Dichtematrix-Formalismus

Ein gemischter Zustand wird mathematisch durch einen begrenzten , positiven Spurklassenoperator mit Einheitsspur dargestellt $\rho : \cal H \to \cal H$. Hier$\cal H$bezeichnet den komplexen Hilbert-Raum des Systems (er kann nicht trennbar sein). Die Menge der gemischten Zustände$S(\cal H)$ist ein konvexer Körper im komplexen linearen Raum der Spurklassenoperatoren$B_1(\cal H)$das ist eine zweiseitige$*$-Ideal der$C^*$-Algebra beschränkter Operatoren$B(\cal H)$.

Konvex bedeutet, dass wenn$\rho_1,\rho_2 \in S(\cal H)$dann eine konvexe Kombination von ihnen, dh$p\rho_1 + q\rho_2$wenn$p,q\in [0,1]$mit$p+q=1$, erfüllt$p\rho_1 + q\rho_2 \in S(\cal H)$.

zweiseitig$*$-ideal bedeutet, dass lineare Kombinationen von Elementen von$B_1(\cal H)$zu diesem Raum gehören (die Menge ist ein Unterraum), der Adjungierte eines Elements von$B_1(\cal H)$bleibt auch in diesem Raum und$AB, BA \in B_1(\cal H)$wenn$A\in B_1(\cal H)$und$B \in B(\cal H)$.

Ich betone, dass stattdessen die Teilmenge der Staaten$S(\cal H)\subset B_1(\cal H)$ist kein Vektorraum, da darin nur konvexe Kombinationen erlaubt sind.

Die Extremalelemente von$S(\cal H)$, nämlich die Elemente, die nicht als nichttriviale konvexe Kombinationen anderer Elemente zerlegt werden können, sind alle reinen Zustände. Sie sind von der Form$|\psi \rangle \langle \psi|$für einen Einheitsvektor von$\cal H$. (Beachten Sie, dass die Operatoren, da Phasen physikalisch irrelevant sind$|\psi \rangle \langle \psi|$zweieindeutig bestimmen die reinen Zustände, dh$|\psi\rangle$bis zu einer Phase.)

Der Raum$B_1(\cal H)$und damit der Satz$S(\cal H)$lässt mindestens drei relevante normierte Topologien zu, die durch entsprechende Normen induziert werden. Eine davon ist die Standardoperatornorm$||T||= \sup_{||x||=1}||Tx||$und die restlichen sind:

$$||T||_1 = || \sqrt{T^*T} ||\qquad \mbox{the trace norm}$$ $$||T||_2 = \sqrt{||T^*T||} \qquad \mbox{the Hilbert-Schmidt norm}\:.$$ Es ist möglich, Folgendes zu beweisen: $$||T|| \leq ||T||_2 \leq ||T||_1 \quad \mbox{if $T\in B_1(\cal H)$.}$$ Außerdem stellt sich heraus, dass$B_1(\cal H)$ist ein Banachraum bzgl$||\cdot||_1$(Es ist nicht abgeschlossen in Bezug auf die anderen beiden Topologien, insbesondere die Schließung in Bezug auf$||\cdot||$entspricht dem Ideal der kompakten Operatoren$B_\infty(\cal H)$).

$S(\cal H)$ist in Bezug auf geschlossen$||\cdot ||_1$und, noch stärker, es ist ein vollständiger metrischer Raum in Bezug auf die Entfernung$d_1(\rho,\rho'):= ||\rho-\rho'||_1$. Wann$dim(\cal H)$endlich ist, stimmen die drei Topologien überein (obwohl die Normen dies nicht tun), als allgemeines Ergebnis auf endlichdimensionalen Banach-Räumen.

Zu Ihrer letzten Frage gibt es viele Standpunkte. Meiner Meinung nach ist eine Dichtematrix genauso physikalisch wie reine Zustände. Ob ein gemischter Zustand eine Art physikalisches Unwissen beinhaltet, ist fraglich, da bei einer Quantenmischung keine Möglichkeit besteht, zwischen „klassischer Wahrscheinlichkeit“ und „Quantenwahrscheinlichkeit“ zu unterscheiden, sobald die Mischung entsteht. Siehe meine Frage Klassische und Quantenwahrscheinlichkeiten in Dichtematrizen und insbesondere die Antwort von Luboš Motl. Siehe auch meine Antwort auf Warum unterscheidet sich die Anwendung der Wahrscheinlichkeit im QM grundlegend von der Anwendung der Wahrscheinlichkeit in anderen Bereichen?

