Warum wird irgendein Operator durch diese charakteristische Funktion spezifiziert?

Die charakteristische oder erzeugende Funktion in quantenmechanischen Systemen ist die nichtkommutative Verallgemeinerung des entsprechenden Konzepts der klassischen Wahrscheinlichkeit.

Betrachten wir die folgende klassische Situation (diese kann auf viele Arten verallgemeinert werden, aber es ist zweckmäßig, hier bei einem einfachen Beispiel zu bleiben). Lassen$\mu$eine Wahrscheinlichkeit (Maß) sein, die auf einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum wirkt$V$. Seine charakteristische Funktion oder Fourier-Transformation,$\hat{\mu}$ist als Funktion aus dem Dual definiert$V'$von$V$zu den komplexen Zahlen wie folgt: für alle$\omega\in V'$,

$$\hat{\mu}(\omega)=\int_V e^{i\omega(v)}\mathrm{d}\mu(v)\; .$$

Die Funktion$\hat{\mu}(\cdot)$hat folgende Eigenschaften: es ist stetig,$\hat{\mu}(0)=\mu(V)=1$, und es ist positiv-definit: für alle$N\in\mathbb{N}$,$\{\alpha_i\}_{i=1}^N\subset \mathbb{C}$, Und$\{\omega_i\}_{i=1}^N\subset V'$

$$\sum_{i,j=1}^N \alpha_i\bar{\alpha}_j \hat{\mu}(\omega_i-\omega_j)\geq 0\; .$$

Der Satz von Bochner sagt uns das tatsächlich

Es gibt eine Bijektion zwischen Wahrscheinlichkeiten an$V$und stetige Funktionen ein$V'$die positiv-definit sind und den Wert eins zu null haben; eine solche Bijektion ist genau die Fourier-Transformation.

Daher identifiziert (charakterisiert) die Fourier-Transformation eindeutig eine Wahrscheinlichkeit.

In der Quantenmechanik gibt es ein vollkommen analoges nichtkommutatives Ergebnis. Betrachten wir die Algebra kanonischer Vertauschungsbeziehungen, die über dem endlichdimensionalen realen symplektischen Raum konstruiert wird$(S,\sigma)$. Es ist gut bekannt, dass$(S,\sigma)\cong (\mathbb{R}^{2d},\omega)\cong (\mathbb{C}^d_{\mathbb{R}},\Im \langle \cdot,\cdot\rangle)$, Wo$\omega$ist die symplektische Standardform,$\langle \cdot,\cdot\rangle$das komplexe Skalarprodukt und$\mathbb{C}^d_{\mathbb{R}}$ist der Raum$\mathbb{C}^d$als reeller Vektorraum betrachtet. Mit anderen Worten, es ist möglich, die Variablen, auf denen man die Algebra der kanonischen Vertauschungsbeziehungen konstruiert, als Ort und Impuls zu sehen$(q',p')\in \mathbb{R}^{2d}$oder als komplexe Variable$z\in \mathbb{C}^d$(und sein komplexes Konjugat).

Die regulären Zustände der Algebra kanonischer Vertauschungsrelationen sind die Zustände, die in der üblichen Schrödinger-Darstellung als Dichtematrizen geschrieben werden können. Mit anderen Worten, sie sind (positive) Operatoren der Spurklasse (von Spur eins), die nur von den kanonischen Quantenvariablen abhängen, dh den Orts- und Impulsoperatoren oder äquivalent den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. Diese Operatoren$\rho(a^*,a)$sind nichtkommutative Wahrscheinlichkeiten in der Quantentheorie. Lassen Sie mich anmerken, dass sie, da sie Trace-Klassen sind, genommen werden können und einen endlichen Wert haben, und dass sie positive Operatoren sind. Die Tatsache, dass ihre Spur eins ist, ist nicht wichtig, und tatsächlich könnte alles für positive Spurklassenoperatoren mit beliebiger Spur getan werden.

