Wie wendet man den Impulsoperator auf eine Wellenfunktion an?

Question

Wie wendet man den Impulsoperator auf eine Wellenfunktion an?

Kaschmir

Wie wenden wir den Impulsoperator auf eine Wellenfunktion an?

Wikipedia sagt

Der Impulsoperator kann in der Positionsbasis geschrieben werden als: ${ }^{[2]}$
$\hat{P} \mapsto - ich ℏ \nabla$ $\hat{\mathbf{p}}\mapsto -i \hbar \nabla$ Wo $\nabla$ ist der Gradientenoperator, $\hbar$ ist die reduzierte Planck-Konstante, und $i$ ist die imaginäre Einheit.

Bedeutet dies das

- ich ℏ \nabla ψ = - ich ℏ (\hat{ich} \frac{\partial}{\partial X} ψ + \hat{ȷ} \frac{\partial}{\partial j} ψ + \hat{k} \frac{\partial}{\partial z} ψ) ?

$-i \hbar \nabla \psi=-i \hbar\left(\hat{i} \frac{\partial}{\partial x} \psi+\hat{\jmath} \frac{\partial}{\partial y} \psi+\hat{k} \frac{\partial}{\partial z} \psi\right)~?$

Ich bin mir nicht sicher, ob das richtig ist, weil ich einen Ausdruck in meinem Buch gefunden habe $\langle\mathbf{r}|\hat{\mathbf{p}}| \psi\rangle=\frac{\hbar}{i} \nabla\langle\mathbf{r} \mid \psi\rangle$ . Da ein Operator, der auf ein Ket einwirkt, ein Ket ergibt, ist die linke Seite eine Klammer von $\langle r$ Und $\hat{p}|\psi\rangle$ daher ein Skalar, aber die rechte Seite gemäß der Wikipedia-Definition ist dann ein Vektor.

Kann mir bitte jemand helfen?

Mirae

Das ist richtig, so machen wir das in kartesischen Koordinaten. Sie sollten es von hier aus leicht tun können, wenn Sie mit den Gradientenoperatoren vertraut sind.

K7PEH

Wenn Sie den Wikipedia-Artikel über den Impulsoperator lesen, finden Sie die Antwort auf Ihre Frage in diesem Artikel. Hast du nicht den ganzen Artikel gelesen?

Kaschmir

@Mirae Ich habe diesen Ausdruck in meinem Buch gefunden

⟨ r | \hat{p} | ψ ⟩ = \frac{ℏ}{i} \nabla ⟨ r ∣ ψ ⟩

$\langle\mathbf{r}|\hat{\mathbf{p}}| \psi\rangle=\frac{\hbar}{i} \nabla\langle\mathbf{r} \mid \psi\rangle$ Die linke Seite ist ein Skalar, weil es eine Klammer ist und die rechte Seite dann ein Vektor ist.

Kosmas Zachos

@Kashmiri die linke Seite ist ein Hilbert-Raum-Skalar, aber ein Rotationsgruppenvektor ( unter Hinweis auf den fettgedruckten Impuls), und die rechte Seite auch! Bist du deswegen verwirrt ?

Kaschmir

@CosmasZachos, ja, ich habe qm in einer Dimension gemacht, jetzt habe ich angefangen, es in 3D zu lernen. Ich habe gelernt, dass ein Operator, der auf ein Ket einwirkt, ein Ket gibt, also wird die linke Hand ein Ket von sein

⟨ r

$\langle r$ Und

\hat{p} | ψ ⟩

$\hat{p}|\psi\rangle$ daher ein Skalar. Die rhs ist jedoch ein Vektor, da sie einen Gradientenoperator enthält.

Kosmas Zachos

Wie gesagt, es gibt zwei Arten von Vektoren : Zustands- und Rotationsvektoren!

Tobias Fünke

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Wie wendet man den Impulsoperator auf eine Wellenfunktion an?

