Warum ein Minuszeichen im Positionsoperator?

Question

Warum ein Minuszeichen im Positionsoperator?

Physik
Betreiber
Konventionen
Wellenfunktion
Fourier-Transformation
Quantenmechanik

Der Merkur79

Ich beginne damit, zu zeigen, wie ich versucht habe, den Ortsoperator analog zum Impulsoperator zu erhalten:

Differenzieren wir die Wellenfunktion in einer Dimension $\Psi(x,t) = e^{i(px-Et)/\hbar}$ , bezüglich x:

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial}{\partial X} Ψ (X, T) = \frac{ich P}{ℏ} Ψ (X, T) \end{matrix}

$\frac{\partial}{\partial x}\Psi(x,t) = \frac{ip}{\hbar}~\Psi(x,t) \tag1$

woraus wir den Impulsoperator erhalten: $\hat{p}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$

Aber angenommen, ich unterscheide $\Psi$ zum Impuls:

\begin{matrix} (2) & \frac{\partial}{\partial P} Ψ (X, T) = \frac{ich}{ℏ} (X - \frac{P}{M} T) Ψ (X, T) \end{matrix}

$\frac{\partial}{\partial p}\Psi(x,t) = \frac{i}{\hbar}(x-\frac{p}{m}t)~\Psi(x,t) \tag2$

was gibt $x-\frac{p}{m}t = -i\hbar\frac{\partial}{\partial p}$

Nun, Einstellung $t=0$ , ich nehme an, wir würden den Operator bekommen

{\hat{X}}_{0} = - ich ℏ \frac{\partial}{\partial P}

$\hat x_0 = -i\hbar\frac{\partial}{\partial p}$ Das wäre so etwas wie ein Operator für die Anfangsposition. Aber es sieht nicht richtig aus, weil ich weiß, dass der Positionsoperator kein Minuszeichen hat. Und gibt es überhaupt so etwas wie einen „Anfangsstellungsoperator“?

Also, was ist daran falsch? Ich frage deshalb, weil ich zeigen möchte, dass der Erwartungswert für Position folgende Beziehung erfüllt (nach dem Korrespondenzprinzip):

⟨ X ⟩ = {⟨ X ⟩}_{T = T_{0}} + \frac{⟨ P ⟩}{M} (T - T_{0})

$\left<x\right> = \left<x\right>_{t=t_0}+\frac{\left<p\right>}{m}(t-t_0)$

und es wurde als Hinweis gegeben, wie in zu beginnen $(2)$ und nehme es von dort. Ich weiß irgendwie, was zu tun ist, aber das Minuszeichen im Positionsoperator verwirrt mich.

Der Hinweis deutet auch darauf hin $(2)$ dazu führen soll $x = i\hbar\frac{\partial}{\partial p} + \frac{p}{m}t$ , aber irgendwie fehlt das Minuszeichen.

JEB

du bewirbst dich

d / d p

$d/dp$ zur Ortsraumwellenfunktion, die kein Eigenwert von ist

\hat{x}

$\hat x$ .

Andreas

wenn du dich ausdrücken willst

\hat{x}

$\hat{x}$ bezüglich

\frac{d}{d p}

$\frac{d}{dp}$ dann musst du umrechnen

Ψ (x)

$\Psi (x)$ Zu

Ψ (p)

$\Psi (p)$ Erste

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Warum ein Minuszeichen im Positionsoperator?

du bewirbst dich $d/dp$ zur Ortsraumwellenfunktion, die kein Eigenwert von ist $\hat x$ .
wenn du dich ausdrücken willst $\hat{x}$ bezüglich $\frac{d}{dp}$ dann musst du umrechnen $\Psi (x)$ Zu $\Psi (p)$ Erste

Roger Wadim · Answer 1

Es ist etwas subtiler, und diese Subtilität ist hier wichtig.

Die Definition eines Operators ist, dass der Operator durch Einwirkung auf eine Wellenfunktion den Erwartungswert seiner entsprechenden physikalischen Größe bestimmt :

⟨ \hat{Ö} ⟩ = \int D X Ψ (X)^{*} \hat{Ö} Ψ (X) .

$\langle \hat{O}\rangle =\int dx \Psi(x)^*\hat{O}\Psi(x).$ Daher hat der Operator ebenso wie die Wellenfunktion unterschiedliche Formen in unterschiedlichen Darstellungen.

Beginnen wir mit der Ortserwartung in der Ortsdarstellung :

⟨ X ⟩ = \int D X X | Ψ (X) |^{2} = \int D X Ψ (X)^{*} X Ψ (X) .

