Bopp-Operatoren und Wigner-Weyl-Darstellung

Ich lerne etwas über die Wigner-Weyl-Transformationen, um a zu bewegen C -Nummer Lindblad-Operator A ( X , P ) zurück in die Bedienerform. Soweit ich weiß, erfordert das Hin- und Herbewegen normalerweise eine Integraltransformation mit vier Variablen. Ein Kollege hat jedoch darauf hingewiesen, dass es eine einfachere Methode gibt, um die Transformation von Operator zu c-Zahl zu erreichen, die sogenannten Bopp-Operatoren:

X ^ = X + ich ℏ 2 ∂ ∂ P , P ^ = P − ich ℏ 2 ∂ ∂ X .

Die Verwendung dieser Substitution ist eine schnelle Methode zum Weyl-Symbol (z. B. with X ^ P ^ direkte Substitution führt zur richtigen WW-Form).

Ich habe zwei Fragen:

  • Wenn ich vom Phasenraum zur Operatorform wechseln möchte, ist das so einfach wie das Ersetzen X = X ^ − ich ℏ 2 ∂ ∂ P ?

  • Das angegebene Beispiel wird geschrieben als X ^ P ^ 1 ^ , also arbeiten die Ableitungen mit dem Identitätsoperator und geben 0 . Allerdings in der c-Zahl-Funktion A ( X , P ) es gibt keinen Einheitsoperator. Wenn die Ableitung nach links operiert, worauf operiert sie?

Antworten (1)

Tatsächlich ist die Bopp-Verschiebung eine ungeschickte Transkription des berühmten Lagrange-Übersetzungsoperators ⋆ Produkt, eine Integraltransformation mit 4 Variablen, vgl. Gleichungen (12–15) in Lit. 1 (14-17 in der verlinkten Online-Version).

Es gibt unendlich viele Phasenraumfunktionen, die unterschiedlich geordneten Operatoren entsprechen, da ihre p s und x s mit den interkalierten auf unterschiedliche Weise geordnet werden können ⋆ s Nichtkommutativität erzwingen; oder äquivalent ihre Bopp-Verschiebungen, die in unterschiedlich geordneten Sequenzen wirken. Sie fallen also alle in verschwindender Reihenfolge zusammen ℏ , unterscheiden sich aber in ihrer ℏ-Abhängigkeit.

Identitätsoperatoren im Hilbert-Raum werden auf Konstanten im Phasenraum abgebildet und umgekehrt.

Wenn Sie lange (länger als zwei!) Zeichenfolgen von Operatoren haben, ist es trivial, (assoziative!) ⋆ -Produkte zwischen Weyl-Symbolen, aber wenn Sie nicht sehr vorsichtig mit assoziativen Gruppierungen sind, schlägt der Bopp-Trick fehl und ist es nicht wert.

Die Wigner-Transformation des Operators, den Sie aufgeschrieben haben, x̂ p̂ 1̂ , ist daher direkt xp+iħ/2 . Der formale Grund ist

X ^ P ^ ↦ X ⋆ P ⋆ 1 = ( X + ich ℏ 2 ∂ P ) P = X P + ich ℏ 2 .
Beachten Sie, dass der p -Ableitungsterm im Leerlauf ist, sodass nur der führende, konventionelle Term 1 als Beitrag zur Identität überlebt.

Verweise:

  1. Thomas L. Curtright, David B. Fairlie und Cosmas K. Zachos, A Concise Treatise on Quantum Mechanics in Phase Space, World Scientific, 2014. Die PDF-Datei ist hier verfügbar .
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