Berechnung von ⟨p|x⟩⟨p|x⟩\langle p|x\rangle und ⟨x|p^|x′⟩⟨x|p^|x′⟩\langle x|\hat{p}|x'\ range - ergibt sich das eine aus dem anderen?

Question

Berechnung von ⟨p|x⟩⟨p|x⟩\langle p|x\rangle und ⟨x|p^|x′⟩⟨x|p^|x′⟩\langle x|\hat{p}|x'\ range - ergibt sich das eine aus dem anderen?

Physik
Schwung
Betreiber
Fourier-Transformation
Quantenmechanik
Dirac-Delta-Verteilungen

Schiedsrichter

Indem ich das zeige

⟨ X | \hat{P} | X^{'} ⟩ = - ich ℏ \frac{D δ (X - X^{'})}{D X}

$\langle x|\hat{p}|x'\rangle = -i \hbar \frac{dδ(x-x')}{dx}$ Ich habe viele Lösungen gesehen, die etwas Ähnliches tun wie Kann ich den Eigenwert des p-Operators durch die Positionsraumdarstellung des p-Operators ersetzen? was die Tatsache nutzt, dass

P ⟨ P | X ⟩ = - ich ℏ \partial_{X} ⟨ P | X ⟩

$p\langle p|x\rangle = -i \hbar \partial_x \langle p|x\rangle$ um das gewünschte Ergebnis zu erhalten. Das bringt mich dazu, das beim Rechnen zu denken

⟨ x | \hat{p} | x^{'} ⟩

$\langle x|\hat{p}|x'\rangle$ wir müssen wissen

⟨ p | x ⟩

$\langle p|x\rangle$ (dh die Differentialgleichung, die sie erfüllt).

Allerdings genauso beim Rechnen $\langle p|x\rangle$ Ich habe Lösungen mit der Tatsache gesehen, dass $\langle x|\hat{p}|x'\rangle = -i \hbar \partial_x δ(x-x')$ wie:

P ⟨ P | X ⟩ = ⟨ X | \hat{P} | P ⟩ = \int D j ⟨ X | \hat{P} | j ⟩ ⟨ j | P ⟩ = ich ℏ \int D j \frac{D δ (X - j)}{D j} ⟨ j | P ⟩ = - ich ℏ \frac{D ⟨ X | P ⟩}{D X} .

$p\langle p|x\rangle = \langle x|\hat p|p\rangle = \int dy \langle x|\hat{p}|y\rangle \langle y | p \rangle =i\hbar \int dy \frac{dδ(x-y)}{dy}\langle y | p \rangle = -i\hbar \frac{d \langle x | p \rangle}{dx}.$

Meine Frage ist dann, was kommt zuerst? Wir können nicht einen zur Berechnung des zweiten und gleichzeitig den zweiten zur Berechnung des ersten verwenden. Kann jemand einen rigorosen Weg angeben, beides ohne eine solche Störung zu berechnen?

Antworten (2)

Berechnung von ⟨p|x⟩⟨p|x⟩\langle p|x\rangle und ⟨x|p^|x′⟩⟨x|p^|x′⟩\langle x|\hat{p}|x'\ range - ergibt sich das eine aus dem anderen?

Lukas Pritchett · Answer 1

Wenn Sie eine der beiden Größen berechnen möchten, müssen Sie definieren, was der Impulsoperator tut. Ohne eine Definition für den Impulsoperator können Sie natürlich nichts berechnen.

Ihre beiden Identitäten sind nur zwei verschiedene Möglichkeiten, die Aktion zu definieren. Die grundlegendste Art, die Aktion eines Operators zu definieren, besteht darin, die Form seiner Matrixelemente auf einer bekannten Basis zu definieren. Wenn wir eine Basis von Positionseigenzuständen haben, würde dies so aussehen $\langle x' | \hat{Q} |x\rangle \equiv Q(x',x)$ . Das sagt uns, dass der Betreiber $\hat{Q}$ wirkt auf einen Ortseigenzustand $|x\rangle$ Overlaps hat eine Überlappung mit dem Positionseigenzustand $|x'\rangle$ gleich $Q(x',x)$ . Ihre erste Identität ist diese Art von Aussage, also ist es eine Möglichkeit, den Impulsoperator zu definieren.