$\langle x\rangle = \int dx x|\Psi(x)|^2 = \int dx \Psi(x)^*x\Psi(x).$ Wir lesen den Positionsoperator aus diesem Ausdruck leicht als

\hat{X} = X .

$\hat{x}=x.$ Der Impulsoperator in dieser Darstellung ist gegeben durch

\hat{p} = - i ℏ \partial_{x}

$\hat{p}=-i\hbar\partial_x$ , wie man verifizieren kann, indem man seine Wirkung auf einen Zustand mit einem bestimmten Impuls betrachtet:

ψ_{P} (X) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{ich \frac{P X}{ℏ}} .

$\psi_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i\frac{px}{\hbar}}.$ Beachten Sie, dass das Minuszeichen in diesem Operator eine Frage der Konvention ist: Wenn wir ebene Wellen als definiert haben

ψ_{p} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- i \frac{p x}{ℏ}}

$\psi_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i\frac{px}{\hbar}}$ , müssten wir wählen

\hat{p} = i ℏ \partial_{x}

$\hat{p}=i\hbar\partial_x$ .

Betrachten wir nun die Impulsdarstellung . Die Wellenfunktion in der Impulsdarstellung ist uns gegeben durch

Φ (P) = \int D X ψ_{P} (X)^{*} Ψ (X) .

$\Phi(p)= \int dx \psi_p(x)^*\Psi(x).$ Jetzt

| Φ (p) |^{2}

$|\Phi(p)|^2$ ist die Wahrscheinlichkeitsdichte für Impulszustände und der Impulsoperator ist einfach

\hat{p} = p

$\hat{p}=p$ , wie folgt aus

⟨ P ⟩ = \int D P P | Φ (P) |^{2} = \int D P Φ (P)^{*} P Φ (P) .

$\langle p\rangle = \int dp p|\Phi(p)|^2 = \int dp \Phi(p)^*p\Phi(p).$ Für den Positionsoperator haben wir

⟨ X ⟩ = \int D P Φ (P)^{*} \hat{X} Φ (P) = \int D P \int D X Ψ (X)^{*} ψ_{P} (X) \hat{X} \int D X^{'} ψ_{P} (X^{'})^{*} Ψ (X) = \int D X Ψ (X)^{*} X Ψ (X),

$\langle x\rangle = \int dp \Phi(p)^*\hat{x}\Phi(p)= \int dp \int dx \Psi(x)^*\psi_p(x)\hat{x}\int dx'\psi_p(x')^*\Psi(x) = \int dx \Psi(x)^*x\Psi(x),$ wobei der Positionsoperator so definiert werden muss, dass

\int D P ψ_{P} (X) \hat{X} ψ_{P} (X^{'})^{*} = \frac{1}{2 π} \int D P e^{ich \frac{P X}{ℏ}} \hat{X} e^{- ich \frac{P X}{ℏ}} X δ (X - X^{'}) .

$\int dp \psi_p(x)\hat{x}\psi_p(x')^* = \frac{1}{2\pi}\int dp e^{i\frac{px}{\hbar}}\hat{x}e^{-i\frac{px}{\hbar}} x\delta(x-x').$ Wählen

\hat{x} = i ℏ \partial_{p}

$\hat{x} = i\hbar\partial_p$ wir erfüllen diese Bedingung. Das Vorzeichen des Ortsoperators unterscheidet sich vom Vorzeichen des Impulsoperators. Wenn wir, wie ich eingangs erwähnt habe, die ebene Welle mit Impuls definieren würden

p

$p$ als

e^{- i \frac{p x}{ℏ}}

$e^{-i\frac{px}{\hbar}}$ , wären die Vorzeichen beider Operatoren unterschiedlich.

Zusammenfassen:

In der Positionsdarstellung: $\hat{x}=x, \hat{p}=-i\hbar\partial_x$ .
In der Impulsdarstellung: $\hat{x}=i\hbar\partial_p, \hat{p}=p$
Die Vorzeichen vor den Ableitungen in den obigen Ausdrücken sind immer entgegengesetzt, hängen aber davon ab, wie wir die ebene Welle mit bestimmtem Impuls definieren.

Hulkster · Answer 2

Die Orts- und Impulsverteilungen sind durch die Fourier-Transformation verbunden: $\frac{1}{(2\pi)^{1/2}}\exp(ixp /\hbar)$ ist der Basisvektor im Ortsraum und $\frac{1}{(2\pi)^{1/2}}\exp(-ixp /\hbar)$ ist der Basisvektor im Impulsraum.

