Wie wirkt der Impulsoperator auf Zustands-Kets?

Meiner Meinung nach, Manipulationen mit$\hat p$und Positions-BHs und Kets werden am einfachsten gemacht, indem man die Wirkung von berücksichtigt$\hat p$auf die Position BHs , die einfach ist

$$\boxed{ \vphantom{\begin{array}{}make\\the box\\taller\end{array}} \quad\,\,\, \langle x|\hat p=-i\hbar\frac{\text d}{\text dx}\langle x|. \quad\,\,\,} \tag 1$$

Sie können dies leicht erhalten, indem Sie das für jeden Staat sehen$|\psi\rangle$mit Ortsdarstellung Wellenfunktion$\psi(x)=\langle x|\psi\rangle$ergibt die Wirkung des Impulsoperators auf den Zustand eine Ableitung der Wellenfunktion. Das ist,

$$\langle x|\hat p|\psi\rangle =-i\hbar\frac{\text d}{\text dx}\langle x|\psi\rangle.$$ Da diese Gleichung für alle Zustände gilt $|\psi\rangle\in\mathcal H$, können Sie "abbrechen $|\psi\rangle$out". (Eher technisch, da die Wirkung der BHs $\langle x|\hat p$und $-i\hbar\frac{\text d}{\text dx}\langle x|$für alle Vektoren gleich ist, müssen sie als lineare Funktionale gleich sein.)

Es gibt schon viele gute Antworten. Diese Antwort ist im Grunde eine erweiterte Version der Antwort von Emilio Pisanty.

1. Beginnen wir mit der Erinnerung an die Standardkonvention zum Schreiben der Positionswellenfunktion

   $$\psi(x)~=~\langle x | \psi \rangle \tag{1}$$ als Überlappung mit einem Positions-BH-Zustand$\langle x |$.

2. Das CCR

   $$[\hat{x},\hat{p}]~=~i\hbar{\bf 1}\tag{2}$$ ist das erste Prinzip der kanonischen Quantisierung.

3. Die Position Schrödinger Vertretung

   $$\hat{x}~=~x , \qquad \hat{p}~=~\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x},\tag{3}$$ ist die häufigste Darstellung des CCR (2), obwohl sie bei weitem nicht einzigartig ist, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. Siehe jedoch auch das Stone-von-Neumann-Theorem .

4. Es ist wichtig zu erkennen, dass implizit verstanden wird, dass die Operatoren (3) auf BHs wirken (im Gegensatz zu Kets ). (Siehe jedoch Gleichung (6) unten.) Daher ist es richtiger, (3) zu schreiben als

   $$\langle x |\hat{x}~=~x\langle x | , \qquad \langle x |\hat{p} ~=~\frac{\hbar}{i}\frac{\partial \langle x |}{\partial x} ~=~\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{\hbar}{i}\frac{ \langle x+\varepsilon |- \langle x |}{\varepsilon}.\tag{4}$$

5. Beachten Sie, dass die Position Schrödinger-Darstellung (4) auf BHs die CCR (2) realisiert.

   $$\begin{align}\langle x| & [\hat{x},\hat{p}]\cr ~=~& \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{\hbar}{i}\left\{ x\frac{ \langle x+\varepsilon |- \langle x |}{\varepsilon} -\frac{ ( x+\varepsilon)\langle x+\varepsilon |- x\langle x |}{\varepsilon}\right\}\cr ~=~&i\hbar \langle x | ~, \tag{5}\end{align}$$ mit dem richtigen Vorzeichen, wie es sein sollte.

6. Beachten Sie, dass die Position Schrödinger-Darstellung (4) auf BHs und die Konvention (1) die Standardformeln impliziert

$$\hat{x}\psi(x)~=~x\psi(x) , \qquad \hat{p}\psi(x) ~=~\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi(x)}{\partial x}. \tag{6}$$

7. Beachten Sie insbesondere, dass, wenn man darauf besteht, auf Kets (im Gegensatz zu BHs ) zu wirken, die Position Schrödinger-Darstellung mit dem entgegengesetzten Vorzeichen kommt: $$\hat{x}|x\rangle ~=~|x\rangle x , \qquad \hat{p}|x\rangle ~=~i\hbar\frac{\partial |x\rangle}{\partial x} ~=~\lim_{\varepsilon\to 0}i\hbar \frac{ |x+\varepsilon \rangle- | x\rangle }{\varepsilon}.\tag{7}$$

Blick auf die Frage

Ich denke, meine Frage läuft darauf hinaus: tut es$\hat p$Handeln Sie auf der Basis von Kets$|x\rangle$oder auf ihre Koeffizienten?

man kann sicher erkennen, dass man über etwas verwirrt ist, aber es ist schwieriger herauszufinden, was die Frage wirklich ist. Lassen Sie mich hier einige grundlegende Dinge wiederholen – ich bin zuversichtlich, dass Sie trotz ihres grundlegenden Charakters über eines davon verwirrt sein müssen.

