Ableitung des Impulsoperators in der Quantenmechanik

Ich frage mich nur, wie wir den Impulsoperator in der Quantenmechanik tatsächlich ableiten.

Wie ich gelernt habe, behaupten wir, dass für ein freies Teilchen seine Wahrscheinlichkeitsamplitude überall konstant sein sollte. Daher könnten wir schreiben

ψ = A e ich P μ X μ .

Dann ist ersichtlich, dass unser Momentum-Operator sein sollte P ^ μ = ich ∂ μ (Beachten Sie, dass ich die Signatur verwendet habe ( 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) ).

Woher wissen wir das P μ in der Wellenfunktion ist tatsächlich der 4-Impuls (weil unsere Annahme nur ist, dass die Wahrscheinlichkeitsamplitude konstant ist und sonst nichts, daher könnte die Wellenfunktion exponentiell zu jeder reinen komplexen Zahl sein). Zweitens leiten wir diesen Operator nur für freie Teilchen her. Woher wissen wir, dass dies für eine allgemeine Wellenfunktion funktioniert?

Antworten (2)

Das Argument ist das gleiche in nicht-relativistischer oder relativistischer QM.

  1. Ebene Wellen haben einen bestimmten Impuls und haben die angegebene Form: ψ ∼ A e − ich ( P X − ω T ) (bei 1+1).
  2. Da sie einen bestimmten Impuls haben, postuliert man einen Operator P ^ so dass
    P ^ ψ = P ψ .
  3. Mit der expliziten Form von ψ man sieht, dass
    P ^ ↦ ich ∂ ∂ X
    Dasselbe Argument gilt für die Zeitkomponente von your P μ .
  4. Gefunden P ^ für die ebene Welle postuliert man , dass dies für beliebige Potentiale gelten muss.

Ein alternativer (aber nicht vollständig unabhängiger, da dieser von Schrödinger inspirierte) Ansatz besteht darin, zu erkennen, dass in der Hamilton-Jacobi-Formulierung der klassischen Mechanik die Impulsoperatoren auf partielle Ableitungen w / r auf die konjugierten Positionen abgebildet werden, dh P → ∂ ∂ X in HJ. Dies gilt unabhängig vom Potenzial und stützt das Postulat P ^ ↦ ich ∂ X sollte ungeachtet des Potenzials wahr bleiben.

Letztendlich werden diese "Vermutungen" a posteriori durch die Lösungen der Schrödinger-Gleichung validiert.

Diese beantworten meine Frage immer noch nicht. Woher wissen wir, dass die Wellenfunktion für ein freies Teilchen in dieser Form vorliegen muss, nicht nur ψ = A e ich ϕ Wenn ϕ eine reelle Zahl ist (also die P in der Wellenfunktion ist nicht der Impuls des Teilchens). Außerdem bin ich nicht ganz davon überzeugt, dass dies für beliebige Wellenfunktionen gelten muss. Haben Sie einen strengen Beweis für diese Aussage?
Ein freies Teilchen mit vorgegebenem Impuls wird beschrieben durch A e ich ( P X − ω T ) , nicht von A e ich ϕ . Diese letzte Form ist keine sich frei ausbreitende Welle. Ich bin mir nicht sicher, was Sie mit "dies muss für beliebige Wellenfunktionen gelten" meinen. Ich kenne keinen rigorosen Beweis (und ich weiß nicht, dass es einen rigorosen Beweis gibt) von P ^ → ich ∂ X abgesehen von der Tatsache, dass „sich die ganze Zeit gezeigt hat, dass es funktioniert“.
Also, warum muss die Wellenfunktion des freien Teilchens sein A e ich ( P X − E T ) nicht A e ich ( A P X − A E T ) Wo A ist nur eine Konstante. Wir können sehen, dass diese beiden Wellenfunktionen genau dieselbe Dispersionsrelation ergeben, aber unser Impulsoperator wird um den Faktor von geändert A .
Dein A wäre dimensionslos; Es ist ein Skalierungsfaktor, der durch eine Neudefinition absorbiert werden könnte X = A X Und T = A T .
Wenn Sie es so machen, unser Positionsoperator X ^ wird ebenfalls um den Faktor von verändert A .
Sicher ... aber das ist nur ein Skalierungsfaktor. Sie können definiert werden X = 1000 X und messe die Dinge eher in Kilometern als in Metern ... Ich bin mir sowieso nicht sicher, wohin du damit gehst ... Sicherlich ist die Flugzeugwelle ∼ e ich ( P X − ω T ) . Darüber hinaus ändern sich die Dinge auch, wenn Sie in Einheiten arbeiten, in denen ℏ ≠ 1 ... und darüber machen Sie sich keine Sorgen.
Was ich meinte ist das A hier hat keine Einheit -> heißt es X = 1000 X ändert nicht nur die Einheit, sondern erweitert die Längenskala tatsächlich um das Tausendfache.

Der P μ im Exponential ist der wahre Impuls 4-Vektor. Es ist eine kompakte Form, um die 4 verschiedenen Spektralwerte der 4 Impulsoperatoren zu schreiben, während letztere die Generatoren der Lie-Algebra der Raumzeit-Translations-Untergruppe der eingeschränkten Poincare-Gruppe sind. Die Spektralgleichung P ^ μ ψ = P μ ψ ist im (einteilig manipulierten) Hilbert-Raum gültig, der eine irreduzible Darstellung der Translationsuntergruppe enthält. Die Translationsuntergruppe in der flachen 4D-Raumzeit oder allgemein die eingeschränkte Poincare-Symmetrie ist nur im Fall von freien Quantenfeldtheorien in 4D als exakte Symmetrie bekannt/bewiesen.

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