Komplexes Konjugat des Impulsoperators

Betrachten Sie die Impulsoperatordarstellung im Ortsraum.

P ^ = − ich ∂ ∂ X   und seine Eigenfunktionen sind  e ich P X Und   e − ich P X .
P ^ e ich P X = P e ich P X
Nimmt man das komplexe Konjugierte der Gleichung,
P ^ ∗ e − ich P X = P ∗ e − ich P X
Da der Eigenwert des Impulses reell ist, P ∗ = P . Daher
P ^ ∗ e − ich P X = P e − ich P X
Nun bedenke,
− P ^ e − ich P X = P e − ich P X
Aus diesen beiden Gleichungen sehen wir das P ^ ∗ = − P ^ .\

Betrachten Sie nun die Matrixdarstellung des Impulsoperators. In der Basis der Impuls-Eigenzustände ist die Impuls-Operator-Matrix (unendlich dimensional) diagonal und die diagonalen Elemente stellen die Eigenwerte des Impuls-Operators dar, genauso wie bei anderen endlich dimensionalen Operatoren. Dies bedeutet, dass das komplexe Konjugat der P − Matrix ist P − Matrix selbst. Wir haben jedoch aus der obigen Logik gesehen, dass das komplexe Konjugierte negativ von sein sollte P − Matrix.\

Ich kann nicht sehen, wo das Problem ist!!

Antworten (4)

Die kurze Geschichte ist, dass Sie das * nicht so auf den Operator verteilen können. Sie müssen es beibehalten ( P ^ e ich P X ) ∗ = P e − ich P X Weil P ^ ist ein Operator auf einem komplexen Vektorraum, der wie eine Ableitung in der aussieht X Basis.

P ^ = − ich ∂ ∂ X ist die Darstellung des Impulsoperators in der X Grundlage, das heißt ⟨ X | P ^ | ψ ⟩ = − ich ∂ ∂ X ⟨ X | ψ ⟩ . Komplexe Konjugation ist eine Operation, die wir mit komplexen Zahlen ausführen können. Stellen wir also zuerst sicher, dass die Objekte, mit denen wir arbeiten, komplexe Zahlen sind. Das komplexe Konjugat eines inneren Produkts ist ⟨ X | ψ ⟩ ∗ = ⟨ ψ | X ⟩ . Der Betreiber P ^ ändert den Vektor | ψ ⟩ in einen anderen Vektor P ^ | ψ ⟩ = | P ψ ⟩ . Nun sieht die Einnahme des komplexen Konjugats so aus:

⟨ X | P ^ | ψ ⟩ ∗ = ⟨ X | P ψ ⟩ ∗ = ⟨ P ψ | X ⟩

Die Frage ist nun, was ist ⟨ P ψ | ? Um zu haben ⟨ ψ | ψ ⟩ = | ψ | 2 Dann ⟨ ψ | muss hermitesch adjungiert von sein | ψ ⟩ . Wenn Sie sich Kets als Spaltenvektoren, Bras als Zeilenvektoren und Operatoren als Matrizen vorstellen, dann nimmt diese Operation zusätzlich zur komplexen Konjugation die Transponierung der Operatormatrix.

Beim Arbeiten im Raum unendlich differenzierbarer Funktionen ist die Verteilung der hermiteschen Konjugation in der in der Frage dargestellten Weise korrekt. Das einzige Problem würde bei der Konjugation der Multiplikation von Operatoren auftreten, in diesem Fall wäre die einzige erforderliche Korrektur, die Reihenfolge der Operatoren im Produkt umzukehren, wie z ( A ^ B ^ ) ∗ = B ^ ∗ A ^ ∗
@Ajayu Physiker bezeichnen komplexe Konjugation mit A ^ ∗ und hermitische Konjugation durch A ^ † .
A ^ ∗ ist kohärent mit der in der Frage verwendeten Notation, die verwendet P ^ ∗ als das hermitesch Konjugierte des Impulsoperators. Obwohl es unter Physikern kein Standard ist, ist es derjenige, der ausgewählt wurde, um die Frage zu formulieren.
Ich glaube nicht, dass sich das OP des Unterschieds zwischen hermitischer Konjugation und komplexer Konjugation bewusst war, daher ist es besser, eine Unterscheidung beizubehalten.

Die komplexe Konjugation eines Operators hängt von der gewählten Basis ab. Mit anderen Worten, es gibt keine basisunabhängige Definition der komplexen Konjugation.

Das hermitesch Konjugierte wird ohne Bezugnahme auf eine Basis definiert.
@RobinEkman: Aber das komplexe Konjugat ist nicht dasselbe wie das hermitische Konjugat. Aber die Tatsache, dass das hermitesche Konjugierte nicht basisabhängig ist, kann verwendet werden, um zu zeigen, dass die komplexe Konjugation tatsächlich basisabhängig ist : Das hermitische Konjugierte ist die Kombination aus komplexem Konjugiertem und Transponiertem. Daher ist komplexes Konjugieren dasselbe wie hermitisches Konjugieren, gefolgt von Transponieren. Jetzt denke ich, dass es ziemlich offensichtlich ist, dass die Transponierung basisabhängig ist.

Es ist leicht, den Fehler zu finden, wenn Sie sich darüber im Klaren sind, dass ein Operator eine Funktion in einem Vektorraum ist, dessen Argument die Funktion rechts davon ist. Zum Beispiel, P ^ e ich P X = P e ich P X ist (anscheinend verwirrend) Notation für P ^ ( e ich P X ) = P e ich P X , Deshalb P ^ ∗ ( e ich P X ) = P e − ich P X . Siehe auch die Antwort von George G in Dirac-Notation.

Sie gehen davon aus, dass das hermitesche Konjugierte des Ableitungsoperators ist D / D X ist wieder die Ableitung. Das ist nicht der Fall. Das hermitesch Konjugierte von D / D X Ist − D / D X . Deshalb die ich Gibt es.

Das wurde nirgendwo vermutet!!!
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