Wie kann ich einen Gaußschen Zustand als gequetschten, verschobenen thermischen Zustand schreiben?

Question

Wie kann ich einen Gaußschen Zustand als gequetschten, verschobenen thermischen Zustand schreiben?

S. Pflüger

Ich möchte einen Gaußschen Zustand mit Dichtematrix schreiben $\rho$ (Single Mode) als gequetschter, verschobener thermischer Zustand:

\begin{matrix} ρ = \hat{S} (ζ) \hat{D} (a) ρ_{\bar{n}} {\hat{D}}^{†} (a) {\hat{S}}^{†} (ζ) . \end{matrix}

$\begin{gather} \rho = \hat{S}(\zeta) \hat{D}(\alpha) \rho_{\bar{n}} \hat{D}^\dagger(\alpha) \hat{S}^\dagger(\zeta) . \end{gather}$ Hier,

\begin{matrix} ρ_{\bar{n}} = \int_{C} P_{\bar{n}} (a) | a ⟩ ⟨ a | d a mit P_{\bar{n}} (a) = \frac{1}{π \bar{n}} e^{- | a |^{2} / \bar{n}} \end{matrix}

$\begin{gather} \rho_{\bar{n}} = \int_{\mathbb{C}} P_{\bar{n}}(\alpha) |\alpha\rangle\langle\alpha|d\alpha \text{ with } P_{\bar{n}}(\alpha) = \frac{1}{\pi \bar{n}} e^{- |\alpha|^2 / \bar{n}} \end{gather}$ ist ein thermischer Zustand mit Besetzung

\bar{n}

$\bar{n}$ ,

\begin{matrix} \hat{S} (ζ) = e^{(ζ^{*} {\hat{a}}^{2} + ζ {\hat{a}}^{† 2}) / 2} \end{matrix}

$\begin{gather} \hat{S}(\zeta) = e^{(\zeta^* \hat{a}^2 + \zeta \hat{a}^{\dagger 2}) / 2} \end{gather}$ ist der Quetschoperator, und

\begin{matrix} \hat{D} (a) = e^{a^{*} \hat{a} - a {\hat{a}}^{†}} . \end{matrix}

$\begin{gather} \hat{D}(\alpha) = e^{\alpha^* \hat{a} - \alpha \hat{a}^\dagger} . \end{gather}$ ist der Verschiebungsoperator. Ich ziehe es vor, die Konvention zu verwenden

\hat{x} = (\hat{a} + {\hat{a}}^{†}) / \sqrt{2}

$\hat{x} = (\hat{a} + \hat{a}^\dagger) / \sqrt{2}$ und

\hat{p} = (\hat{a} - {\hat{a}}^{†}) / \sqrt{2} i

$\hat{p} = (\hat{a} - \hat{a}^\dagger) / \sqrt{2} i$ .

Ich nehme an, dass der Weg, dies zu erreichen, darin besteht, den Mittelwert und die Varianz unseres Gaußschen Zustands abzuleiten $\rho$ und damit bestimmen $\zeta$ und $\alpha$ . Allerdings war ich damit bisher erfolglos. Das heißt, angesichts des Mittelwerts und der Varianz unseres Gaußschen Zustands $\rho$ , was sind $\zeta$ und $\alpha$ ?

Nebenbei bemerkt, ich habe mich auch gefragt, ob es ein Standardergebnis für den Kommutator von gibt $\hat{S}(\zeta)$ und $\hat{D}(\alpha)$ ?

Trimok

Es gibt ein Ergebnis (ohne Demonstration) in der Formel

(11)

$(11)$ (und folgende Zeilen) dieses Papiers . Eine Pseudo-Kommutationsrelation für

D

$D$ und

S

$S$ ist in der Formel angegeben

(15)

$(15)$ dieses Papiers

Trimok

Wahrscheinlich könnten Sie das Ergebnis dank der Aktion von demonstrieren

D

$D$ und

S

$S$ an

a, a^{+}

$a, a^+$ (siehe Seiten

15

$15$ und

28

$28$ dieser Präsentation ) und den Ausdruck der thermischen Dichtematrix in der Fock-Basis (vgl

(3.87)

$(3.87)$ in dieser Referenz )

FraSchelle

@Trimok Ohne Ihre Referenz (die das Problem nicht wirklich beantwortet) habe ich mich gefragt, warum dieses Ergebnis überhaupt wahr sein sollte? Gibt es eine Möglichkeit, die Gaußsche auf andere Zustände abzubilden, oder was?

