Notwendige und hinreichende Bedingungen, damit eine Funktion die Wigner-Funktion des Staates ist

Ihre Frage wurde in den 70 Jahren der Formulierung tatsächlich zu Brei geschlagen, und wie Sie angedeutet haben, sind die erforderlichen Bedingungen nicht alle unabhängig, sodass Teile überflüssig sind.

Für einen reinen Zustand real$f(x,p)$die hinreichende Bedingung ist einfach, Gleichung (6) von Lit. 1: Angesichts seiner Fourier-Transformation (der Kreuzspektraldichte) muss "links-rechts" faktorisiert werden,

Für gemischte Zustände müssen Sie einige mentale Fußarbeit leisten, die nicht-diagonale WFs enthält. Die Verweise auf Narkowich 1986, 1987 in diesem Buch decken einen Großteil der Uferpromenade ab. (Grundsätzlich hat ein WF mit gemischten Zuständen ein nicht negatives Überlappungsphasenraumintegral mit allen WF mit reinen Zuständen auf dem Planeten. Wenn Sie also eine geeignete vollständige Basis wählen, z. B. Oszillator-Eigenzustände, kann es praktisch sein, die Angemessenheit zu überprüfen.)

Erinnern Sie sich, dass die Phasenraummomente aller WFs durch die durch die obige Bedingung auferlegte Struktur automatisch eingeschränkt werden, um die Unschärferelation zu erfüllen, die für alle reinen Zustände (und daher gemischte) gilt.

Verweise:

1. Thomas L. Curtright, David B. Fairlie und Cosmas K. Zachos, A Concise Treatise on Quantum Mechanics in Phase Space, World Scientific, 2014. Die PDF-Datei ist hier verfügbar .

Die Umkehrung der Wigner-Abbildung ist die Weyl-Quantisierungsabbildung.

Lassen$a(x,\xi)$eine Funktion des Phasenraums sein (dh das Symbol in mathematischen Begriffen).

• Wenn$a$ist also reell$(a)^{Weyl}$ist symmetrisch;

• Lassen$g(x,\xi)\in C^\infty(\mathbb{R}^{2d}; \mathbb{R}_+^*)$so dass$\partial_{(x,\xi)}^\alpha g=O(g)$für alle$\alpha\in \mathbb{N}^{2d}$und gleichmäßig an$\mathbb{R}^{2d}$. Dann$g$heißt Ordnungsfunktion. Betrachten Sie nun eine Ordnungsfunktion$g$das ist auch drin$L^1(\mathbb{R}^{2d})$, und konstruieren den Symbolraum$S_{2d}(g)$:$a\in S_{2d}(g)$Wenn$a$ist glatt drin$(x,\xi)$, und für alle$\alpha\in\mathbb{N}^{2d}$,$\partial_{(x,\xi)}^\alpha a=O(g)$.

  Dann für alle$a\in S_{2d}(g)$,$(a)^{Weyl}$Trace-Klasse eingeschaltet ist$L^2(\mathbb{R}^d)$; Außerdem

  $$Tr (a)^{Weyl}=\frac{1}{(2\pi \hbar)^d}\int a(x,\xi)dxd\xi\; .$$

Daher haben Sie ausreichende Bedingungen für das Symbol, um die Wigner-Funktion eines symmetrischen Operators der Trace-Klasse zu sein, mit Trace One. Es muss nur die Positivität des Operators überprüft werden, um einen Zustand anzugeben. Leider weiß ich nicht, wie ich a priori überprüfen kann, ob die Weyl-Quantisierung eines gegebenen Symbols ein positiver Operator ist.

Als Referenz zum Weyl-Quantisierungsverfahren schlage ich Ihnen dieses Buch von Martinez vor .

Eine Quantenversion des Satzes von Bochner, diskutiert zum Beispiel von Bröcker und Werner und Srinivas und Wolf , gibt eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Wigner-Funktion (und P- oder Q-Funktionen, die aus Wigner-Funktionen durch Faltung/Entfaltung erhalten werden können) um einem gültigen Dichteoperator (oder allgemein einem positiven Operator) zu entsprechen, indem seine Fourier-Transformation überprüft wird.