Das ist richtig, so machen wir das in kartesischen Koordinaten. Sie sollten es von hier aus leicht tun können, wenn Sie mit den Gradientenoperatoren vertraut sind.
Wenn Sie den Wikipedia-Artikel über den Impulsoperator lesen, finden Sie die Antwort auf Ihre Frage in diesem Artikel. Hast du nicht den ganzen Artikel gelesen?
@Mirae Ich habe diesen Ausdruck in meinem Buch gefunden $\langle\mathbf{r}|\hat{\mathbf{p}}| \psi\rangle=\frac{\hbar}{i} \nabla\langle\mathbf{r} \mid \psi\rangle$ Die linke Seite ist ein Skalar, weil es eine Klammer ist und die rechte Seite dann ein Vektor ist.
@Kashmiri die linke Seite ist ein Hilbert-Raum-Skalar, aber ein Rotationsgruppenvektor ( unter Hinweis auf den fettgedruckten Impuls), und die rechte Seite auch! Bist du deswegen verwirrt ?
@CosmasZachos, ja, ich habe qm in einer Dimension gemacht, jetzt habe ich angefangen, es in 3D zu lernen. Ich habe gelernt, dass ein Operator, der auf ein Ket einwirkt, ein Ket gibt, also wird die linke Hand ein Ket von sein $\langle r$ Und $\hat{p}|\psi\rangle$ daher ein Skalar. Die rhs ist jedoch ein Vektor, da sie einen Gradientenoperator enthält.
Wie gesagt, es gibt zwei Arten von Vektoren : Zustands- und Rotationsvektoren!

Kosmas Zachos · Answer 1

Kosmas Zachos

Ich spreche aus meiner Sicht den Kern Ihrer Verwirrung an. Dein "?" Ausdruck ist in Ordnung.

Diesen Ausdruck habe ich in meinem Buch ⟨𝐫|𝐩̂|𝜓⟩=-ℏ𝑖∇⟨𝐫∣𝜓⟩ gefunden. Die linke Seite ist ein Skalar, weil es ein BH ist | ket und die rhs ist dann ein Vektor.

Vektor bedeutet in diesem Zusammenhang zwei verschiedene Dinge: Ein Ket ist ein Hilbert-Raumvektor, möglicherweise unendlich dimensional, der sich unter Operatoren transformiert $\hat O$ , während ein Skalarprodukt davon mit einem BH einen Hilbert-Raum-Skalar ergibt.

Ganz anders jedoch ist ein Rotationsvektor ein Triplett, das sich unter der 3d-Rotationsgruppe, einer 3×3-Rotationsmatrix, transformiert. Ein Rotationsskalar ändert sich unter einer solchen Rotation nicht.

Also dann, $\langle {\mathbf r}| \hat x |\psi\rangle = x \langle {\mathbf r}|\psi\rangle$ ein HS-Skalar ist; und so ist $\langle {\mathbf r}| \hat y |\psi\rangle = y \langle {\mathbf r}|\psi\rangle$ Und $\langle {\mathbf r}| \hat z |\psi\rangle = z \langle {\mathbf r}|\psi\rangle$ . Das Triplett dieser drei HS-Skalare bildet einen Rotationsvektor,

⟨ R | \hat{R} | ψ ⟩ = R ⟨ R | ψ ⟩,

$\langle {\mathbf r}| \hat {\mathbf r} |\psi\rangle = {\mathbf r} \langle {\mathbf r}|\psi\rangle,$ einfach weil diese drei HS-Skalare unter einer 3D-Raumdrehung ineinander rotieren, wie die Komponenten eines klassischen Vektors. Beide Seiten sind also HS-Skalare und Rotationsvektoren.

Dies können Sie nun mit den drei kartesischen Komponenten des Impulsoperators wiederholen, $\langle {\mathbf r}| \hat p_x |\psi\rangle = -i\hbar \partial_x \langle {\mathbf r}|\psi\rangle$ , usw., die sich wieder zu dem 3-Vektorausdruck stapeln, den Sie in Townsends Buch gesehen haben, ⟨𝐫|𝐩̂|𝜓⟩=-ℏ𝑖∇⟨𝐫∣𝜓⟩, wieder ein Triplett von HS-Skalaren, die sich wie ein Vektor unter 3D-Rotationen transformieren. Die HS-Vektoren, die in diese Skalare eingingen, sind hier unendlichdimensional, was daran ersichtlich ist, dass die kontinuierlichen Gradienten auf sie einwirken.