Das Symbol$\hat p$ist ein Operator. Es bedeutet ein Objekt, das auf einen beliebigen Ket-Vektor einwirkt und Ihnen einen anderen (oder denselben) Ket-Vektor gibt. Die Karte muss linear sein und so weiter. So$\hat p$wirkt sicherlich auf Vektoren, nicht auf "Koeffizienten".

Wenn es andererseits auf einem Basisvektor wie z$|x\rangle$, kann das Ergebnis als lineare Kombination der Basisvektoren in derselben Basis ausgedrückt werden,

$$\hat p |x\rangle = \int dx' f_x(x') |x'\rangle$$ mit einigen Koeffizienten $f_x(x')$. Jeder Ket-Vektor und $\hat p | x \rangle$ein Ket-Vektor ist, kann in gewisser Weise unter Verwendung einer Basis ausgedrückt werden.

Also, während Sie sich identifizieren können$|x\rangle$mit der "Wellenfunktion" gleich$\psi(x'') = \delta (x''-x)$wo$x$ein fester Wert der Position ist, der eingewirkte Ket-Vektor$\hat p|x\rangle$ist über die Funktion gegeben$f_x(x')$die die Koeffizienten vor kodiert$|x'\rangle$. Diese Funktion (Speichern der Koeffizienten) ist vollständig durch die Bedeutung des Operators gegeben$\hat p$und durch den Wert von$x$und es ersetzt die Delta-Funktionscodierung$|x\rangle$selbst, also wirken Operatoren in diesem Sinne auch auf Koeffizienten. Man muss nur die Grundregeln kennen, wie sie sich verhalten etc. und dann weiß man alles!

Eine andere Sache, die Sie möglicherweise verwirrt, ist noch elementarer, was ein Derivat ist. Eine Ableitung ist kein Operator, der auf den Hilbertraum wirkt. Eine Ableitung ist eine Operation, die eine Funktion einer reellen Variablen nimmt und sie auf eine andere Funktion der reellen Variablen abbildet

$$\frac{\partial}{\partial x} : f(x)\mapsto f'(x) = \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{f(x+\varepsilon)-f(x)}{\epsilon}$$ Sie müssen sich über diese Definition eines Derivats wundern, sonst würden Sie die bedeutungslosen Ableitungen nicht in den letzten Satz schreiben. Etwas sollte im Allgemeinen von der Variablen abhängen, in Bezug auf die wir differenzieren, und dann differenzieren wir es als Funktion unter Verwendung der obigen allgemeinen Definition.

Der Kernel (oder "Matrixelemente") von$\hat p$ist

$$\langle x | \hat p | x'\rangle = -i\hbar \delta'(x-x')=f_{x'}(x)$$ was die Ableitung der Delta-Funktion ist. Es ist eine Delta-Funktion, deren Argument die Differenz der beiden Werte ist $x,x'$die den bra-Vektor und den ket-Vektor zwischen denen spezifizieren $\hat p$wurde eingeklemmt. Die Delta-Funktion ist gleich dem Skalarprodukt des Bra-Vektors $\langle x |$und der Vektor $\hat p |x\rangle$die sich aus der Aktion ergibt $\hat p$an $|x\rangle$.

Der Kernel reicht aus, um alles Mögliche zu berechnen$\hat p$und BH- und Ket-Vektoren in den$x$-Basis. Zum Beispiel können Sie meine Gleichung für den obigen Kernel mit multiplizieren$|x\rangle$von links und über integrieren$x$. Dann bekommt man (nachdem man das bemerkt hat$1$wurde auf LHS über die Vollständigkeitsrelation konstruiert)

$$\hat p |x'\rangle = \int dx (-i\hbar) \delta(x-x') |x\rangle = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}|x\rangle_{x= x'}$$ Tut mir leid, wenn irgendwo ein Vorzeichenfehler ist. Es ist sinnvoll, bzgl. zu differenzieren $x$weil das Objekt eigentlich eine Funktion von ist $x$. Wenn eine allgemeine Wellenfunktion als Kombination solcher umgeschrieben wird $|x'\rangle$Vektoren aus der LHS der obigen Gleichung über ein Integral und mit den genannten Koeffizienten $\psi(x')$, wird die obige Gleichung zur üblichen $$\hat p:\psi(x')\to -i\hbar \psi'(x')$$ in Bezug auf die Koeffizienten. Dies bedeutet nicht, dass ein linearer Operator dasselbe ist wie eine Ableitung von Funktionen. Das steht nur in der $x$-Basis, wenn auf eine allgemeine Kombination dieser Basisvektoren eingewirkt wird, transformieren sich die Koeffizienten auf diese ableitungsähnliche Weise. Aber das ist eine besondere Eigenschaft dieses speziellen Operators. Andere Betreiber, wie $\hat x$, anders handeln.