Beachten Sie die folgenden Beziehungen aus der Fourieranalyse und der Quantenmechanik:

- ich \frac{D}{D X} F (X) = \frac{1}{(2 π)^{1 / 2}} \int_{R^{3}} k G (k) \exp (ich X k) D k

$-i\frac{d}{d x}f(x)=\frac{1}{(2\pi)^{1/2}}\int_{\mathbb{R^3}}kg(k)\exp(ixk)dk$ Und

P = ℏ k .

$p=\hbar k.$

Nun kann man das übliche Erwartungswertintegral für Impuls im Impulsraum bilden und in den Ortsraum übersetzen.

Karl Franz · Answer 3

Die wohl klarste Möglichkeit, das Ergebnis zu überprüfen, besteht darin, den Operator explizit in ket-Notation in Bezug auf die Impulsbasis zu schreiben (mit $\hbar=1)$

X = \int D^{3} P | P ⟩ ich \frac{\partial}{\partial P} ⟨ P |

$X = \int d^3p |p\rangle i\frac \partial{\partial p} \langle p|$ und wenden Sie dies auf einen Positionszustand an

\begin{aligned} X | X ⟩ & = \int D^{3} P | P ⟩ ich \frac{\partial}{\partial P} ⟨ P | X ⟩ \\ = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int D^{3} P | P ⟩ ich \frac{\partial}{\partial P} e^{- ich P \cdot X} \\ = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int D^{3} P | P ⟩ X e^{- ich P \cdot X} \\ = X \int D^{3} P | P ⟩ ⟨ P | X ⟩ \\ = X | X ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} X|x\rangle &= \int d^3p |p\rangle i\frac \partial{\partial p} \langle p|x\rangle \\ & = \frac 1{(2\pi)^{3/2}}\int d^3p |p\rangle i\frac \partial{\partial p} e^{-ip\cdot x}\\ & = \frac 1{(2\pi)^{3/2}}\int d^3p |p\rangle x e^{-ip\cdot x}\\ & = x \int d^3p |p\rangle \langle p|x\rangle\\ & = x |x\rangle\\ \end{align}$ wo die Auflösung der Einheit

1 = \int D^{3} P | P ⟩ ⟨ P |

$1 = \int d^3 p|p\rangle \langle p|$ wurde verwendet. Es ist ersichtlich, dass das Minuszeichen vom Konjugierten kommt,

⟨ p | x ⟩

$\langle p|x\rangle$ statt

⟨ x | p ⟩

$\langle x|p\rangle$ , wie wir es für den Impulsoperator hätten. Allgemeiner kann der Positionsoperator geschrieben werden

X = \int D^{3} X | X ⟩ X ⟨ X |

$X = \int d^3x |x\rangle x \langle x|$ Dann

\begin{aligned} X & = \int D^{3} P \int D^{3} Q \int D^{3} X | P ⟩ ⟨ P | X ⟩ X ⟨ X | Q ⟩ ⟨ Q | \\ = \frac{1}{(2 π)^{3}} \int D^{3} P \int D^{3} Q \int D^{3} X | P ⟩ e^{- ich P \cdot X} X e^{ich Q \cdot X} ⟨ Q | \\ = \frac{1}{(2 π)^{3}} \int D^{3} P \int D^{3} Q \int D^{3} X | P ⟩ ich \frac{\partial}{\partial P} e^{ich (Q - P) \cdot X} ⟨ Q | \\ = \int D^{3} P \int D^{3} Q | P ⟩ ich \frac{\partial}{\partial P} δ (Q - P) ⟨ Q | \\ = \int D^{3} P | P ⟩ ich \frac{\partial}{\partial P} ⟨ P | \end{aligned}

$\begin{align} X &= \int d^3 p \int d^3 q \int d^3x |p\rangle \langle p|x\rangle x \langle x |q\rangle \langle q|\\ &= \frac 1{(2\pi)^{3}}\int d^3 p \int d^3 q\int d^3x |p\rangle e^{-ip\cdot x}x e^{iq\cdot x} \langle q|\\ &= \frac 1{(2\pi)^{3}}\int d^3 p \int d^3 q\int d^3x |p\rangle i \frac\partial{\partial p} e^{i(q-p)\cdot x} \langle q|\\ &= \int d^3 p \int d^3 q |p\rangle i \frac\partial{\partial p} \delta (q-p) \langle q|\\ &= \int d^3 p |p\rangle i \frac\partial{\partial p} \langle p|\\ \end{align}$

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