Ich habe zwei verwandte Fragen zur Darstellung des Impulsoperators in der Ortsbasis.
Die Wirkung des Impulsoperators auf eine Wellenfunktion besteht darin, sie abzuleiten:
(1) Kann man daraus schließen, dass:
Und was bedeutet dieser Ausdruck?
(2) Verwendung der Gleichungen:
Und
das kann man ableiten
Ist diese Gleichung ok? Folgt es darauf
1) Beachten Sie, dass wir durch Einfügen eines vollständigen Satzes von Positionszuständen schreiben können
Hoffentlich hilft das; lasst mich wissen, wenn es Tippfehler gibt!
Beifall!
1) Benutzer joshphysics hat die 1. Frage von OP bereits richtig beantwortet.
2a) In Bezug auf die 2. Frage von OP wird eine abgeleitet
Mit anderen Worten,
was auch durch Unterscheidung der Identität folgt
wrt. .
2b) Gl. (B) sollte nicht auf beiden Seiten geteilt werden. . Das Problem ist im Wesentlichen, dass die Verteilung ist schlecht definiert.
Ein Argument, warum dies so ist, geht ungefähr so. Erinnern Sie sich an diese eine Möglichkeit, eine Verteilung zu verstehen ist auf reibungslose Testfunktionen zu evaluieren . Zum Beispiel, wenn die Verteilung die Dirac-Delta-Verteilung ist , dann per Definition
oder äquivalent, in einer vielleicht vertrauteren Notation,
Man kann im Allgemeinen nicht multiplizieren zwei Verteilungen, aber man kann eine glatte Funktion multiplizieren mit einer Verteilung . Das Produkt ist definitionsgemäß
Also wenn ist die Dirac-Delta-Verteilung, bekommt man
Im Fall von OP, wenn wir versuchen, einzustellen , Dann wäre schlecht definiert.
Ein weiteres, weniger formelles Argument ist das, wenn wir fälschlicherweise akzeptieren als Verteilung, dann neigen wir zu scheinbar bedeutungslosen Widersprüchen a la
dh wir haben die Assoziativität der Multiplikation verloren.
--
Wir ignorieren die Colombeau-Theorie . Siehe auch diesen Mathoverflow-Beitrag.
@joshphysics hat hervorragend illustriert, warum Ihr erster Teil, dh ⟨x|p^|x′⟩=−iℏ∂δ(x−x′)∂x? steht im Einklang mit der Quantenmechanik;
Lassen Sie uns Ihren zweiten Teil eher intuitiv überprüfen.
Denn allgemein gilt:
Daher
Gilt in der Mathematik
QMechaniker
JoshPhysik
Becko