Betrachten Sie die Kommutierungsrelation$[\hat x,\hat p_x]=i\hbar$. Sein Matrixelement zwischen Zuständen$\langle x|$und$|x'\rangle$,

$$\begin{equation} \langle x|\hat x \,\hat p_x - \hat p_x\hat x|x'\rangle =i\hbar \langle x|x'\rangle , \end{equation}$$ gibt $$\begin{equation} (x-x')\langle x|\hat p_x |x'\rangle =i\hbar \delta (x-x'), \end{equation}$$ damit $$\begin{equation} \langle x|\hat p_x |x'\rangle =i\hbar \frac{\delta (x-x')}{x-x'}. \end{equation}$$ Ersetzen Sie dies durch $\langle x|\hat p_x|\psi \rangle$, wo $|\psi \rangle$ist ein beliebiger Ket-Zustand mit der Wellenfunktion $\psi (x)\equiv \langle x|\psi \rangle$, wir haben $$\begin{eqnarray} \langle x|\hat p_x|\psi \rangle &=&\int \langle x|\hat p_x|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx'\\ &=&i\hbar \int \frac{\delta (x-x')}{x-x'}\psi (x') dx'. \end{eqnarray}$$ Der einzige Beitrag zum Integral kommt von $x'$Sehr nah bei $x$, also können wir die Wellenfunktion in Taylors Reihe auf erste Ordnung erweitern, $\psi (x')\simeq \psi (x)+\psi '(x)(x'-x)$. Das gibt $$\begin{eqnarray} \langle x|\hat p_x|\psi \rangle =i\hbar \int \frac{\delta (x-x')}{x-x'}\psi (x) dx'-i\hbar \int \delta (x-x')\psi '(x)dx'=-i\hbar \frac{\partial \psi(x)}{\partial x}, \end{eqnarray}$$ wobei das erste Integral verschwindet, weil $\delta (x-x')$ist eine gerade Funktion und $1/(x-x')$ist ungerade.

Zustände sind Vektoren,$|\alpha\rangle$und die Grundlage$|x\rangle$sind Vektoren.

Die Notation$\langle x|\alpha\rangle$ist äquivalent zu$\alpha(x)$, das ist die Koordinate des Staates$|\alpha\rangle$auf der Basis$|x\rangle$,$\alpha(x)$ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude oder Wellenfunktion .

Der Betreiber$\hat p$, Anwendung auf einen Zustand oder eine Funktion abhängig von$x$, hat die Vertretung$-i \frac{\partial}{\partial x}$(wir wählen hier die Einheit$\hbar = 1$der Einfachheit halber).

So haben wir zum Beispiel:$\langle x|\hat p|x'\rangle= -i \langle x|\frac{\partial}{\partial x'}|x'\rangle = = -i\frac{\partial}{\partial x'}\langle x|x'\rangle =+i(\frac{\partial}{\partial x'}\delta)(x-x')\tag{1}$

Du hast :

$$\langle\alpha|\hat{p}|\alpha\rangle=\iint dx dx'\langle\alpha|x\rangle\langle x|\hat{p}|x'\rangle\langle x'|\alpha\rangle$$

$$=\iint dx dx'~~\alpha^*(x)~~i(\frac{\partial}{\partial x'}\delta)(x-x') ~~\alpha(x')$$

$$=\iint dx dx'~~\alpha^*(x)~~-i\delta(x-x') ~~\frac{\partial}{\partial x'}\alpha(x')\tag{2}$$

$$=\int dx~~ \alpha^*(x)~~(-i\frac{\partial}{\partial x})~~\alpha(x)$$ In $(2)$, haben wir eine partielle Integration verwendet, unter der Annahme, dass die Wellenfunktion an der Grenze ausreichend schnell abnimmt.

Die gleichung$\hat p|x\rangle = (-i\frac{\partial}{\partial x})|x\rangle$, ist richtig, aber nicht sinnvoll, weil wir keinen Ausdruck für haben$\frac{\partial}{\partial x}|x\rangle$. Eine nützlichere Gleichung bezieht sich auf Übersetzungsoperationen und lautet:$e^{-i\hat p.a}|x\rangle = |x+a\rangle$oder$\langle x |e^{i\hat p.a}=\langle x+a|$

Abschließend Blick auf den Staat$|\psi\rangle =|x_0\rangle$, die zugehörige Wellenfunktion ist$\langle x|x_0\rangle = \delta(x-x_0)$, also ist der Mittelwert des Impulses in diesem Zustand:

$$\langle\psi|\hat p|\psi\rangle\tag{3}=\int dx \delta(x-x_0) (-i\frac{\partial}{\partial x})\delta(x-x_0) = -i \delta'(0)=0$$

Dies ist leicht verständlich, denn wenn Sie die Position fixieren ($x=x_0$), ist die Unsicherheit des Impulses unendlich, daher sind alle Impulse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit autorisiert, sodass der Impulsmittelwert Null ist.