⟨ R | \hat{P} | ψ ⟩ \equiv ⟨ R | (\begin{matrix} {\hat{P}}_{X} \\ {\hat{P}}_{j} \\ {\hat{P}}_{z} \end{matrix}) | ψ ⟩ = - ich ℏ (\begin{matrix} \partial_{X} \\ \partial_{j} \\ \partial_{z} \end{matrix}) ψ (R) \equiv - ich ℏ \nabla ψ (R) .

$\langle {\mathbf r}| \hat {\mathbf p}|\psi\rangle \equiv \langle {\mathbf r}|\begin{pmatrix} \hat p_x \\ \hat p_y \\ \hat p_z \end{pmatrix} |\psi\rangle= -i\hbar \begin{pmatrix} \partial_x \\ \partial_y \\ \partial_z \end{pmatrix} \psi ({\mathbf r})\equiv -i\hbar \nabla \psi ({\mathbf r}).$

NB Der korrekte Ausdruck für den Impulsoperator in der Koordinatendarstellung ist eigentlich

\hat{P} = - ich ℏ \int D^{3} R | R ⟩ \nabla ⟨ R |,

$\hat {\mathbf p}= -i\hbar \int\!\! d^3 {\mathbf r} ~ |{\mathbf r}\rangle \nabla \langle {\mathbf r}|,$ ein Hilbert-Raumoperator und Rotationsvektor, da er fett gedruckt ist . Der nichtssagende Ausdruck in Ihrem Kommentar entspricht nicht dem korrekten Ausdruck von Townsend!

Kaschmir

Unter Verwendung des Tensorproduktformalismus, in dem

\hat{P} | ψ ⟩ = ({\hat{P}}_{x} \otimes 1 \otimes 1) | ψ ⟩ + \dots

$\hat{P}|\psi\rangle=\left(\hat{P}_{x} \otimes \mathbb{1} \otimes \mathbb{1}\right)|\psi\rangle+\ldots$ ich fand

⟨ R | \hat{P} | ψ ⟩ = (\frac{ℏ}{ich} \frac{\partial}{\partial X} ψ + \frac{ℏ}{ich} \frac{\partial}{\partial j} ψ + \frac{ℏ}{ich} \frac{\partial}{\partial z} ψ) .

$\langle r|\hat{P}| \psi\rangle=\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \psi+\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial y} \psi+\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial z} \psi\right).$ . Dies enthält keine räumlichen Einheitsvektoren. Aber in Townsends Quantenmechanik sagt er das

⟨ R | \hat{P} | ψ ⟩ = \frac{ℏ}{ich} \nabla ⟨ R ∣ ψ ⟩

$\langle\mathbf{r}|\hat{\mathbf{p}}| \psi\rangle=\frac{\hbar}{i} \nabla\langle\mathbf{r} \mid \psi\rangle$ Dies hat einen räumlichen Einheitsvektor

Kosmas Zachos

Was Sie gefunden haben, ist sehr falsch. Sie sollten die drei Komponenten des raumartigen Vektors niemals auf der linken Seite addieren. Sie sollten sie in einem Rotationsvektor anordnen, den Townsend angibt. Es ist fett gedruckt. Verstehen Sie, was es bedeutet?

Kaschmir

Aber

⟨ R | \hat{P} | ψ ⟩ = (\frac{ℏ}{ich} \frac{\partial}{\partial X} ψ + \frac{ℏ}{ich} \frac{\partial}{\partial j} ψ + \frac{ℏ}{ich} \frac{\partial}{\partial z} ψ)

$\langle r|\hat{P}| \psi\rangle=\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \psi+\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial y} \psi+\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial z} \psi\right)$ Folgt aus