Trimok

@FraSchelle: Wenn Sie die Reihenfolge umkehren

S

$S$ und

D

$D$ (relativ zum OP), das Ergebnis in meiner ersten Referenz ist korrekt (ich habe den Mittelwert überprüft, aber die Varianz sollte auch korrekt sein), und es gibt eine Formel zwischen Mittelwert, Varianz,

ζ

$\zeta$ ,

α

$\alpha$ , und

\bar{n}

$\bar n$ (das war die OP-Frage).

Trimok

@FraSchelle: Nun, in meiner letzten Referenz ist ein "Gaußscher" Zustand diagonal in der kohärenten Basis (

3.86

$3.86$ ) und ist auch diagonal in der Fock-Basis (

3.87

$3.87$ ), erscheint aber in der Fock-Basis nicht "gaußsch".

Antworten (1)

Wie kann ich einen Gaußschen Zustand als gequetschten, verschobenen thermischen Zustand schreiben?

Es gibt ein Ergebnis (ohne Demonstration) in der Formel $(11)$ (und folgende Zeilen) dieses Papiers . Eine Pseudo-Kommutationsrelation für $D$ und $S$ ist in der Formel angegeben $(15)$ dieses Papiers
Wahrscheinlich könnten Sie das Ergebnis dank der Aktion von demonstrieren $D$ und $S$ an $a, a^+$ (siehe Seiten $15$ und $28$ dieser Präsentation ) und den Ausdruck der thermischen Dichtematrix in der Fock-Basis (vgl $(3.87)$ in dieser Referenz )
@Trimok Ohne Ihre Referenz (die das Problem nicht wirklich beantwortet) habe ich mich gefragt, warum dieses Ergebnis überhaupt wahr sein sollte? Gibt es eine Möglichkeit, die Gaußsche auf andere Zustände abzubilden, oder was?
@FraSchelle: Wenn Sie die Reihenfolge umkehren $S$ und $D$ (relativ zum OP), das Ergebnis in meiner ersten Referenz ist korrekt (ich habe den Mittelwert überprüft, aber die Varianz sollte auch korrekt sein), und es gibt eine Formel zwischen Mittelwert, Varianz, $\zeta$ , $\alpha$ , und $\bar n$ (das war die OP-Frage).
@FraSchelle: Nun, in meiner letzten Referenz ist ein "Gaußscher" Zustand diagonal in der kohärenten Basis ( $3.86$ ) und ist auch diagonal in der Fock-Basis ( $3.87$ ), erscheint aber in der Fock-Basis nicht "gaußsch".

MCV · Answer 1

Ich folge den Ausführungen von A. Ferraro et al .

Ein Staat $\rho$ eines Systems mit $n$ Freiheitsgrade werden als Gaußsche bezeichnet, wenn ihre Wigner-Funktion geschrieben werden kann als

W [ρ] (a) = \frac{\exp (- \frac{1}{2} (a - \bar{a})^{T} σ_{a}^{- 1} (a - \bar{a}))}{(2 π)^{n} \sqrt{Det [σ_{a}]}},

$W[\rho](\boldsymbol{\alpha}) = \frac{\exp\left( -\frac{1}{2}(\boldsymbol{\alpha} - \bar{\boldsymbol{\alpha}})^T \boldsymbol{\sigma}^{-1}_\alpha (\boldsymbol{\alpha} - \bar{\boldsymbol{\alpha}}) \right) }{(2\pi)^n\sqrt{\text{Det}[\boldsymbol{\sigma}_\alpha ]}},$ wo

α

$\boldsymbol{\alpha}$ und

\bar{α}

$\bar{\boldsymbol{\alpha}}$ sind Vektoren, die alle enthalten

2 n

$2n$ Quadraturen des Systems bzw. deren Mittelwerte und

α

$\boldsymbol{\alpha}$ ist die Kovarianzmatrix , deren Elemente definiert sind als