Ich würde sagen, dass ein Teil der Frage noch unbeantwortet ist. Das wäre, wie der Betreiber$\hat{p}$wirkt auf einen Zustand, der keine triviale Linearkombination der Ortseigenzustände ist.

Nehmen wir an, wir versuchen zu berechnen

$$\hat{\frac{\partial}{\partial x}}|n\rangle=\hat{\frac{\partial}{\partial x}} \int dx' \langle x'|n\rangle |x'\rangle,$$ wo$|n\rangle$ist ein Zustand, der als lineare Kombination von Zuständen dargestellt werden kann$|x\rangle$. Um die Intuition zu erfassen, können wir den Fall überprüfen $$\hat{x}|n\rangle=\hat{x} \int dx' \langle x'|n\rangle |x'\rangle,$$ wo die Antwort sehr einfach ist, wie die$|x\rangle$ist Eigenzustand der$\hat{x}$Operator mit Eigenwert$x$ $$\hat{x}|n\rangle=\int dx' \langle x'|n\rangle \hat{x}|x'\rangle = \int dx' \langle x'|n\rangle x'|x'\rangle.$$ Wenden wir die gleiche Argumentation auf den Ausgangsfall an, erhalten wir $$\hat{\frac{\partial}{\partial x}} \int dx' \langle x'|n\rangle |x'\rangle=\int dx' \langle x'|n\rangle \hat{\frac{\partial}{\partial x}}|x'\rangle=\int dx' \langle x'|n\rangle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\Big(|x'+h\rangle - |x'\rangle\Big),$$ wobei ich einfach die Definition der Ableitung eines Vektors verwendet habe. Dann trennen wir einfach das Integral in zwei Teile und definieren die Integrationsvariablen neu, damit wir den Zustand extrahieren können $$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\Big(\int dx' \langle x'|n\rangle|x'+h\rangle - \int dx' \langle x'|n\rangle|x'\rangle\Big),$$ $$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\Big(\int dx'' \langle x''-h|n\rangle|x''\rangle - \int dx' \langle x'|n\rangle|x'\rangle\Big),$$ $$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\int dx' \Big(\langle x'-h|n\rangle - \langle x'|n\rangle\Big)|x'\rangle,$$ aber dies ist die Ableitung der Koeffizienten $$=-\int dx' \Big(\frac{\partial\langle x|n\rangle}{\partial x}\Big)\Bigg|_{x = x'}|x'\rangle,$$ oder in einer vertrauteren Form mit der Wellenfunktion definiert als$\langle x|n\rangle = \psi_{n}(x)$ $$\hat{\frac{\partial}{\partial x}}|n\rangle=\hat{\frac{\partial}{\partial x}} \int dx' \psi_{n}(x') |x'\rangle = -\int dx' \psi'_{n}(x') |x'\rangle.$$ Wenn Sie also mit der räumlichen Ableitung auf einen Zustand reagieren, erhalten Sie die Ableitung einer Wellenfunktion oder mit anderen Worten die Ableitung des Koeffizienten, der Ihnen die Abbildung von einem Zustand, den Sie differenzieren, auf die Positionsbasis liefert.

Beachten Sie, dass$\hat{p}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$.

Setzen Sie dies in die angegebene Formel ein:

$$\langle p\rangle = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\langle\alpha|x\rangle\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\langle x|\alpha\rangle dx,$$

was ergibt:

$$\langle p\rangle = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\langle\alpha|x\rangle\hat{p}\langle x|\alpha\rangle dx.$$

Nun ist es ein bekanntes Ergebnis in der Quantenmechanik (Vollständigkeitsrelation), dass:

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|x\rangle \langle x|dx=1,$$

Wenn wir dies also in den Ausdruck for setzen$\langle p\rangle$wir bekommen:

$$\langle p\rangle =\langle\alpha|\hat p|\rangle\alpha,$$

was wir beweisen mussten.

Sie können auch mit beginnen

$$\langle p\rangle =\langle\alpha|\hat p|\rangle\alpha,$$

Stelle die Vollständigkeitsrelation

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|x\rangle \langle x|dx=1$$

hinein und ersetzen$\hat{p}$von$-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$.