Weyl-Ordnungsregel

Lassen Sie die Orts- und Impulsoperatoren herein$n$Phasenraumdimensionen gemeinsam bezeichnet werden$\hat{Z}^I$, und seien die entsprechenden Symbole bezeichnet$z^{I}$, wo$I\in\{1,\ldots,n\}$. Der Betreiber$\hat{f}(\hat{Z})$entsprechend dem Weyl-Symbol $f(z)$ist

$$\hat{f}(\hat{Z})~\stackrel{\begin{matrix}\text{symmetri-}\\ \text{zation}\end{matrix}}{=}~ \left.\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!}\left[\hat{Z}^1\frac{\partial}{\partial z^1}+\ldots +\hat{Z}^n\frac{\partial}{\partial z^n} \right]^m f(z)\right|_{z=0} \qquad$$ $$~\stackrel{\begin{matrix}\text{Taylor}\\ \text{expan.}\end{matrix}}{=}~ \left.\exp\left[\sum_{I=1}^n\hat{Z}^I\frac{\partial}{\partial z^I}\right] f(z)\right|_{z=0} \qquad$$ $$~=~\int_{\mathbb{R}^{n}} \! d^{n}z~\delta^{n}(z)~ \exp\left[\sum_{I=1}^n\hat{Z}^I\frac{\partial}{\partial z^I}\right] f(z)$$ $$~\stackrel{\delta\text{-fct}}{=}~\int_{\mathbb{R}^{2n}} \! \frac{d^{n}z~d^{n}k}{(2\pi)^{n}} \exp\left[-i\sum_{J=1}^n k_Jz^J\right] \exp\left[\sum_{I=1}^n \hat{Z}^I\frac{\partial}{\partial z^I}\right] f(z)$$ $$~\stackrel{\text{int. by parts}}{=}~\int_{\mathbb{R}^{2n}} \! \frac{d^{n}z~d^{n}k}{(2\pi)^{n}} f(z)~ \exp\left[-\sum_{I=1}^n\hat{Z}^I\frac{\partial}{\partial z^I}\right] \exp\left[-i\sum_{J=1}^n k_Jz^J\right]$$ $$~=~\int_{\mathbb{R}^{2n}} \! \frac{d^{n}z~d^{n}k}{(2\pi)^{n}} f(z)~ \exp\left[i\sum_{I=1}^n k_I\hat{Z}^I\right] \exp\left[-i\sum_{J=1}^n k_Jz^J\right]$$ $$~\stackrel{\text{BCH}}{=}~\int_{\mathbb{R}^{2n}} \! \frac{d^{n}z~d^{n}k}{(2\pi)^{n}} f(z)~ \exp\left[i\sum_{I=1}^n k_I(\hat{Z}^I-z^I)\right].$$

Die obigen Manipulationen sind für eine ausreichend brav funktionierende Funktion sinnvoll$z\mapsto f(z)$.

Beispiel: Wenn das Weyl-Symbol von der Form ist$f(z)=g\left(\sum_{I=1}^n k_I z^I\right)$für eine analytische Funktion$g:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$, dann ist der zugehörige Operator$\hat{f}(\hat{Z})=g\left(\sum_{I=1}^n k_I\hat{Z}^I\right)$.

Die grundlegende Weyl-Ordnungseigenschaft, die alle Weyl-Ordnungsidentitäten für Polynomfunktionen erzeugt, ist:

$$((sq+tp)^n)_W = (sQ+tP)^n$$ $(q, p)$sind die Pendelphasenraumvariablen,$(Q, P)$sind die entsprechenden nichtkommutierenden Operatoren (erfüllend$[Q,P] = i\hbar$).

Beispielsweise für n = 2 ergibt sich die Identität aus dem Koeffizienten für die$st$term ist die bekannte grundlegende Weyl-Ordnungsidentität:

$$(qp)_W = \frac{1}{2}(QP+PQ)$$

Durch die Wahl des klassischen Hamilton-Operators als$h(p,q) = (sq+tp)^n$und sorgfältige Durchführung der Fourier- und inversen Fourier-Transformation erhalten wir die Weyl-Identität:

$$\int {dx\over2\pi}{dk\over2\pi} e^{ixP + ikQ} \int dpdqe^{-ixp-ikq} (sq+tp)^n =(sQ+tP)^n$$

Das Fourier-Integral kann nach der Änderung der Variablen gelöst werden:

$$l = sq+tp, m = tq-sp$$ und Verwenden der Identität $$\int dl e^{-iul} l^n =2 \pi \frac{\partial^n}{\partial v^n} \delta_D(v)|_{v=u}$$ Wo$\delta_D$ist die Dirac-Delta-Funktion.

Eine andere Möglichkeit, dies zu betrachten:

$e^{ix\hat{P}+ik\hat{Q}}$automatisch Weyl-geordnet ist. Dies liegt daran, dass jeder Term in der Taylor-Entwicklung$\frac{1}{n!}(ix\hat{P}+ik\hat{Q})^n$, ist Weyl-geordnet. Sie können dies sehen, indem Sie die Terme einfach multiplizieren. Zum Beispiel,

$$(\hat{P}+\hat{Q})(\hat{P}+\hat{Q})=\hat{P}^2+\hat{P}\hat{Q}+\hat{Q}\hat{P}+\hat{Q}^2.$$ Allgemeiner, wenn$\hat{P}^m\hat{Q}^l\hat{P}^p\cdots$ist ein Begriff in$(\hat{P}+\hat{Q})^n$, dann ist jede einzigartige Permutation dieser Faktoren auch ein Begriff in$(\hat{P}+\hat{Q})^n$.

Wenn wir also die Fourier-Transformation eines klassischen Hamilton-Operators nehmen,

$$\int dp\,dq\,e^{-ixp-ikq}\,H(p,q),$$ und nehmen Sie dann die inverse Fourier-Transformation und ersetzen Sie nur die Variablen$p$und$q$mit Operatoren, $$\int {dx\over2\pi}\,{dk\over2\pi}\, e^{ix\hat{P} + ik\hat{Q}} \int dp\,dq\,e^{-ixp-ikq}\,H(p,q),$$ wir landen bei einem Hamiltonoperator$\hat{H}(\hat{P},\hat{Q})$das ist Weyl-geordnet und natürlich mit dem klassischen Hamilton-Operator assoziiert.