NACHTRAG . In endlicher Dimension, abgesehen vom trivialen Fall$dim({\cal H})=2$wobei die Struktur des Raumes der Zustände durch die Poincaré-Bloch-Kugel als Mannigfaltigkeit mit Rand abgebildet wird ,$S(\cal H)$hat eine Struktur, die die einer Mannigfaltigkeit mit Rand verallgemeinert. Ein geschichteter Raum . Grob gesagt ist es keine Mannigfaltigkeit, sondern die Vereinigung von (Riemannschen) Mannigfaltigkeiten mit unterschiedlicher Dimension (je nach Bereich der Operatoren) und die Schnittpunkte sind nicht glatt. Wenn die Dimension von$\cal H$unendlich ist, sollte man sich mit dem Begriff der unendlichen dimensionalen Mannigfaltigkeit befassen und die Dinge werden viel komplizierter.

Aber zu welchem ​​mathematischen Raum gehören Dichtematrizen? Es ist klar, dass der Ausdruck$\hat{ρ}\in\mathcal{H}$ist falsch, da ein gemischter Zustand unmöglich durch einen Zustand in einem Hilbert-Raum beschrieben werden kann.

Ein beschränkter linearer Operator auf$\mathcal{H}$ist von der Spurklasse genau dann, wenn es unabhängig von der Wahl der Basis eine endliche Spur hat (vgl. auch nuklearer Operator ). Eine Dichtematrix ist ein positiver linearer Operator der Spurenklasse$\rho:\mathcal{H}\to\mathcal{H}$mit Spur$1$. Ich gehe davon aus$\mathcal{H}$ist trennbar.

Der Eigenfunktionszerlegungssatz (Hilbert-Schmidt-Satz) impliziert, dass er die Form hat$\rho = \sum_k p_k|\psi_k\rangle\langle\psi_k|$, wo$p_k>0$sind die Nicht-Null-Eigenwerte und$\sum_k p_k = 1$, kann also in diesem Sinne anhand der reinen Zustände im Hilbert-Raum beschrieben werden. Eigentlich könnten wir die Terminologie sogar so definieren: Eine Dichtematrix ist ein "Zustand", und in dem speziellen Fall, dass es sich um einen Projektionsoperator auf einen linearen Unterraum handelt$\mathcal{H}$, es ist ein "reiner Zustand". Daher können wir reine Zustände äquivalent als Sonderfälle von Dichtematrizen betrachten, anstatt die übliche Art, Dichtematrizen als Verallgemeinerung reiner Zustände zu betrachten.

Können wir uns den Raum aller möglichen Dichtematrizen (einer gegebenen Dimension) als metrischen Raum vorstellen?

Ja, tatsächlich bilden sie mit der Spurnorm / Kernnorm einen normierten Vektorraum. Darüber hinaus gibt es eine eng verwandte Vorstellung von Hilbert-Schmidt-Operatoren, die über das innere Produkt der Spur einen Hilbert-Raum bilden.

Hat dieser Raum die topologischen Eigenschaften einer Mannigfaltigkeit?

Ich kenne keine interessanten Ergebnisse in dieser Richtung für Dichtematrizen, aber ich glaube, ich habe gesehen, dass einer Unterklasse von Hilbert-Schmidt-Operatoren eine Riemannsche Mannigfaltigkeitsstruktur basierend auf dem inneren Produkt der Spur gegeben wurde, aber ich bin mir dessen nicht bewusst Einzelheiten.

Zweitens, kann die Dichtematrix als „physikalisch“ betrachtet werden? Wenn wir zum Beispiel ein einzelnes Photon nehmen, das in der Fock-Basis beschrieben wird (unter Vernachlässigung der Polarisation), kann die grundlegende Beschreibung dieses Photons jemals der vollständig gemischte Zustand sein ... Oder ist dies nur eine Widerspiegelung einer gewissen Unwissenheit seitens des Experimentators , und in Wirklichkeit muss das Photon durch einen reinen Zustand beschrieben werden?

Eine Dichtematrix ist ein Spiegelbild von Unwissenheit. Ich denke nicht, dass es dadurch "unphysisch" wird. Ob sie „nicht-fundamental“ sind, hängt davon ab, was Sie unter „fundamental“ verstehen, insb. angesichts der Tatsache, dass wir reine Zustände nur als Spezialfälle von Dichtematrizen betrachten können.

Zur letzten Frage möchte ich noch etwas hinzufügen:

Zweitens, kann die Dichtematrix als „physikalisch“ betrachtet werden? Wenn wir beispielsweise ein einzelnes Photon nehmen, das in der Fock-Basis beschrieben wird (unter Vernachlässigung der Polarisation), kann die grundlegende Beschreibung dieses Photons jemals der vollständig gemischte Zustand sein?$\frac{1}{2}(\lvert 0\rangle \langle 0 \lvert + \lvert1\rangle \langle 1 \lvert)$? Oder ist dies nur eine Widerspiegelung einiger Unwissenheit seitens des Experimentators, und in Wirklichkeit muss das Photon durch einen reinen Zustand beschrieben werden?

