Wie kann man algebraische Ausdrücke zu Operatoren in der Quantenmechanik machen?

Okay, ich weiß, dass in der Quantenmechanik die Quantenobservable aus der klassischen Observablen durch das Rezept gewonnen wird

X → X , P → − ich ℏ ∂ ∂ X

in der Positionsbasis. Nun sind meine Fragen:

  • Was ist, wenn X oder P in einem klassischen Ausdruck im Nenner erscheint?

  • Wie kann man dies zu einem Quantenausdruck machen? Was wäre die Bedeutung der Division durch einen Operator?

Mein Ausdruck enthält wahrscheinlich eine Mischung aus X Und P . Zum Beispiel könnte es Begriffe wie enthalten

P X 2
oder
X P ( X 2 + A 2 ) 3 / 2 .

  • So lösen Sie Produkte von nicht pendelnden Betreibern wie z X , P in zufriedenstellender Weise?
Die Weyl-Quantisierung wird zB in diesem Phys.SE-Beitrag diskutiert.

Antworten (2)

Das allgemeine Problem der Umwandlung klassischer Ausdrücke in Quantenoperatorausdrücke ist im Allgemeinen unlösbar, da die klassische Mechanik eine Annäherung an die Quantenmechanik ist und nicht umgekehrt. Es gibt immer eine Mehrdeutigkeit bei der Reihenfolge von nichtkommutierenden Operatoren. Sie müssen es von Fall zu Fall behandeln, und es gibt eine Reihe von "Quantisierungs" -Schemata. Generell können diese zu unterschiedlichen Quantentheorien führen, die es experimentell zu unterscheiden gilt.

Wie auch immer, in Ihrem Fall ist es wahrscheinlich in Ordnung, nur die Eigenwertzerlegung zu verwenden:

1 X → 1 X ^ ≡ ∫ D X   | X ⟩ 1 X ⟨ X | ,

1 P → 1 P ^ ≡ ∫ D P   | P ⟩ 1 P ⟨ P | ,

usw., wo | X ⟩ , | P ⟩ sind die orthonormalen Eigenvektoren von Ort und Impuls bzw. Sie können verwenden ⟨ X | X ' ⟩ = δ ( X − X ' ) zu zeigen, dass 1 X ^ hat die gewünschte Wirkung auf Ortseigenzustände. Man kann so etwas auch deutlich verallgemeinern, z P → P ^ ≡ ∫ D P   | P ⟩ P ⟨ P | . Um ein reales Beispiel zu geben, ist der folgende Operator, der Resolvent genannt wird, in der Quantenstreuungstheorie sehr wichtig:

R ^ ( z ) = 1 H ^ − z = ∑ N | N ⟩ ⟨ N | E N − z ,

Wo z ist eine komplexe Zahl.

Sie werden Mehrdeutigkeiten haben, wenn der klassische Ausdruck so etwas wie ist P / X oder P X oder was auch immer, da P ^ Und X ^ pendeln nicht.

@guru: Die Logik der Antwort von Michael Brown kann auf jede Funktion erweitert werden F ( X ) oder G ( P ) , die den Operatoren zugeordnet ist F ( X ^ ) Und G ( P ^ ) . Für gemischte (x,p)-Mengen ist das beliebteste Quantisierungsverfahren die Weyl-Quantisierung.
Eine Sache, die man jedoch beachten muss, ist, dass z X Und P haben keine gemeinsame Basis (wodurch sich die Unschärferelation ergibt). Wenn Sie also einen Ausdruck haben, der von beiden abhängt, müssen Sie möglicherweise zuerst eine andere Eigenbasis finden

Ein anderer Ansatz als das, was Michael Brown geschrieben hat, besteht darin, eine Taylor-Entwicklung zu verwenden, um Ihre Funktion des Operators in ein Polynom umzuwandeln. Sie können dann im Prinzip die Wirkung jedes Terms auf Ihre Zustände auswerten und den Ausdruck dann erneut kontrahieren. Dies führt effektiv zu denselben Ausdrücken wie der Ansatz von Michael Borwn, aber Sie könnten sich damit wohler fühlen.

... nur dass in diesem Fall die Sorge um die Konvergenz der Erweiterung, sowohl für Werte als auch für eingefügte Operatoren, Ihnen Ihre Kopfschmerzen zurückgeben kann ...
WAHR. Es ist immer noch näher an der Intuition eines Physikers imo
Einverstanden. Außerdem könnte man auf diese Weise Probleme mit nicht pendelnden Betreibern bemerken
Wie kann man algebraische Ausdrücke zu Operatoren in der Quantenmechanik machen?
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