\hat{P} | ψ ⟩ = ({\hat{P}}_{X} \otimes 1 \otimes 1) | ψ ⟩ + \dots

$\hat{P}|\psi\rangle=\left(\hat{P}_{x} \otimes \mathbb{1} \otimes \mathbb{1}\right)|\psi\rangle+\ldots$

Kosmas Zachos

Ihr unfett

\hat{P}

$\hat P$ ist sinnloser Unsinn, wie ich erklärt habe. Ich habe erklärt, dass Sie einen fettgedruckten Rotationsvektor benötigen

\hat{p}

$\hat {\mathbf p}$ , stattdessen. Hören Sie auf, bedeutungslose Symbole zu verwenden. Townsend nicht, und ich nicht, und Sie sollten es nicht tun.

Kosmas Zachos

Ihr unfettes 𝑃̂ ist bedeutungsloser, undefinierbarer Unsinn, wie ich erklärt habe. Ich habe erklärt, dass Sie stattdessen einen fettgedruckten Rotationsvektor 𝐩̂ HS-Operator benötigen. Ich habe meine Antwort aktualisiert, um Ihr Dilemma zu beheben.

Kaschmir

Danke schön. Ich verstehe, warum wir einen Rotationsvektorausdruck haben, aber ich habe immer noch Zweifel. Bitte hilf mir.

Kaschmir

Im Tensorproduktformalismus haben wir

\hat{P} | ψ ⟩ = ({\hat{P}}_{X} \otimes 1 \otimes 1) | ψ ⟩ + \dots

$\hat{\mathbf p}|\psi\rangle=\left(\hat{P}_{x} \otimes \mathbb{1} \otimes \mathbb{1}\right)|\psi\rangle+\ldots$ Wenn dieser Schritt richtig ist, folgt daraus

⟨ R | \hat{P} | ψ ⟩ = (\frac{ℏ}{ich} \frac{\partial}{\partial X} ψ + \frac{ℏ}{ich} \frac{\partial}{\partial j} ψ + \frac{ℏ}{ich} \frac{\partial}{\partial z} ψ)

$\langle {\mathbf r}|\hat{\mathbf p}| \psi\rangle=\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \psi+\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial y} \psi+\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial z} \psi\right)$ was du gesagt hast ist falsch. Was ist bei dieser Ableitung schief gelaufen?

Kosmas Zachos

Ihr Ausgangspunkt ist falsch: Es ist keine Summe von drei Termen, sondern ein Vektor mit diesen als Komponenten; die ich geschrieben habe.

Kaschmir

Kann ich also schreiben

\begin{aligned} \hat{P} & = {\hat{e}}_{X} ({\hat{P}}_{X} \otimes 1 \otimes 1) \\ + {\hat{e}}_{j} (1 \otimes {\hat{P}}_{j} \otimes 1) \\ + {\hat{e}}_{z} (1 \otimes 1 \otimes {\hat{P}}_{z}) \end{aligned}

$\begin{aligned} \hat{\mathbf p} &=\hat{e}_{x}\left(\hat{p}_{x} \otimes \mathbb{1} \otimes \mathbb{1}\right) \\ &+\hat{e}_{y}\left(\mathbb{1} \otimes \hat{p}_{y} \otimes \mathbb{1}\right) \\ &+\hat{e}_{z}\left(\mathbb{1} \otimes \mathbb{1} \otimes \hat{p}_{z}\right) \end{aligned}$

Kosmas Zachos

Ja, grundsätzlich. Beachten Sie jedoch, dass die ersten Caretzeichen einen Einheitsrotationsvektor und die zweite einen HS-Operator bedeuten, da andere Sie gewarnt haben. Ich verstehe, was du meinst, aber die meisten Leser schrecken zurück!