Geht man davon aus, dass das Photon mit keinem anderen System korreliert ist, dann kann ein Mischzustand nur aus experimenteller Unkenntnis entstehen. Es gibt jedoch viele Situationen, in denen aufgrund der fundamentalen Quantenunsicherheit zwangsläufig ein Mischzustand auftritt. Insbesondere wenn das Photon (oder irgendein Quantensystem) mit einem anderen System verschränkt ist, dann ist der Zustand des Photons allein notwendigerweise gemischt. Betrachten Sie zum Beispiel ein Paar Lichtmodi im Zustand

$$\lvert \psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \lvert 0 \rangle \lvert 0 \rangle + \lvert 1 \rangle \lvert 1 \rangle \right ),$$ Wenn Sie nur in einem der Modi Messungen durchführen können, entsprechen Ihre Ergebnisse denen des gemischten Zustands $$\rho = \frac{1}{2}(\lvert 0\rangle \langle 0 \lvert + \lvert1\rangle \langle 1 \lvert)$$ was zu völlig zufälligen Ergebnissen führt. Die Schwankungen in den Messergebnissen kommen daher, dass das globale System in einem reinen Quantenzustand präpariert wurde $\psi$die in keinem Modus einzeln eine bestimmte Anzahl von Photonen hat. Diese Unsicherheit ist ein unvermeidbarer Quanteneffekt und tritt auch dann auf, wenn der Beobachter die größtmögliche Information über die betreffende Einzelmode hat. In diesem Sinne ist die Dichtematrix eine vollständigere Beschreibung physikalischer Systeme als reine Zustände allein.

Wenn der Beobachter Zugang zu beiden Modi hat, ist es möglich, Messungen zu entwickeln, die eindeutige Ergebnisse haben, da sich das globale System in einem reinen Zustand befindet. Eine Messung zum Beispiel, die prüft, ob beide Moden in jedem einzelnen Versuchsdurchlauf immer gleich viele Photonen haben, wird immer mit 100-prozentiger Sicherheit die Antwort „ja“ liefern.

Niemand scheint eine der Fragen so direkt beantwortet zu haben:$\rho$lebt in${\cal H}\otimes {\cal H}^*$, mit${\cal H}^*$das Dual von${\cal H}$.

Alternativ, wenn Kets darin leben${\cal H}$dann leben BHs darin${\cal H}^*$so dass$\rho$ist ein Objekt, das lineare Kombinationen der Form enthält$\vert \psi_j\rangle\langle \phi_k\vert$; typisch$\vert \psi_j\rangle \in {\cal H}$und$\langle \phi_k\vert\in {\cal H}^*$.

Nicht jede Linearkombination des Typs$\vert \psi_j\rangle\langle \phi_k\vert$eintreten kann$\rho$Also$\rho$beschreibt einen physikalischen Zustand. In einer festen orthonormalen Basis sind die Diagonaleinträge von$\rho$sind klassische Wahrscheinlichkeiten und müssen daher reell, nichtnegativ und summiert sein$1$, während$\rho$selbst muss hermitesch sein.

Die Dichtematrix ist ein Operator, der die „klassische Unbestimmtheit“ aufgreift, ich meine, die Unbestimmtheit, die aus dem Experiment kommt. Beispielsweise können Sie eine Spin-Population haben$\frac 1 2$Teilchen, und Sie wissen, dass die Hälfte dieser Bevölkerung im Staat ist$S_Z = \frac 1 2$und die andere Hälfte ist drin$S_z = -\frac{1}{2}$. Die entsprechende$\hat{\rho}$ist

$$\hat{\rho} = \frac 1 2 (|+\rangle\langle+| +|-\rangle\langle-|)$$ Dies bedeutet nicht, dass der Zustand jedes Teilchens ist $$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle + |-\rangle)$$ Diese Unbestimmtheit ist keine Quantenunbestimmtheit, weil Sie wissen , dass ein Teilchen drin ist $\frac 1 2$Staat bzw $\frac 1 2$. Aus diesem Grund ist die Dichtematrix nützlich: Sie enthält Effekte der "klassischen" Unbestimmtheit. Die Dichtematrix ist kein "echter" Operator, da ihre zeitliche Entwicklung nicht der Heisenberg-Gleichung folgt. Es erfüllt die Gleichung von Von Neumann.

In Ihrem Beispiel stellt der Dichteoperator dar, dass es mit 50% Wahrscheinlichkeit 0 Photonen gibt (d. h. das System befindet sich im Grundzustand$|0\rangle$) oder 1 Photon (Zustand$|1\rangle$). Dies bedeutet, dass einer der Staaten$|0\rangle$oder$|1\rangle$wurde vor dem Experiment vorbereitet.