Was bedeutet es, dass ein Dichteoperator nichtnegativ ist?

Das bedeutet, dass alle Eigenwerte nichtnegativ oder gleichwertig sind$\langle \psi | \rho | \psi \rangle \geq 0$für jeden Vektor$| \psi \rangle$im Hilbertraum. Siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Positive-definite_matrix .

Ob die Matrixelemente eines endlichdimensionalen Operators nichtnegativ sind oder nicht, hängt von der Wahl der Basis ab, daher ist die Nichtnegativität von Matrixelementen keine sehr physikalisch interessante Eigenschaft.

Um Tparkers richtige Antwort zu ergänzen , ist die physikalische Bedeutung dieser Bedingungen natürlich, dass die Eigenwerte einer Dichtematrix die Wahrscheinlichkeiten sind , die die Mischung aus reinen Quantenzuständen definieren. Die Dichtematrix kann geschrieben werden:

$$\rho = \sum\limits_k p_k \left.\left|\hat{\psi}_k\right.\right>\left<\left.\hat{\psi}_k\right|\right.\tag{1}$$

bei dem die$\left\{\hat{\psi}_k\right\}_k$sind eine orthonormale Basis, die den Quantenzustandsraum überspannt. Die klassische Mischung mischt diese reinen Zustände mit Wahrscheinlichkeiten$p_k$. Dass die$\hat{\psi}_k$kann orthonormal gewählt werden wird durch die Hermiteschheit des Operators sichergestellt; (1) entwickelt dann natürlich den Operator als Summe von Projektoren auf die mit den Eigenwerten gewichteten Basisglieder.

Die Bedingungen behaupten also einfach, dass wir die Eigenwerte als positive Wahrscheinlichkeiten interpretieren können, die sich zu Eins summieren (denken Sie daran, dass die Spur die Summe aller Eigenwerte ist). Diese Bedingung ist natürlich notwendig, damit der Operator eine Dichtematrix ist.

Es kann gezeigt werden, dass selbst wenn die gemischten reinen Zustände nicht orthonormal sind, wenn die Dichtematrix als Summe von Projektoren mit positiven Gewichten zusammengesetzt wird, die sich wie in (1) zu Eins summieren (aber mit der$\hat{\psi}_k$nicht unbedingt orthonormal), dann hat, wenn die reinen Zustände in eine orthonormale Basis aufgelöst werden, der resultierende Ausdruck analog zu (1) immer noch positive Gewichte, die sich zu Eins summieren (ich muss noch eine Referenz für diese letzte Behauptung finden).