiheitsgrad) zunächst keinen Positions- oder Impulsoperator weil die CCR$[x,p] = \mathrm{i}\hbar$kann keinen endlichdimensionalen Raum festhalten.

3. In der relativistischen Quantenfeldtheorie (die letztendlich eine Art Quantentheorie ist) gibt es keine Positionsoperatoren, die nächsten sind die sogenannten Newton-Wigner-Operatoren, sodass sich die Frage auflöst, weil sie keinen Sinn mehr ergibt. Außerdem ist der Impulsoperator eine Funktion der Feldoperatoren, aber nicht umgekehrt - Sie können das Feld nicht allein aus dem Gesamtimpulsoperator wiederherstellen, ebenso wie Sie eine Funktion nicht aus dem Wert eines bestimmten Integrals wiederherstellen können.

Ok, vielleicht ist das ein Beweis; es ist nicht vollständig, aber fast.

In der Quantenmechanik ist jeder selbstadjungierte Operator eine Observable, und damit auch der Projektor auf Ortseigenzustände$| x \rangle \langle x'|$. Außerdem, wenn Sie an Betreiber denken$\hat{x}$Basis kann man jeden mit seinen Matrixelementen in dieser Basis darstellen (ist eine bijektive Abbildung), d.h. alle Operatoren sind in eine Summe zerlegbar (kontinuierliche Summe$\rightarrow$ein Integral) von Projektoren:

Also versuchen wir jetzt, alle Projektoren in Bezug auf zu konstruieren$\hat{x}$und$\hat{p}$Betreiber.

Beschränken Sie den Fall auf ein Teilchen in einer Dimension, sodass Sie einen Positionsoperator und einen Impulsoperator haben (der Einfachheit halber, aber allgemein).

Diagonale Elemente

Für den Diagonalprojektor können wir den Operator betrachten$C ~\delta(\hat{x} - x)$, mit$C$eine Normalisierungskonstante. Ich behaupte das:

wenn wir diese Konstante wählen können$C$auf die richtige Weise, um die Delta-Funktion zu "normalisieren" (Sie können beweisen, dass die vorherigen Gleichungen abgesehen von der Normalisierung wahr sind, indem Sie sie auf die Positionseigenzustände anwenden). Auf diese Weise werden alle Diagonalelemente gefunden.

Außerdiagonale Elemente (Impulsoperator)

Für die außerdiagonalen Elemente$|x'\rangle \langle x|~, x \neq x'$wir können nicht die einzige verwenden$\hat{x}$, weil es nur diagonale Elemente hat, aber die Matrixelemente von sucht$\hat{p}$wir finden:

und imposant$| \alpha \rangle = | x \rangle$wir erhalten:

das, wenn wir das Delta als eine Funktion interpretieren (das ist auf jeden Fall null, aber$0$), bedeutet, dass es keine diagonalen Elemente für gibt$\hat{p}$, aber das klingt für mich nicht (denn wenn es wahr ist, pendelt es mit$\hat{x}$, und das ist es nicht).

An dieser Stelle schlage ich vor:

• die Seite von Wikipedia , die die Gleichung unterstützt
• diese Frage , die den Ausdruck vertieft$\hat{p}$auf Positionsbasis
• diese Frage , genau über das Problem

Allgemeiner Operator

Da ich im vorherigen Punkt keine eindeutige Antwort finden kann, fahre ich mit einem Beweis mit zwei Zweigen fort:

• $\hat{p}$hat nur diagonale Elemente:

Dieser Fall ist eindeutig falsch, wie ich bereits sagte, ich setze diesen Weg fort, um ein weiteres Absurdum zu finden.

Also, wenn Sie einen Operator haben$\hat{A}$und wir nehmen an, dass dies nur eine Funktion von ist$\hat{x}$und$\hat{p}$wir können in Taylor-Reihen expandieren:

wir können das, denn selbst wenn$\hat{x}$und$\hat{p}$pendeln Sie nicht, ihr Kommutator ist ein Skalar, also wenn wir einen gemischten Begriff haben$\hat{x} \hat{p} \hat{x} \dots$Wir können es neu ordnen, indem wir einen Term mit der gleichen Anzahl von Operatoren und andere Terme mit weniger Operatoren (von niedrigerer "Ordnung", dh mit einer geringeren Anzahl von Operatoren) finden, und wir können diesen Algorithmus wiederholen, um eine Reihe mit nur "geordneten" zu erhalten Begriffe, wie die, die wir oben geschrieben haben.

Wenn wir nun die Matrixelemente von berechnen$\hat{A}$wir finden:

Doch wenn$\hat{p}$keine außerdiagonalen Elemente hat, zeigt dies auch$\hat{A}$kann keine diagonalen Elemente haben, also ist die Anzahl der Operatoren als Funktion von schreibbar$\hat{x}$und$\hat{p}$sind auf die Operatoren diagonal in Positionsbasis beschränkt, dh derjenige, der mit pendelt$\hat{x}$.

Das ist absurd , und das beweisen wir noch einmal$\hat{p}$muss diagonale Elemente in der Positionsdarstellung haben.

• $\hat{p}$hat außerdiagonale Elemente:

das ist der einzig realistische Fall.

Also kann ich den Ausdruck von schreiben$\hat{p}$in Bezug auf Positionsprojektoren, und ich kann nur einen davon auf ähnliche Weise wie zuvor auswählen:

so mit den Betreibern$\delta(\hat{x} - x') \hat{p} \delta(\hat{x} - x)$wir können alle außerdiagonalen Elemente isolieren, die in vorhanden sind$\hat{p}$.

Fazit

Der letzte Teil des Beweises ist, das zu zeigen$\hat{p}$Operatoren enthält alle Elemente außerhalb der Diagonale; Ich gebe Ihnen einen Versuch, ist aber ein bisschen schlampig (und vielleicht ist die Aussage falsch, aber ich finde keine Literatur darüber, also stelle ich eine andere Frage zu diesem Punkt):

• $\hat{p}$mindestens ein außerdiagonales Element hat, sonst kommutiert es mit$\hat{x}$und es ist nicht;
• $\hat{p}$ist unter Referenzübersetzungen invariant (denken Sie an seine Eigenzustände$\langle x | p \rangle = \varphi_p (x) = exp(\frac{ixp}{\hbar})$), also hängt es von den Matrixelementen nur von der "Entfernung" ab$x - x'$(und es ist ein Zeichen, weil es hermitesch sein muss)
• untermaßstäbliche Transformationen von Positionen$\hat{p} \rightarrow \lambda \hat{p}$(Denken Sie noch einmal an die Wirkung auf seine Eigenzustände)

Wenn also ein Element nicht null ist, müssen auch die anderen nicht null sein, da ihr Abstand mit einer Skalierungstransformation auf denjenigen der Nicht-Null-Elemente reduziert werden kann. Also alle außerdiagonalen Elemente von$\hat{p}$sind nicht null, und ich kann sie extrahieren, um die Projektoren außerhalb der Diagonalen zu konstruieren.

Da habe ich alle Projektoren nur mit aufgebaut$\hat{x}$und$\hat{p}$Jetzt kann ich alle Operatoren als Summe konstruieren, abhängig nur von diesen beiden Operatoren.