Impulszustand eines Teilchens

Fangen wir ganz von vorne an. Nehmen Sie die Positionen Eigenvektoren,$\left|x\right>$. Sie sind so$X\left|x\right> = x\left|x\right>$. Nehmen Sie nun ein allgemeines Ket für eine Wellenfunktion,$\left|\psi\right>$. Wenn wir es wissen wollen$\psi(x)$, also die Wellenfunktion in der Ortsdarstellung, dann nehmen wir folgendes Skalarprodukt :$\left<x\right|\left|\psi\right> = \psi(x)$. Allerdings trifft dies seit der Positionsdarstellung zu$\left|x\right>$Ist$\delta(x)$(Bei Bedarf kann ich das zeigen). Daraus folgt auch das$\int\left|x\right>\left<x\right|dx = I$wobei I die Identität ist (als Vollständigkeitsbeziehung bezeichnet).

Kommen wir also zurück zur Frage. Analog haben wir das$\psi(p) = \left<p\right|\left|\psi\right> =\int \left<p\right|\left|x\right>\left<x\right|\left|\psi\right>dx$unter Verwendung der Vollständigkeitsrelation. Alles, was wir jetzt tun müssen, ist festzustellen$\left<p\right|\left|x\right>$. Dies geschieht durch die Definitionsgleichung von$\left|p\right>$was einfach ist$P\left|p\right> = p\left|p\right>$.

Nimmt man das Skalarprodukt mit$\left<x\right|$und Verwenden der Positionsdarstellung von$P = -i\hbar\nabla$wir erhalten folgende gleichung:

Wo$p(x) = \left<x\right|\left|p\right>$

Wenn Sie diese Gleichung lösen, finden Sie$p(x) = Ae^{ip/\hbar x}$

Wenn wir schließlich die Hermitizitätseigenschaften des Skalarprodukts verwenden und unser ursprüngliches Integral wieder einsetzen, erhalten wir:

Die Konstante$A$wird angenommen$\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}$willkürlich, um die übliche Form der Fourier-Transformation zu erhalten. Dies liegt daran, dass seit der Positionsdarstellung der$p$Eigenvektoren können nicht normiert werden, diese Konstante$A$ist willkürlich.

Im Allgemeinen nimmt eine Fourier-Transformation Funktionen an einer Gruppe an$G$, oder ein Leerzeichen$X$auf welche$G$handelt, und zerlegt sie in Bezug auf Charaktere der Gruppe, wie z$\chi : G \to S^1$, und die Koeffizienten der Zerlegung sind in der transformierten Funktion im Pontryagin-Dual kodiert$\hat G$von$G$.

Nun zum euklidischen Raum,$\mathbb R^n$, können wir das Pontryagin-Dual identifizieren$\hat{ \mathbb{R}}^n$mit sich. Insbesondere ist es eine lokal kompakte Gruppe mit$\mathbb R^n$, identifizieren$\xi \in \mathbb R^n$als die Frequenz, für die$x \to \xi \cdot x.$Das Pontryagin-Dual ist im Allgemeinen die Gruppe aller Charaktere von$G$.

Im Allgemeinen ist die Fourier-Transformation für$f \in L^1(G)$wird gegeben von,

Wo$d\mu$ist das Haar-Maß. Spezialisiert man sich nun auf den vorgenannten Fall, hat man

Wenn wir den Definitionsbereich von interpretieren$f$als Zeit, dann liegt der entsprechende Bereich der Transformation im Frequenzraum. Für die Position hat man Impulsraum. Das können wir nehmen$\psi(x)$Zu$\hat \psi(p)$ist nicht exklusiv für die Wellenfunktion, sondern kann an jeder geeigneten Funktion durchgeführt werden.

Noch ein Check: im Exponential hat man$e^{-i\omega t}$und so kann man ableiten$\omega$Dimensionen der Häufigkeit hat, damit das Argument dimensionslos ist. Nun, für die Position würden Sie so etwas bekommen wie$[L]^{-1}$das ist eigentlich der Wellenvektor$k$, Aber$p = \hbar k$und so können wir die Fourier-Transformation entweder durch den Wellenvektor oder den Impuls ausdrücken.

Wir arbeiten normalerweise auch in natürlichen Einheiten, in denen$\hbar = 1$und so verwenden wir entweder austauschbar.

Zuerst brauchen wir einige Definitionen der Konzepte, mit denen wir uns befassen werden: die Orts- und Impulsdarstellungen. Die Orts- und Impulsoperatoren erfüllen die Kommutierungsrelation:

Eine Darstellung dieser Algebra über dem Hilbert-Raum$L^2\left(\mathbb{R}\right)$, die Positionsdarstellung, ist gegeben durch$(Xf)(x)=x\,f(x)$Und$Pf=-i\hbar f'$. Die Impulsdarstellung ist ähnlich, nur vertauscht$X$Und$P$(und ein Vorzeichen ändern), um zu erhalten$(Pf)(p)=p\,f(p)$Und$Xf=i\hbar f'$.

Warum verwenden wir diese Definitionen? Nun, es ist sinnvoll, die Positionsdarstellung diejenige zu nennen, für die der Positionsoperator als Multiplikation mit dem Argument der Funktion fungiert, da dieses Argument dann als Position interpretiert wird. Dasselbe passiert für die Impulsdarstellung. In diesem Fall kann das Argument der Funktionen als Impuls interpretiert werden, als$P$wirkt als Multiplikation damit.

Jetzt können wir uns der Frage stellen. Die Aussage ist, dass die Fourier-Transformation Funktionen in der Ortsdarstellung in die Impulsdarstellung überführt. Um es zu beweisen, lassen Sie$f$eine Funktion in der Ortsdarstellung sein und beobachte das