Kann ich den folgenden Hamiltonoperator nach Weyl bestellen?

Question

Kann ich den folgenden Hamiltonoperator nach Weyl bestellen?

Yossarián

Ich versuche, ein Pfadintegral durchzuführen, aber ich habe Probleme mit der Weyl-Ordnung meines Hamilton-Operators.

Der Lagrange-Operator des fraglichen Systems ist

L = \frac{1}{2} F (Q) {\dot{Q}}^{2},

$L~=~\frac{1}{2}f(q)\dot{q}^2,$

Wo $f(q)$ ist eine beliebige Funktion der Koordinate $q$ . Aus diesem Lagrange-Operator erhalte ich den Hamilton-Operator, der ist

H = \frac{P^{2}}{2 F (Q)},

$H~=~\frac{p^2}{2f(q)},$

Wo $p=f(q)\dot{q}$ ist der kanonische Impuls.

Nun möchte ich mit diesem Hamiltonoperator ein Pfadintegral durchführen. Aus diesem Grund möchte ich, dass dieser Hamiltonoperator nach der Quantisierung Weyl-geordnet ist.

Meine Frage ist: Kann ich diesen Hamilton-Operator Weyl-bestellen, ohne die explizite Form von zu kennen? $f(q)$ ?

ACuriousMind

Da hast du kein explizites von

f

$f$ , ist Ihre Frage, ob Sie behaupten können, dass ein Weyl-geordnetes Symbol von

H

$H$ existiert, ohne den Weyl-Befehl explizit auszuführen?

yuggib

Sie sollten sich die Weyl-Quantisierung von einem mathematischen Standpunkt aus ansehen . Ich würde sagen, wenn die Funktion

f (q)

$f(q)$ ausreichend regelmäßig ist, sollten Sie keine Probleme haben.

Yossarián

@ACuriousMind Ich möchte nicht beweisen, dass es existiert. Ich möchte wissen, ob ich es irgendwie schreiben kann, ohne die genaue Form zu kennen

f (q)

$f(q)$

ACuriousMind

... Ich verstehe nicht, was Sie mit "schreiben" meinen, wenn Sie es nicht wissen

f

$f$ .

Yossarián

@ACuriousMind Ich hatte nur gehofft, dass es einen Weg geben könnte, auch ohne die explizite Form von zu kennen

f (q)

$f(q)$ , obwohl ich denke, dass es nicht möglich ist.

yuggib

Gegeben ein Symbol

a (x, ξ)

$a(x,\xi)$ , die Weyl-Quantisierung ist der Operator, der als fungiert

a^{W} (x, D_{x}) ψ (x) = \int \int e^{2 i π (x - y) \cdot ξ} a (\frac{x + y}{2}, ξ) ψ (y) d y d ξ

$a^W(x,D_x)\psi(x)=\int\int e^{2i\pi(x-y)\cdot\xi}a(\tfrac{x+y}{2},\xi)\psi(y)dyd\xi$ . Nehmen

a (x, ξ) = \frac{ξ^{2}}{2 f (q)}

$a(x,\xi)=\tfrac{\xi^2}{2f(q)}$ und berechne das Integral. Wenn es als Objekt sinnvoll ist

L^{2}

$L^2$ für

ψ

$\psi$ in einem dichten Unterraum (z. B. mit schnellem Abfall, glatt mit kompakter Unterstützung ...) erhalten Sie Ihre Weyl-Quantisierung.

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Kann ich den folgenden Hamiltonoperator nach Weyl bestellen?

Da hast du kein explizites von $f$ , ist Ihre Frage, ob Sie behaupten können, dass ein Weyl-geordnetes Symbol von $H$ existiert, ohne den Weyl-Befehl explizit auszuführen?
Sie sollten sich die Weyl-Quantisierung von einem mathematischen Standpunkt aus ansehen . Ich würde sagen, wenn die Funktion $f(q)$ ausreichend regelmäßig ist, sollten Sie keine Probleme haben.
@ACuriousMind Ich möchte nicht beweisen, dass es existiert. Ich möchte wissen, ob ich es irgendwie schreiben kann, ohne die genaue Form zu kennen $f(q)$
... Ich verstehe nicht, was Sie mit "schreiben" meinen, wenn Sie es nicht wissen $f$ .
@ACuriousMind Ich hatte nur gehofft, dass es einen Weg geben könnte, auch ohne die explizite Form von zu kennen $f(q)$ , obwohl ich denke, dass es nicht möglich ist.
Gegeben ein Symbol $a(x,\xi)$ , die Weyl-Quantisierung ist der Operator, der als fungiert $a^W(x,D_x)\psi(x)=\int\int e^{2i\pi(x-y)\cdot\xi}a(\tfrac{x+y}{2},\xi)\psi(y)dyd\xi$ . Nehmen $a(x,\xi)=\tfrac{\xi^2}{2f(q)}$ und berechne das Integral. Wenn es als Objekt sinnvoll ist $L^2$ für $\psi$ in einem dichten Unterraum (z. B. mit schnellem Abfall, glatt mit kompakter Unterstützung ...) erhalten Sie Ihre Weyl-Quantisierung.