Lassen Sie jetzt$\rho(a^*,a)$sei eine nichtkommutative Wahrscheinlichkeit. Die Rolle, die der Charakter spielt$e^{i\omega(v)}$in einer kommutativen Theorie wird vom Weyl-Operator gespielt$e^{a^*(z)-a(z)}$,$z\in \mathbb{C}^d$in der Quantenmechanik. Daher ist es naheliegend, die charakteristische Funktion oder nichtkommutative Fourier-Transformation in der Quantenmechanik wie folgt zu definieren :

$$\hat{\rho}(z)=\mathrm{Tr}\{\,\rho(a^*,a)\, e^{a^*(z)-a(z)}\}\; .$$ $\hat{\rho}(z)$ist eine komplexe Zahl für alle $z$seit $\rho(a^*,a)$ist Trace-Klasse. Außerdem ist es eine stetige Funktion, $\hat{\rho}(0)=1$, und es ist fast-positiv-definit: für jeden $N\in\mathbb{N}$, $\{\alpha_i\}_{i=1}^N\subset \mathbb{C}$, Und $\{z_i\}_{i=1}^N\subset \mathbb{C}^d$ $$\sum_{i,j=1}^N \alpha_i\bar{\alpha}_j \hat{\rho}(z_i-z_j)e^{i\Im \langle z_i,z_j\rangle}\geq 0\; .$$

Es ist sehr schön, dass für nichtkommutative Wahrscheinlichkeiten ein nichtkommutativer Satz von Bochner gilt (bewiesen von I. Segal in den fünfziger Jahren):

Es geht eine Bijektion zwischen regulären Zuständen über die Algebra kanonischer Vertauschungsbeziehungen hinaus$(S,\sigma)$und stetige Funktionen ein$S$die fast-positiv-definit sind und den Wert eins zu null haben; eine solche Bijektion ist genau die nichtkommutative Fourier-Transformation.

Daher geht jeder reguläre Quantenzustand (positiver Spurenklassenoperator) auf die Algebra der kanonischen Kommutierungsbeziehungen über$(S,\sigma)$zeichnet sich in einzigartiger Weise durch eine stetige und nahezu positiv-definite Funktion aus$S$. Dies ist meiner Meinung nach eine genauere Version der Aussage der Autoren des vom OP zitierten Papiers. Als Randbemerkung gilt das nichtkommutative Bochner-Theorem auch für bosonische Quantenfeldtheorien, dh sogar wenn$S$unendlichdimensional ist (mit geeigneten Modifikationen).

Als abschließende Bemerkung, ob die Funktion$\rho(a^*,a)$nicht positiv ist, aber dennoch eine Spurenklasse ist, sollte man bei der Angabe seiner charakteristischen Funktion etwas vorsichtig sein. Jeder Ablaufverfolgungsklassenoperator$A$kann eindeutig als Kombination von vier positiven Operatoren geschrieben werden$A_1,A_2,A_3,A_4$:

$$A=A_1-A_2+i(A_3-A_4)\; .$$ Daher alle Operatoren $\rho_1(a^*,a)$, $\rho_2(a^*,a)$, $\rho_3(a^*,a)$, $\rho_4(a^*,a)$zeichnen sich durch ihre charakteristische Funktion mit den üblichen Eigenschaften aus, jedoch ist die charakteristische Funktion kraftschlüssig $\rho(a^*,a)$ist nicht fast-positiv-definit. Nichtsdestotrotz kann man sagen, dass jede Spurklassenfunktion von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren eindeutig durch vier stetige und fast-positiv-definite Funktionen gekennzeichnet ist $S$.

Die Funktion$^1$

$$C(q^{\prime},p^{\prime})~=~{\rm Tr} \left\{e^{i(p^{\prime}\hat{q}-q^{\prime}\hat{p})} \hat{G}(\hat{q},\hat{p})\right\}\tag{7}$$ ist (bis auf Vorzeichenkonventionen) die Fourier-Transformation $$C(q^{\prime},p^{\prime})~=~\iint\frac{\mathrm{d}q~\mathrm{d}p}{2\pi} e^{i(p^{\prime}q-q^{\prime}p)}G_{W}(q,p),$$ des Weyl-Symbols $$G_{W}(q,p)~=~\iint\frac{\mathrm{d}q^{\prime}~\mathrm{d}p^{\prime}}{2\pi} e^{i(q^{\prime}p-p^{\prime}q)}C(q^{\prime},p^{\prime})$$ für den Betreiber $$\hat{G}(\hat{q},\hat{p})~=~\iint\frac{\mathrm{d}q^{\prime}~\mathrm{d}p^{\prime}}{2\pi} e^{i(q^{\prime}\hat{p}-p^{\prime}\hat{q})}C(q^{\prime},p^{\prime}). \tag{12}$$ Vergleiche z. B. mit diesem Phys.SE-Beitrag und der Wikipedia-Seite zur Wigner-Weyl-Transformation . Mathematisch. die Konstruktion beschränkt sich auf hinreichend schöne Operatoren/Funktionen, bei denen solche Integraltransformationen wohldefiniert sind.

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$^1$Wir verwenden hier reale Phasenraumvariablen (können aber äquivalent in komplexe Phasenraumvariablen umgeschrieben werden).