Impulsraumwellengleichung freier Teilchen: konstante Faktoren

Question

Impulsraumwellengleichung freier Teilchen: konstante Faktoren

Miauen

Ich versuche, Problem 3.12 in DJ Griffiths „Introduction to Quantum Mechanics 3rd ed“ zu lösen; es ist wie folgt:

Finden Sie [die Impulsraumwellengleichung] $\Phi(p,t)$ für das freie Teilchen in Bezug auf $\phi(k)$ .

$\phi(k)$ ist in der 1D-Positions-Raumwellengleichung des freien Teilchens definiert

Ψ (X, T) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} ϕ (k) e^{ich k X} e^{- ich \frac{ℏ k^{2}}{2 M} T} D k

$\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{+\infty}_{-\infty}\phi(k)e^{ikx}e^{-i\frac{\hbar k^2}{2m}t}dk$

als

ϕ (k) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} Ψ (X, 0) e^{- ich k X} D X

$\phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{+\infty}_{-\infty}\Psi(x,0)e^{-ikx}dx$

Das heißt, wenn wir die Definition der Fourier-Transformation wo verwenden $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\mp ikx}$ wird in den Integranden für die Fourier- bzw. inverse Fourier-Transformation verwendet (mir wurde immer beigebracht $e^{\mp 2\pi isx}$ , aber ich werde mit der Skalierung von Griffiths rollen), dann $\phi(k)$ ist eigentlich nur die Fourier-Transformation für den Anfangszustand der Wellengleichung im Ortsraum.

Nun, das Problem, auf das ich stoße, ist das folgende: Wenn ich die Methode von Griffiths zum Konvertieren verwende $\Psi(x,t)$ Zu $\Phi(p,t)$ (Ortsraum-zu-Impuls-Raumwellengleichung), dh

Φ (P, T) = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} \int_{- \infty}^{+ \infty} Ψ (X, T) e^{- ich \frac{P}{ℏ} X} D X

$\Phi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int^{+\infty}_{-\infty}\Psi(x,t)e^{-i\frac{p}{\hbar}x}dx$

Ich bekomme

Φ (P, T) = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} \int_{- \infty}^{+ \infty} (\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} ϕ (k) e^{ich k X} e^{- ich \frac{ℏ k^{2}}{2 M} T} D k) e^{- ich \frac{P}{ℏ} X} D X

$\Phi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int^{+\infty}_{-\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{+\infty}_{-\infty}\phi(k)e^{ikx}e^{-i\frac{\hbar k^2}{2m}t}dk\right)e^{-i\frac{p}{\hbar}x}dx$

Meine Intuition sagt, dass sich die beiden Exponentiale einfach aufheben sollten, und daher sehe ich die einzige Möglichkeit, den Ausdruck zu vereinfachen, darin, wenn ich das annehme $p=\hbar k$ (Ich versuche, mit dieser Substitution sehr vorsichtig zu sein, weil sie oft Probleme mit konstanten Faktoren verursacht). Ich bekomme:

Φ (P, T) = \frac{1}{\sqrt{ℏ}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} (\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} ϕ (\frac{P}{ℏ}) e^{ich \frac{P}{ℏ} X} e^{- ich \frac{P^{2}}{2 M ℏ} T} D (\frac{P}{ℏ})) e^{- ich \frac{P}{ℏ} X} D X

$\Phi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{\hbar}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{+\infty}_{-\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{+\infty}_{-\infty}\phi\left(\frac{p}{\hbar}\right)e^{i\frac{p}{\hbar}x}e^{-i\frac{p^2}{2m\hbar}t}d\left(\frac{p}{\hbar}\right)\right)e^{-i\frac{p}{\hbar}x}dx$

Das innere Integral führt eine inverse Fourier-Transformation durch, das äußere eine Fourier-Transformation, also heben sie sich auf, um zu erhalten:

Φ (P, T) = \frac{1}{\sqrt{ℏ}} ϕ (\frac{P}{ℏ}) e^{- ich \frac{E}{ℏ} T}

$\Phi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{\hbar}} \phi\left(\frac{p}{\hbar}\right) e^{-i\frac{E}{\hbar}t}$

Das ist nett und alles, aber ich habe das schon früher gelesen und mir wurde es gesagt $\phi(k)$ ist der zeitunabhängigen Impuls-Raumwellengleichung ähnlich $\psi(x)$ , nicht $\frac{1}{\sqrt{\hbar}}\phi(k)$ . Was sollte der Skalierungsfaktor sein? ich fühle mich wie $p=\hbar k$ ist entweder nicht immer anwendbar oder nur möglich, wenn zusätzliche Faktoren vor den Fourier-Integralen hinzugefügt werden (auch wenn die Integrationsvariable ist $x$ und die Skalierung ist also nicht wirklich auf Substitution von zurückzuführen $dx$ ).

