Hamiltonoperator im QM/QFT-Pfadintegral als Wigner-Transformation (Weyl-Symbol)? des Hamilton-Operators?

Die Frage ist inspiriert von der Antwort auf Warum kann der Pfadintegralansatz unter dem Operatorordnungsproblem leiden? . In der Antwort heißt es unter Gleichung 5:

Wo H ( Q , P ) bezeichnet das Weyl-Symbol für den Hamilton-Operator H ^ . Weyl-Ordering-Rezepte sind besser als andere Operator-Ordering-Rezepte, aber es ist immer noch eine Annäherung.

Ich verstehe nicht, was das bedeuten soll. Nehmen wir in der üblichen QM nicht die klassische Aktion (und damit die Hamilton-Funktion) und verwenden sie direkt im Pfadintegral?

  1. Bedeutet dies, dass die Weyl-Transformation des klassischen Hamilton-Operators eine Annäherung an den tatsächlichen Hamilton-Operator in QM wäre?
  2. Oder heißt es, dass der im Pfadintegral verwendete Hamiltonian eine inverse Weyl-Transformation (Wigner-Transformation) ist und dass es für andere Operatoren nicht immer gilt, dass die klassische Version einer solchen inversen Weyl-Transformation entsprechen würde?

Würde sich das Pfadintegral für 1 immer noch als immer richtig erweisen, obwohl zunächst Näherungen verwendet wurden? (beide QM/QFT)

Antworten (1)

Was ist grundlegender: Der Pfadintegralformalismus oder der Operatorformalismus?

I) Betrachten Sie zunächst das Wegintegral.

  1. Erstens ist ein Pfadintegral mit einer rein klassischen Aktion nicht so kommutativ und zahm, wie es naiv erscheinen mag: Es wird immer ein implizit zugrundeliegendes nicht-kommutatives Zeitscheibenverfahren angenommen, das alle Punktvariablen, dh Zeitableitungen, betrifft. Siehe zB this und this Phys.SE Antworten.

  2. Zweitens, innerhalb des Pfadintegralformalismus, der Formel

    (1) ⟨ Q F , T F | Q ich , T ich ⟩   ∼   ∫ Q ( T ich ) = Q ich Q ( T F ) = Q F D Q   D P   exp ⁡ [ ich ℏ S [ Q , P ] ]
    wird eher zu einem Postulat als zu etwas, das man beweisen kann.

II) Aus diesen Gründen nehmen wir stattdessen den Operatorformalismus als grundlegend und versuchen, die Pfadintegralformel (1) herzuleiten. Dies ist jedoch im Allgemeinen leichter gesagt als getan, wie in meiner erwähnten Phys.SE-Antwort erläutert :

  1. Wenn wir den Hamilton-Operator ersetzen H ^ durch eines seiner Symbole (über eine Wigner-ähnliche Karte ) führen wir Fehler ein, zB weil es potenziert erscheint, vgl. die BCH-Formel .

  2. Das Weyl-Symbol schneidet etwas besser ab als andere Symbole (wie z P ^ Q ^ oder Q ^ P ^ Symbolen), aber es ist im Allgemeinen immer noch eine Annäherung.

Hamiltonoperator im QM/QFT-Pfadintegral als Wigner-Transformation (Weyl-Symbol)? des Hamilton-Operators?
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