Zeitabhängigkeit des Verschiebungsoperators

Die Herleitung der Mastergleichung (und deren Anwendung) verfolge ich in diesem Skript . Leider folge ich nicht dem Schritt, die treibenden Terme des harmonischen Oszillators zu eliminieren (S. 17, Gl. 164).

Nehmen wir an, wir haben ein im Dichteoperator-Formalismus beschriebenes Quantensystem im Schrödinger-Bild mit System Hamiltonian (also harmonischer Oszillator und kohärenter Antrieb):

$H = H_0 + H_D = \hbar \omega (\hat{a}^\dagger \hat{a} + 1/2) + \hbar f_0 (\hat{a} e^{i\omega_D t} + \hat{a}^\dagger e^{-i\omega_D t} )$

Definieren Sie den Verschiebungsoperator als

$D(\alpha) = \exp(\alpha\hat{a}^\dagger - \alpha^* \hat{a})$

Wo$\hat{a}$ist der Vernichtungsoperator eines harmonischen Quantenoszillators und$\alpha$ist eine komplexe Zahl.

Wenn ich eine einheitliche Transformation durchführen möchte$U=D(\alpha)$in einen rotierenden Rahmen, dann glaube ich, ich sollte diese Transformation vornehmen:

$A' = U^\dagger A U$

und daraus sollte ich in der Lage sein, eine neue Hauptgleichung für mein System abzuleiten usw.

Aber in den Vorlesungsnotizen scheinen sie den neuen Hamilton-Operator im gedrehten Rahmen wie folgt zu schreiben: (Gl. 164):

$\tilde{H} = U^\dagger H U + i\hbar \frac{\partial U^\dagger}{\partial t} U$

Wo$U=D(\alpha)$. Warum den zweiten Term einbeziehen, wenn$D(\alpha)$nicht von der Zeit abhängt (wir befinden uns im Schrödinger-Bild nach Gl. 134)?

Wenn ich das irgendwie falsch verstanden habe und der Displacement-Operator durch so etwas als zeitabhängig angesehen wird$\alpha = \alpha_0 e^{i\omega_D t}$wie würde man damit umgehen, dh wie zeigt man das$\tilde{H}$hat das obige Formular?

Zusammenfassend: Wie man in einen anderen Frame umwandelt, wenn eine solche Zeitabhängigkeit besteht$i\hbar \frac{\partial U}{\partial t} = HU(t)$hält nicht? (Wegen Zeitabhängigkeit von H)

Und

Warum wird das vermutet$D(\alpha)$hat diese Zeitabhängigkeit im Schrödinger-Bild?