Wie wirkt sich das Quetschen auf die Husimi-Phasenraumdarstellung oder Q-Funktion aus?

Die Wirkung des Quetschoperators

$$\begin{equation} S = e^{- r (a^2 + a^{\dagger 2}) / 2} \end{equation}$$ auf einer Wigner-Phasenraumdarstellung oder W-Funktion eines Systems mit Dichtematrix $\rho$ $$\begin{equation} W(x, p) = \frac{1}{\pi \hbar} \int_{\mathbb{R}} dy e^{- 2 i p y / \hbar} \langle x + y | \rho | x - y \rangle \end{equation}$$ Ist $$\begin{equation} S \circ W(x, p) = W(x e^r, p e^{-r}) \end{equation}$$ (Ich verwende die Konvention, dass $x = 2^{-1/2} (a + a^{\dagger})$Und $p = - i 2^{-1/2} (a - a^{\dagger})$). Gibt es eine einfache Beziehung für die Wirkung des Squeezing-Operators auf die Husimi-Phasenraumdarstellung oder Q-Funktion? $$\begin{equation} Q(x, p) = \frac{2}{\pi} \int_{\mathbb{R}^2} du dv e^{- 2 (x - u)^2 - 2 (p - v)^2} W(u, v) , \end{equation}$$ dh, $$\begin{equation} S \circ Q(x, p) = ? \end{equation}$$ Allgemeiner würde ich auch gerne wissen, ob es eine einfache Beziehung für die Wirkung des Quetschens auf eine verallgemeinerte Phasenraumdarstellung oder R-Funktion gibt (manchmal auch als $s$-parametrierte W-Funktion) $$\begin{equation} R(x, p, \tau) = \frac{1}{\pi \tau} \int_{\mathbb{R}} du dv e^{- \tau^{-1} (x - u)^2 - \tau^{-1} (p - v)^2} P(u, v) \end{equation}$$ Wo $P(x, p)$ist die Glauber-Sudarshan-Phasenraumdarstellung oder P-Funktion. $P(x, p)$erfüllt $$\begin{equation} \rho = \int_{\mathbb{C}} d\alpha P(\alpha) |\alpha\rangle \langle \alpha | \end{equation}$$ Wo $|\alpha\rangle$sind die kohärenten Zustände von $a$. Der Grund, warum ich frage, ist, dass ich einige numerische Algorithmen entwickelt habe, die eine verallgemeinerte Phasenraumdarstellung für bestimmte Zustände sehr genau berechnen, und ich möchte jetzt den Effekt des Quetschens sehen, vorzugsweise ohne eine numerische Integration usw. durchführen zu müssen.