Ist der Impulsoperator diagonal in Ortsdarstellung?

Es gibt eine heuristische Betrachtungsweise.

Die Dirac-Delta-Funktion entspricht einer Spitze, wenn ihr Argument Null ist. Sie können es als Grenzwert einer Folge von Gaußschen Funktionen betrachten, deren Flächen alle eins sind, deren Breite jedoch gegen Null geht. Die Ableitung einer Gaußschen Funktion sieht so aus:

In der Grenze ist die Ableitung der Dirac-Funktion also so etwas wie eine Aufwärtsspitze infinitesimal links vom Ursprung, gefolgt von einer Abwärtsspitze infinitesimal rechts. Die Matrixelemente, die Sie betrachten, sind also nicht wirklich diagonal, sie sind infinitesimal nicht diagonal.

Diese Art von Heuristik kann nützlich, aber auch gefährlich sein, also nehmen Sie das, was ich sage, nicht zu wörtlich.

Update: Eine andere Möglichkeit, dies zu betrachten, besteht darin, sich dem abgeleiteten Dirac-Delta über eine Diskretisierung zu nähern. Wenn die Wellenfunktion durch einen Vektor von gleichmäßig beabstandeten Abtastwerten dargestellt wird, kann die Ableitung durch zentrale Differenzen dargestellt werden. Unter der Annahme periodischer Randbedingungen erhalten wir eine Matrix wie:

$\frac{1}{2}\pmatrix{ 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & -1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & \ldots & 0 \\ & & \vdots \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ }$

Wir haben Einsen knapp über der Diagonale und -1 knapp darunter. Wenn die Diskretisierung feiner wird, erhalten wir eine Matrix, in der sich die Einträge immer mehr in der Nähe der Diagonale konzentrieren, obwohl alle Nicht-Null-Terme tatsächlich außerhalb der Diagonale liegen. In der Grenze können Sie sich wieder etwas vorstellen, das infinitesimal von der Diagonale entfernt ist.

OP schrieb (v1):

Bedeutet dies das

$$\tag{1}\langle x | \hat{p} | x^{\prime} \rangle = 0$$ wann immer$x \neq x^{\prime}$?

Für zwei feste Werte von$x \neq x^{\prime}$, lautet die Antwort Ja $^1$. Aber versuchen Sie nicht, (1) zu integrieren$x$oder$x^{\prime}$, dh behandeln$x$Und$x^{\prime}$als Laufparameter.

Ist der Impulsoperator diagonal in Ortsdarstellung?

Nein. Wenn die Position Eigenzustände hat$(| x \rangle)_{x\in\mathbb{R}}$beide diagonalisierten den Positionsoperator$\hat{x}$und der Impulsoperator$\hat{p}$, würde dies zum Beispiel bedeuten, dass sie pendeln, was wir wissen, dass sie es nicht tun, vgl. die CKR .

Die oben genannten offensichtlichen Paradoxien wurzeln darin, dass man beispielsweise falsch an eine Verteilung denkt$\delta(x)$, als Funktion von$\mathbb{R}$Zu$[0,\infty]$(was den Wert annimmt$\infty$am Punkt$x=0$). Das ist ein unzureichendes Bild. Verteilungen sollten entweder als geeigneter Grenzwert gewöhnlicher Funktionen verstanden oder mit Hilfe von Testfunktionen definiert werden.

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$^1$Dies hängt mit der Verteilung zusammen$\delta^{\prime}(x)$hat nur Unterstützung bei$x=0$.

Zusätzlich zur Antwort von Qmechanic passiert dies, wenn Sie über integrieren$x$mit einer Testfunktion, was Sie eigentlich tun müssen, damit der Ausdruck wirklich sinnvoll wird. Also lasst uns verwenden$f(x)$als Testfunktion$^1$und integrieren:

$$-i \hbar \int dx \frac{\partial}{\partial x}f(x)\delta(x-x') = -i\hbar f'(x')$$

Im Allgemeinen ist dies also nicht null.

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$^1$Annehmen$f$ist differenzierbar.

Aus Dirac für stetige Eigenwerte:

1) Der verallgemeinerte Einheitsoperator ist definiert als$\delta(\xi'-\xi'')$(analog zum diskreten Fall, wo$I = \delta_{ij}$).

2) Eine Darstellung eines hermiteschen Operators$\xi$heißt diagonal, wenn$\langle \xi' | \xi | \xi'' \rangle = \xi' \delta(\xi' - \xi'')$

3) Verallgemeinerte Matrixmultiplikation ist definiert durch:

$$\langle\xi' | \alpha \beta | \xi'' \rangle = \int \langle \xi' | \alpha | \xi''' \rangle d \xi''' \langle \xi''' | \beta | \xi'' \rangle$$

4) Eine allgemeine Diagonalmatrix ist definiert als eine solche, die mit der verallgemeinerten Matrix aus Punkt 2) kommutiert (wieder analog zum diskreten Fall).

5) Anwendung dieses Vertauschbarkeitskriteriums auf die verallgemeinerten Matrixelemente eines anderen Operators$\omega$, findet man, dass diese Matrix diagonal ist, wenn:

$$(\xi' - \xi'') \langle \xi' | \omega | \xi'' \rangle = 0$$

Diese Beziehung ist erfüllt, wenn:

$$\langle \xi' | \omega | \xi'' \rangle = c' \delta ( \xi' - \xi'')$$ durch die grundlegende Definition der $\delta$Funktion, wird aber durch die Elemente der Impulsmatrix nicht erfüllt. Daher ist der Impuls nicht diagonal (was Sie bereits wussten).