(Ich habe hier nachgesehen , aber es gibt mir keine Antworten.)

Prahar

Das ist falsch.

k

$k$ ist hier hingegen eine Integrationsvariable

p

$p$ ist ein konstanter Parameter. Was Sie tun müssen, ist die Integration durchzuführen

x

$x$ zuerst und führe dann das Integral durch

k

$k$ .

Antworten (3)

Impulsraumwellengleichung freier Teilchen: konstante Faktoren

Das ist falsch. $k$ ist hier hingegen eine Integrationsvariable $p$ ist ein konstanter Parameter. Was Sie tun müssen, ist die Integration durchzuführen $x$ zuerst und führe dann das Integral durch $k$ .

ZeroTheHero · Answer 1

Das Problem liegt in Ihrer Verwendung gemischter Variablen $k$ Und $p$ . Zuerst ist es am besten zu denken

\begin{aligned} ⟨ X | P ⟩ & = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} e^{- ich P X / ℏ}, ⟨ P | X ⟩ = ⟨ X | P ⟩^{*} = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} e^{+ ich P X / ℏ} \end{aligned}

$\begin{align} \langle x\vert p\rangle &=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{-i p x/\hbar}\, ,\qquad \langle p\vert x\rangle = \langle x\vert p\rangle^* =\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{+i p x/\hbar} \end{align}$ was die symmetrische Platzierung der rechtfertigt

\sqrt{2 π ℏ}

$\sqrt{2\pi \hbar}$ Faktor, aber andererseits

\begin{aligned} ⟨ X | k ⟩ & = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- ich k X}, ⟨ k | X ⟩ = ⟨ X | k ⟩^{*} = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{+ ich k X} \end{aligned}

$\begin{align} \langle x\vert k\rangle &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i k x }\, ,\qquad \langle k\vert x\rangle = \langle x\vert k\rangle^* =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{+i k x} \end{align}$ so dass

\begin{aligned} Ψ (P, T) & = ⟨ P | ψ ⟩ = \int D X ⟨ P | X ⟩ ⟨ X | Ψ (T) ⟩ = \int D X \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} e^{ich P X / ℏ} Ψ (X, T), \\ Ψ (k, T) & = ⟨ k | ψ ⟩ = \int D X ⟨ k | X ⟩ ⟨ X | Ψ (T) ⟩ = \int D X \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{ich k X} Ψ (X, T), \\ = \sqrt{ℏ} Ψ (P, T), \end{aligned}

$\begin{align} \Psi(p,t)&=\langle p\vert \psi\rangle = \int dx \langle p\vert x\rangle \langle x\vert \Psi(t)\rangle = \int dx \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{ipx/\hbar}\Psi(x,t)\, ,\\ \Psi(k,t)&=\langle k\vert \psi\rangle = \int dx \langle k\vert x\rangle \langle x\vert \Psi(t)\rangle = \int dx \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}\Psi(x,t)\, ,\\ &= \sqrt{\hbar} \,\Psi(p,t)\, , \end{align}$ wo der Einheitsoperator

\begin{aligned} \hat{1} = \int D X | X ⟩ ⟨ X | \end{aligned}

$\begin{align} \hat 1=\int dx \vert x\rangle \langle x\vert \end{align}$ wurde verwendet.

Roger Wadim · Answer 2

Roger Wadim

Wie @Prahar zu Recht darauf hingewiesen hat, liegt beim Gleichsetzen der Integrationsvariablen ein rein mathematischer Fehler vor $k$ mit der externen Variable $p$ . Mit zwei verschiedenen Symbolen (z. $k$ Und $k'$ ) wäre der richtige Ansatz.