Eine andere Möglichkeit, einen Operator zu definieren, besteht darin, seine Eigenwerte und Eigenvektoren zu deklarieren. Für den Impulsoperator sind die Eigenwerte alle reelle Zahlen $p$ , und um die Eigenvektoren zu definieren, geben wir ihre Koeffizienten in der Positionsbasis an, $\langle p|x\rangle = \psi_p(x)$ . Für den Impulsoperator definieren wir $\psi_p(x) \equiv e^{-ipx/\hbar}$ , was Ihrer zweiten Identität entspricht.

Diese beiden unterschiedlichen Arten, die Wirkung des Impulsoperators zu definieren, sind äquivalent; sie können jeweils verwendet werden, um die andere abzuleiten. Es gibt auch andere Möglichkeiten, die Wirkung des Impulsoperators zu definieren, und alle guten Möglichkeiten entsprechen diesen beiden.

Können beide nur aus der Vertauschungsrelation abgeleitet werden $[\hat x_i , \hat p_j ] = i \hbar δ_{ij}$ ?
Ja. Und die Kommutierungsrelation kann aus der Definition des Impulsoperators als Erzeuger von Übersetzungen abgeleitet werden.

Nox · Answer 2

Nox

Ich glaube auch nicht, dass du dir Sorgen machen musst.

Beachten Sie, dass $i\hbar <x|x'>$ kann geschrieben werden als $<x|[\hat{p}, \hat{x}]|x'>$ und diese dann erweitern. Sie wissen, dass die linke Seite und die rechte Seite das gewünschte Matrixelement enthält.

Alles, was Sie vervollständigen müssen, ist eine Eigenschaft der Dirac-Delta-Funktion, die (zum Beispiel) auf Wikipedia aufgeführt ist und sich darauf bezieht $\delta(x)/x$ zur Ableitung der Delta-Funktion selbst ...

Schiedsrichter

Du hast Recht. Dadurch erhalten wir:

\int d x^{'} (x - x^{'}) ⟨ x | \hat{p} | x^{'} ⟩ ⟨ x^{'} | x^{″} ⟩ = i ℏ ⟨ x | x^{″} ⟩

$\int dx' (x - x') \langle x | \hat p | x' \rangle \langle x' | x'' \rangle = i \hbar \langle x | x'' \rangle$ oder

\int d x^{'} (x - x^{'}) ⟨ x | \hat{p} | x^{'} ⟩ δ (x^{'} - x^{″}) = i ℏ δ (x - x^{″})

$\int dx' (x - x') \langle x | \hat p | x' \rangle δ(x' - x'') = i \hbar δ(x-x'')$ oder

(x - x^{″}) ⟨ x | \hat{p} | x^{'} ⟩ = i ℏ δ (x - x^{″})

$(x- x'') \langle x | \hat p | x' \rangle = i \hbar δ(x-x'')$ und verwenden

δ^{'} (x - x^{″}) = - δ (x - x^{″}) / (x - x^{″})

$δ'(x-x'') = -δ(x-x'')/(x-x'')$ wir bekommen das Ergebnis.

Nox

Exzellent!! Gute Arbeit :-) außer dass es nicht notwendig ist, die Integration in Bezug auf x' zu haben (auch glaube ich nicht, dass Ihre linke Seite der ersten Zeile das <x|x'> braucht ...)

Berechnung von ⟨p|x⟩⟨p|x⟩\langle p|x\rangle und ⟨x|p^|x′⟩⟨x|p^|x′⟩\langle x|\hat{p}|x'\ range - ergibt sich das eine aus dem anderen?

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Lukas Pritchett

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Lukas Pritchett

Nox

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Nox

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