Erwarteter Impuls im Grundzustand des Elektrons im HH\rm H-Atom

Ich will rechnen ⟨ P X ⟩ Und ⟨ P X 2 ⟩ für das Elektron im Grundzustand H Atom.

Radiale Funktion

ψ ( R ) = A e − R / A
Impulsoperator in 3D:
P → ^ = ℏ ich ( ∂ ∂ X , ∂ ∂ j , ∂ ∂ z ) = ℏ ich ∇
Impulsoperator 1D:
P ^ X = ℏ ich D D X ⟨ P X ⟩ = ∫ v ψ ∗ ( R ) ∗ P ^ X ∗ ψ ( R ) D v
Intuitiv, ⟨ P X ⟩ = 0 aber wie berechne ich das? Soll ich den Operator gegen einen in Kugelkoordinaten ausgedrückten oder etwas anderes ändern? Und für ⟨ P X 2 ⟩ Ich würde einfach den Impulsoperator quadrieren und ihn stattdessen verwenden.

Das Integral ist wirklich nicht so schwer in kartesischen Koordinaten zu berechnen, was genau ist die Schwierigkeit, mit der Sie konfrontiert sind?
Die Schwierigkeit, die ich habe, ist, dass mein Operator in xyz-Koordinaten ist, aber meine Funktion ist radial abhängig von (r). Also wie kann ich es berechnen. Oder kann ich einfach r = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) verwenden, um es in der radialen Funktion zu ersetzen, das Integral zu konstruieren und es zu berechnen?
Verwenden Sie die Kettenregel, um die Ableitung von psi(r(x)) zu bilden, das ist einfacher als das Ersetzen R . Sie benötigen die Kettenregel für Funktionen mit mehr als einer Variablen.
Aua, schade um das ∇ ist es natürlich nicht. Aber könnten Sie @EmilioPisanty mir bitte bei dem Problem helfen? Ich bin immer noch darin verloren.

Antworten (1)

Für einen kugelsymmetrischen Zustand:

  • ⟨ P X ⟩ = 0 durch Paritätssymmetrie. Dies kann rigoros bewiesen werden, indem Variablen geändert werden R → ↦ − R → und die Angabe des Erwartungswerts muss sowohl das Vorzeichen wechseln als auch unverändert bleiben.
  • Alle drei Quadratkomponenten, ⟨ P X 2 ⟩ , ⟨ P j 2 ⟩ Und ⟨ P z 2 ⟩ , muss also gleich sein ⟨ P X 2 ⟩ = 1 3 ⟨ P 2 ⟩ . Letzteres kann direkt unter Verwendung des sphärischen Koordinatenausdrucks für den Laplace berechnet werden.

Der Rest der Arbeit liegt bei Ihnen.

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