Außerdem ist der Schlüssel zur Lösung die Verwendung der Fourier-Darstellung der $\delta$ -Funktion (nach Änderung der Integrationsreihenfolge):

\int_{- \infty}^{+ \infty} D X e^{ich (k - \frac{P}{ℏ}) X} = 2 π δ (k - \frac{P}{ℏ}) .

$\int_{-\infty}^{+\infty}dxe^{i(k-\frac{p}{\hbar})x} = 2\pi\delta(k - \frac{p}{\hbar}).$

Beachten Sie, dass
die Griffith-Skalierung in der Fourier-Transformation häufig in der Physik verwendet wird, sowohl im Weltraum ( $k$ ) und rechtzeitig ( $\omega$ ) transformiert. Seien Sie auch nicht überrascht, Differentiale direkt nach dem Integrationszeichen und vor dem Integranden zu sehen – wie ich es getan habe – obwohl dies eher typisch für die Quantenmechanik ist.

Miauen

Diese Antwort hat mir am meisten geholfen, zu erkennen, wo mein Fehler lag. Allerdings bekomme ich immer noch die gleiche Lösung:

Φ (P, T) = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} \frac{1}{\sqrt{2 π} ℏ} \int_{- \infty}^{+ \infty} ϕ (\frac{k^{'}}{ℏ}) e^{- ich \frac{k^{' 2}}{2 M ℏ} T} \cdot [\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{ich \frac{k^{'} - P}{ℏ} X} D X] D k^{'}

$\Phi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\hbar}\int^{+\infty}_{-\infty}\phi\left(\frac{k'}{\hbar}\right)e^{-i\frac{k'^2}{2m\hbar}t}\cdot\left[\int^{+\infty}_{-\infty}e^{i\frac{k'-p}{\hbar}x}dx\right]dk'$

= \frac{1}{\sqrt{ℏ}} \int_{- \infty}^{+ \infty} ϕ (k) e^{- ich \frac{ℏ k^{2}}{2 M} T} δ (k - \frac{P}{ℏ}) D k

$= \frac{1}{\sqrt{\hbar}}\int^{+\infty}_{-\infty}\phi(k)e^{-i\frac{\hbar k^2}{2m}t}\delta(k-\frac{p}{\hbar})dk$ Der verbleibende Faktor scheint mit dem übereinzustimmen, was @ZeroTheHero gesagt hat, aber ich weiß nicht, wie ich eine Lösung bekommen könnte, wenno

p

$p$ anstatt

p / ℏ

$p/\hbar$ .

Roger Wadim

@Mew hier geht es um die Konvertierung der Variablen einer Wahrscheinlichkeitsfunktion. Die Wahrscheinlichkeit des Impulses im Intervall

[p, p + d p]

$[p, p+dp]$ Ist

| Φ (P, T) |^{2} D P = | Φ (k, T) |^{2} D k = | Φ (k, T) |^{2} D \frac{P}{ℏ},

$|\Phi(p,t)|^2dp = |\Phi(k,t)|^2dk = |\Phi(k,t)|^2d\frac{p}{\hbar},$ das ist

| Φ (P, T) |^{2} = \frac{1}{ℏ} | Φ (k, T) |^{2},

$|\Phi(p,t)|^2 = \frac{1}{\hbar}|\Phi(k,t)|^2,$ und deshalb

Φ (P, T) = \frac{1}{\sqrt{ℏ}} Φ (k, T) .

$\Phi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{\hbar}}\Phi(k,t).$

Biophysiker · Answer 3

Schwung $p$ und Wellenzahl $k$ sind in der Tat verwandt mit $p=\hbar k$ . Da sie sich nur durch eine Konstante unterscheiden, wird normalerweise davon ausgegangen, dass beide den Impuls von Quantensystemen beschreiben (besonders wenn Sie Ihre Arbeit mit $\hbar=1$ ).

Beachten Sie, dass dies direkt aus der de Broglie-Beziehung folgt $p=hf=2\pi\hbar/\lambda=\hbar k$ ,

Impulsraumwellengleichung freier Teilchen: konstante Faktoren

Miauen

Prahar

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ZeroTheHero

Roger Wadim

Miauen

Roger Wadim

Biophysiker

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