Kaschmir

Wenn

\begin{aligned} \hat{P} & = {\hat{e}}_{X} ({\hat{P}}_{X} \otimes 1 \otimes 1) \\ + {\hat{e}}_{j} (1 \otimes {\hat{P}}_{j} \otimes 1) \\ + {\hat{e}}_{z} (1 \otimes 1 \otimes {\hat{P}}_{z}) \end{aligned}

$\begin{aligned} \hat{\mathbf p} &=\hat{e}_{x}\left(\hat{p}_{x} \otimes \mathbb{1} \otimes \mathbb{1}\right) \\ &+\hat{e}_{y}\left(\mathbb{1} \otimes \hat{p}_{y} \otimes \mathbb{1}\right) \\ &+\hat{e}_{z}\left(\mathbb{1} \otimes \mathbb{1} \otimes \hat{p}_{z}\right) \end{aligned}$ was ist dann

{\hat{P}}^{2} | ψ ⟩

$\hat{\mathbf p}^2|\psi\rangle$ ?

Kosmas Zachos

Nun, das Quadrat eines fettgedruckten Vektors ist ein Skalaroperator , was die Rotation angeht, also

⟨ r | {\hat{p}}^{2} | ψ ⟩ = - ℏ^{2} \nabla^{2} ψ (r)

$\langle {\mathbf r}| \hat {\mathbf p}^2 |\psi\rangle = -\hbar^2 \nabla^2 \psi({\mathbf r})$ . Die Positionseinheitsvektoren verschwinden.

Kaschmir

So ist es richtig zu schreiben

\begin{aligned} \hat{p} . \hat{p} & = [{\hat{e}}_{x} ({\hat{p}}_{x} \otimes 1 \otimes 1) \\ + {\hat{e}}_{y} (1 \otimes {\hat{p}}_{y} \otimes 1) \\ + {\hat{e}}_{z} (1 \otimes 1 \otimes {\hat{p}}_{z})]^{2} \end{aligned}

$\begin{aligned} \hat{\mathbf p} .\hat{\mathbf p}&=[\hat{e}_{x}\left(\hat{p}_{x} \otimes \mathbb{1} \otimes \mathbb{1}\right) \\ &+\hat{e}_{y}\left(\mathbb{1} \otimes \hat{p}_{y} \otimes \mathbb{1}\right) \\ &+\hat{e}_{z}\left(\mathbb{1} \otimes \mathbb{1} \otimes \hat{p}_{z}\right) ]^2\end{aligned}$

= ({\hat{p}}_{x}^{2} \otimes 1 \otimes 1) + ({\hat{p}}_{y}^{2} \otimes 1 \otimes 1) + ({\hat{p}}_{z}^{2} \otimes 1 \otimes 1)

$=(\hat{p}_{x}^2 \otimes 1 \otimes 1)+(\hat{p}_{y}^2 \otimes 1 \otimes 1)+(\hat{p}_{z}^2\otimes 1\otimes 1)$

Kosmas Zachos

Ja ist es. Rotationsbedingt ist dies ein Skalar. HS-weise ist es ein Operator.

Kaschmir

Vielen Dank Professor. :)

meine2cts · Answer 2

meine2cts

Das ist richtig. Ihre Notation ist jedoch nicht konsistent. Es gibt keinen Grund für einen „Hut“ darüber $\bf p$ Und $\hat P$ könnte auch ersetzt werden durch $\bf p$ .

Garyp

Ich kann mich irren, aber es scheint, als würde das OP das Karat verwenden, um einen abstrakten Operator anzuzeigen.

meine2cts

@garyp Er verwendet es auch, um einen Einheitsvektor anzuzeigen. Ich musste auch mindestens 30 Zeichen verwenden.

Kaschmir

Ich habe diesen Ausdruck in meinem Buch gefunden

⟨ r | \hat{p} | ψ ⟩ = \frac{ℏ}{i} \nabla ⟨ r ∣ ψ ⟩

$\langle\mathbf{r}|\hat{\mathbf{p}}| \psi\rangle=\frac{\hbar}{i} \nabla\langle\mathbf{r} \mid \psi\rangle$ Die linke Seite ist ein Skalar, weil es eine Klammer ist und die rechte Seite dann ein Vektor ist.

Garyp

Der lhs sieht sozusagen wie ein "Vektor von Skalaren" aus. Ich denke, wir sind uns alle einig, dass die Notation nicht Standard ist. Ich bin gespannt: Welches Buch?

Kaschmir

@garyp, Townsend-Quantenmechanik