[σ]_{k l} := \frac{1}{2} ⟨ {R_{k}, R_{l}} ⟩ - ⟨ R_{k} ⟩ ⟨ R_{l} ⟩,

$[\boldsymbol{\sigma}]_{kl} := \frac{1}{2} \langle \{R_k,R_l \} \rangle - \langle R_k\rangle \langle R_l\rangle,$ wo

{\cdot, \cdot}

$\{\cdot,\cdot\}$ ist der Antikommutator, und

R_{k}

$R_k$ ist der

k - t h

$k-th$ Element des Vektors

R = (q_{1}, p_{1}, \dots, q_{n}, p_{n})^{T}

$\boldsymbol{R}= (q_1,p_1,\ldots,q_n,p_n)^T$ mit dem

q

$q$ s und

p

$p$ s sind die ort- und impulsähnlichen Operatoren.

Ein sehr wichtiges Ergebnis ist, dass sich herausstellt, dass Gauß-Zustände vollständig durch ihre Kovarianzmatrix plus den Vektor der Erwartungswerte der Quadraturen charakterisiert werden können, $\bar{\boldsymbol{\alpha}}$ . Wenn Ihr System nur einen Modus (ein Boson) hat, brauchen Sie nur einen symmetrischen $2\times2$ Matrix und zwei reelle Zahlen ( $q$ und $p$ ) um es zu beschreiben! Das bedeutet insgesamt fünf Parameter.

Wie Sie darauf hinweisen, können wir jeden Gaußschen Zustand schreiben als

ρ = D (\bar{a}) S (ξ) ρ_{t h} S^{†} (ξ) D^{†} (\bar{a})

$\rho = D(\bar{\alpha})S(\xi)\rho_{th}S^\dagger(\xi)D^\dagger(\bar{\alpha})$ wo hier

\bar{α} \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} (\bar{x} + i \bar{p})

$\bar{\alpha}\equiv\frac{1}{\sqrt{2}}(\bar{x}+i\bar{p})$ und

ξ = r e^{i φ}

$\xi = r e^{i\varphi}$ . Wenn Ihr thermischer Zustand eine mittlere Photonenzahl hat

N

$N$ , dann reicht es zu wissen

N

$N$ ,

r

$r$ und

φ

$\varphi$ um die Kovarianzmatrix zu berechnen. Seine Elemente sind gegeben durch

σ_{11} = \frac{2 N + 1}{2} (cosch (2 r) + Sünde (2 r) \cos (φ))

$\sigma_{11} =\frac{2N+1}{2} \left(\cosh (2r)+\sinh (2r)\cos (\varphi)\right)$

σ_{22} = \frac{2 N + 1}{2} (cosch (2 r) - Sünde (2 r) \cos (φ))

$\sigma_{22} =\frac{2N+1}{2}\left( \cosh(2r)-\sinh(2r)\cos(\varphi) \right)$

σ_{12} = σ_{21} = - \frac{2 N + 1}{2} Sünde (2 r) Sünde (φ) .

$\sigma_{12} =\sigma_{21}=-\frac{2N+1}{2}\sinh(2r)\sin(\varphi).$

Sie können sehen, dass die Haupteigenschaften des Zustands von der Kovarianzmatrix erfasst werden, da die Verschiebung $\bar{\alpha}$ kann von lokalen Operationen immer vernachlässigt werden (es ist eine Phasenraumtranslation). Mit anderen Worten, Sie können es immer auf Null setzen.

Beachten Sie bei der Beantwortung Ihrer Frage, dass ein Gaußscher Zustand nicht einfach eine Gaußsche Verteilung ist. Sie benötigen mehr Parameter als nur die Varianz und den Mittelwert (wie Sie eine klassische Gaußsche Wahrscheinlichkeitsverteilung definieren würden). Dies sind im Allgemeinen fünf reelle Werte, aber die wesentlichen sind diejenigen, die in die Kovarianzmatrix eingehen, wie zuvor erläutert.

Für den Kommutator ist mir keine geschlossene Formel bekannt. Aber ich weiß, dass das Verschieben und anschließende Zusammendrücken einen Zustand erzeugt, der das gleiche Zusammendrücken wie der zusammengedrückt-verdrängte Zustand hat, aber eine andere Verschiebung.

Wie kann ich einen Gaußschen Zustand als gequetschten, verschobenen thermischen Zustand schreiben?

S. Pflüger

Trimok

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