QMechaniker · Answer 1

Die Antwort ist ja. Funktion definieren $g(q):= \frac{1}{f(q)}$ für spätere Bequemlichkeit. Dann liest der klassische Hamiltonian
$2 H = G (Q) P^{2} .$ $2h~=~g(q)p^2.$ Man kann zeigen, dass der Weyl-geordnete Hamiltonoperator liest $2 H_{W} = (G (Q) P^{2})_{W} = \frac{1}{4} P^{2} G (Q) + \frac{1}{2} P G (Q) P + \frac{1}{4} G (Q) P^{2}$ $2H_W~=~ (g(q)p^2)_W ~=~ \frac{1}{4}P^2 g(Q)+\frac{1}{2} Pg(Q)P+\frac{1}{4} g(Q)P^2$ $= P G (Q) P - \frac{1}{4} ℏ^{2} G^{''} (Q),$ $~=~ Pg(Q)P - \frac{1}{4}\hbar^2g^{\prime\prime}(Q),$ siehe z. B. Ref.-Nr. 1 und diesen Phys.SE-Beitrag. Hier $Q$ Und $P$ bezeichnen die entsprechenden Operatoren für die klassischen Variablen $q$ Und $p$ , bzw. $[Q, P] = ich ℏ 1, {Q, P}_{P B} = 1.$ $[Q,P]~=~i\hbar{\bf 1}, \qquad \{q,p\}_{PB}~=~1.$
Es existiert ein weiteres Quantisierungsverfahren. Wählt man die Schrödinger-Darstellung für den Impulsoperator zu sein
$Q = Q, P = \frac{ℏ}{ich \sqrt[4]{F (Q)}} \frac{\partial}{\partial Q} \sqrt[4]{F (Q)},$ $Q~=~q, \qquad P~=~ \frac{\hbar}{i\sqrt[4]{f(q)}} \frac{\partial}{\partial q} \sqrt[4]{f(q)},$ es wird selbstadjungiert bzgl. die Maßnahme $μ = \sqrt{F (Q)} D Q .$ $\mu~=~\sqrt{f(q)}\mathrm{d}q.$ Der Hamiltonoperator in der Schrödinger-Darstellung ist (bis auf eine multiplikative Konstante) der Laplace-Beltrami-Operator $2 H = - \frac{ℏ^{2}}{2} Δ = - \frac{ℏ^{2}}{\sqrt{F (Q)}} \frac{\partial}{\partial Q} \frac{1}{\sqrt{F (Q)}} \frac{\partial}{\partial Q},$ $2H~=~-\frac{\hbar^2}{2}\Delta~=~ -\frac{\hbar^2}{\sqrt{f(q)}}\frac{\partial}{\partial q}\frac{1}{\sqrt{f(q)}} \frac{\partial}{\partial q},$ was selbstadjungiert ist. Daher wird der Quanten-Hamiltonoperator $2 H = \frac{1}{\sqrt[4]{F (Q)}} P \frac{1}{\sqrt{F (Q)}} P \frac{1}{\sqrt[4]{F (Q)}},$ $2H~=~ \frac{1}{\sqrt[4]{f(Q)}} P\frac{1}{\sqrt{f(Q)}}~P\frac{1}{\sqrt[4]{f(Q)}},$ siehe z. B. Ref.-Nr. 1 und meine Phys.SE-Antwort hier .

Verweise:

J. de Boer, B. Peeters, K. Skenderis und P. van Nieuwenhuizen, arXiv:hep-th/9511141 ; Sektion 2.

Die beiden Quanten-Hamiltonianer stimmen bis zur ersten Schleifenordnung überein $\hbar$ , unterscheiden sich aber bei der zweiten Schleifenreihenfolge.
Die Weyl-Ordnungsformel für beliebige Potenzen von p und q und damit eine beliebige Funktion g(q) wurde 63 Jahre vor der Referenz von de Boer et al. in McCoy, Neal H. „Über die Funktion in der Quantenmechanik, die a entspricht gegebene Funktion in der klassischen Mechanik." Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America (1932), 674-676.

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