Verstehen der Dichtematrix für reine Zustände vs. gemischte Zustände

Es gibt also eine Frage in meinem Lehrbuch, die das folgende Szenario erklärt:

Ein Physiker führt zwei Experimente A und B durch, um Quantensysteme in verschiedenen Anfangszuständen herzustellen. In Experiment A verwendet er eine probabilistische Maschine, die ein einzelnes Quantensystem in einem von ihnen präparieren kann$n$mögliche reine Zustände$\{\lvert \psi_1 \rangle, \lvert \psi_2 \rangle, ..., \lvert \psi_n \rangle \}$mit entsprechenden Wahrscheinlichkeiten$\{\lvert p_1 \rangle, \lvert p_2 \rangle, ..., \lvert p_n \rangle \}$. Im Versuch$B$, stattdessen erzeugt er m nicht-wechselwirkende Quantensysteme, von denen jedes in seinem entsprechenden niedrigeren Energiezustand präpariert ist$\{\lvert \phi_1 \rangle, \lvert \phi_2 \rangle, ..., \lvert \phi_m \rangle \}$. Lassen$\rho_A$Und$\rho_B$seien die Dichtematrixoperatoren für die experimentell hergestellten Quantenzustände$A$Und$B$, bzw.

Und fragt folgendes:

1. Schreiben Sie für beide einen Ausdruck auf$\rho_A$Und$\rho_B$und leiten Sie einen Ausdruck für den erwarteten Wert von ab$\hat{O_A}$Und$\hat{O_B}$(die hermitischen Operatoren, die eine Observable des Systems A bzw. des k-ten Systems des Systems B beschreiben).

2. Lassen$P_j$Und$P_k$die den Zuständen zugeordneten Projektoren sein$\lvert \psi_j \rangle$Und$\lvert \psi_k \rangle$produziert von$A$. Besprechen Sie, ob das Produkt$P_jP_k$verschwindet.

Zu Frage 1 habe ich folgendes für system geschrieben$A$:

$$\rho_A = \lvert \psi_j\rangle\langle \psi_j\rvert \tag{1}$$

$$\hat{O_A} = Tr(\hat{O_A} \rho_A) = Tr(\hat{O_A}\lvert\psi_j\rangle\langle \psi_j\rvert) \tag{2}$$

Meine Begründung für Gleichung 1 ist, dass System A nur reine Zustände erzeugt und dass nur "ein einziger" Zustand erzeugt wird, also enthält die Dichtematrix nur einen Term (hier repräsentiert j den erzeugten j-ten Zustand). Die Frage erwähnt jedoch ihre Wahrscheinlichkeiten, die ich nicht in meine Antwort aufgenommen habe, da nur ein Zustand generiert wird. Sollen$p_j$der Koeffizient in Gleichung (1) und nicht nur die Zahl 1 sein?

Für System$B$, ich habe folgendes:

$$\rho_B = \frac{1}{m}\sum_i\lvert \phi_i\rangle\langle \phi_i\rvert \tag{3}$$

Meine Begründung dafür ist, dass Experiment B einen gemischten Zustand beschreibt, der insgesamt m Zustände hervorbringt und somit jeder Zustand eine Wahrscheinlichkeit von hat$\frac{1}{m}$. Ich bin mir jedoch nicht sicher, wie ich den erwarteten Wert für das Experiment schreiben soll$B$.

Für die zweite Frage kann ich das Produkt ausdrücken als

$$P_jP_k = \lvert \psi_j\rangle\langle \psi_j\rvert \psi_k\rangle\langle \psi_k\rvert \tag{4}$$

Aber da bekomme ich keine Informationen bezüglich der Orthogonalität der Zustände für Experimente$A$, wie soll ich ableiten, ob diese Gleichung verschwindet oder nicht?

Wenn jemand Hinweise oder Einblicke in meine Antworten geben könnte, wäre ich sehr dankbar. Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich die Unterschiede zwischen reinen und gemischten Zuständen richtig verstehe.